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Google Science Fair에서 1등 하는 법

Google Science Fair에서 1등 하는 법

By James H. Choi
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미국에는 권위 있는 과학 경시대회가 세가지가 있다.  Intel STS, Intel ISEF, Siemens Competition이 그 셋이다.  그 권위에 도전하는 또 하나의 과학경시대회가 탄생 했으니 그것은 2년 전에 시작 된 Google

Science Fair이다.  기존 3개의 경시대회에서 빛을 못 본 학생이 이 새 경시대회에서는 무엇인가 다르지 않을까, 혹은 이렇게 다양한 과학 경시대회가 있으니 무엇인가 전문성을 가지고 그 대회의 특징에 맞는 주제를 선택하여 “집중 공략”하면 수상의 가능성을 높이지 않을까?  하고 생각할 수 있는데 그렇지 않다.  훌륭한 과학 연구는 누가 언제 봐도 훌륭한 과학 연구이기 때문에 대회마다의 특징이란 없다.

한 예로 Brittany Wenger학생의 경우를 보자.  내가 Brittany를 처음으로 심사한 것은 2010년San Jose에서 개최된 ISEF에서였다.  그 때 Brittany는 Freshman으로 처음 ISEF에 나온 것인 데 연구 주제는Neural Network을 응용한 연구로 컴퓨터 사이언스 분야로 출전 했다.  그 해는 3등을 했다.  심사위원 사이에서 “그다지 새롭지는 않지만 흥미로운 응용”이라고 평가가 되어 수상이 된 것이었다.

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그 다음해 2011년 ISEF가 Los Angeles에서 개최되었을 때 Brittany는 의학 분야로 출전을 했다.  컴퓨터 사이언스 심사위원인 나와는 무관했지만 그래도 서로 안목이 있는 사이가 되어 Brittany의 연구를 유심히 들여다 보았다.  (ISEF 학생들은 1년 전 심사한 사람을 대개 다 알아본다)  컴퓨터 사이언스가 만만치 않아 의학분야로 출전해 봤냐고 농담 했더니 주제가 바뀌었다고 했다.  보니 같은 Neural Network을 사용했지만 그 도구를 유방암 진단 쪽으로 초점을 돌린 것이었다.  어떻게 이런 임상 실험을 하는 허락을 받았냐고 물었더니 임상자료를 제공하는 사이트에서 무료로 받아서 연구를 했다고 알려 주었다. 그리고 이 연구는 의학 분야에서 2등을 했다.

2012년 ISEF가 Pittsburg에서 개최 되었을 때도 Brittany는 다시 출전을 했다.  같은 유방암을 Neural Network으로 진단하는 연구였는데 더 발전 시켜서 나왔고 분야는 다시 컴퓨터 사이언스로 돌아갔다.  이번에는 1등을 했다.  그 해는 내가 수학을 심사해서 어떤 토론 끝에 특상이 되지 않고 1등으로만 끝났는지 모르겠다.  아마 늘 그렇듯이 거의 한 시간의 치열한 공방전이 있었으리라 짐작한다.

몇 주 전 Phoenix에 개최된 ISEF에 이제 시니어가 된 Brittany는 마지막으로 출전을 했다.  연구 주제는 백혈병으로 바뀌었지만 역시 컴퓨터 사이언스였고 역시 다른 사람이 실험한 자료를 사용 했고 역시 1등을 했다.

Brittany는 ISEF에서 4번 수상 한 것으로 그치지 않고 같은 연구로 Intel STS에 출전하여 8등을 했다.  그녀의 Facebook을 보면 오바마 대통령에게 자신의 연구를 설명하는 장면의 사진이 있다.

그리고 Siemens Competition에도 같은 유방암 진단 연구를 가지고 출전하여 Regional Finalist가 되었다.

그리고 2012년에는 Google Science Fair에서 최고상을 받는 영광을 누렸다.  연구주제는 역시 유방암 진단이었다.

Brittany는 결국 한 연구로 4중으로 상을 받았는데 이렇게 한 연구로 2중 3중 여러 경시대회에서 상을 받는 학생은 흔하다.  각 대회의 입상자 리스트를 가지고 꼼꼼히 비교해 보면 반 정도가 2중 이상으로 수상한 것으로 나오리라 짐작한다.

다시 원 제목으로 돌아가서 “Google Science Fair에서 1등을 하는 법”은?  ISEF, STS, Siemens에서 입상하는 방법과 같다.  즉 우수한 연구를 하면 된다.  어느 대회에 출전한다는 것을 의식하지 말고 자신이 열정적으로 탐구하고 싶은 주제를 정해 깊이 깊이 연구하면 모든 대회가 다 알아주고 인정을 해 주는 것이다.

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학교에서 더 이상 수강 할 수학 과목이 없는 경우

학교에서 더 이상 수강 할 수학 과목이 없는 경우

Written on October 2, 2009

By James H. Choi
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  1. 학생의 선천적으로 뛰어난 수학 능력과 의욕
  2. 학부모의 지원 (즉, 애들은 즐겁게 놀아야 한다는 철학보다는 재능을 키워 줘야 한다고 생각하는 철학)
  3. 상위권 학생에게 우호적인 학교 제도

이 세가지 조건이 만나게 되면 학생은 눈부신 속도로 진도가 나간다. 이런 뛰어난 학생만 모아놓은 Thomas Jefferson, Exeter나 Andover 같은 고등학교는 대학교 3학년, 4학년 과정까지 개설되어 있어 학생들이 더 배울 과목이 없을 우려가 전혀 없지만 일반 고등학교에서는 Calculus BC가 최고이니 일찍부터 재능을 개발한 학생들은 대부분의 학교에서 배울 수학 과목이 없는 상황에 처하게 된다.

(참고로 위에 언급한 고등학교에서 제공하는 대학교 2, 3학년 코스는 AP보다 더 높은 수준이라 AP로 간주가 되지 않는다. 그래서 보통학교 학생들보다 훨씬 높은 수준의 과목을 이수하고도 정작 AP과목 수를 세어 보면 몇개 되지 않는 경우가 있다. 그런 상황을 이해 못하는 분들은 “이런 최고의 고등학교 학생들도 AP몇 개 하지 않고도 명문 대학 가더라”라는 말씀을 하시는데 그런 결론은 장님 코끼리 더듬는 것과 마찬가지의 관찰이다.)
https://i1.wp.com/dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif이렇게 할 과목이 없다는 것은 학교측이 걱정하며 골치가 아플 일이지 학생이 염려할 일이 아니다.  가장 보편적으로 하는 방법은 중학교의 경우에는 근처의 고등학교에 가서 배우는 것이고 고등학교의 경우는 근처의 대학에 가서 배우는 것이다. 별 유난스러운 짓을 해서 눈총을 받고 있는 것 같지만 최고의 대학에 들어가면 이렇게 유난스러운 학생들만 모여있다는 것을 알게 된다. 즉 자신의 학교에서 더 배울 것이 없는 지경이 된 학생들끼리 입학 경쟁을 하는 것이다.

가장 순리적인 과정은 인근의 대학교에 가서 수강하는 것인데 대학교는 돈 받고 하는 일이라 거부를 할 이유가 없지만 고등학교측에서 모든 학생의 수준 평준화를 중요시 하여 특정 학생만 대학교 강의를 수강하는 것을 허락하지 않을 수 있다.

그런 경우에는 다음과 같은 방법이 있다.

1. Special Project.

학교에서 더 가르칠 과목이 없다는 것은 그 수준을 가르칠 교사가 없는 것이다. 그런 때는 학생이 교사에게 부담을 주지 않고 자습을 하여 크레딧을 받을 수 있다. 이 경우에는 크레딧을 주는 것은 학교측이고 이 프로젝트를 검사하는 것은 수학 선생님이고 실지로 프로젝트를 진행하는 것은 학생 자신이거나 또는 외부의 선생님이다. 내 학생들이 학교에서 더 이상 배울 수학이 없는 경우에는 내가 이런 프로젝트를 지도하여 학교측에서 성적과 크레딧을 받도록 하는데 학교측의 동의만 받으면 (학교가 따로 하는 일이 없음으로 동의를 받는 것이 수월하다) 학생의 수준을 지도할 만한 선생님을 찾아 Mentor 역할을 부탁하고 프로젝트를 정해 진행하면 된다.

배우는 내용은 학교 수학과정의 진도를 더 나가도 되고 (Multivariable Calculus) 아니면 수학 경시대회의 수학을 해도 된다. (Number theory, Probability) 하지만 가장 적절한 과목은 학생의 흥미와 관심이 있는 분야다. 이런 special project의 경우에는 컴퓨터 프로그래밍을 배우는 것도 가능하다.

내가 가장 추천하는 Special Project는 과학경시대회에 수학 주제로 출전할 준비를 하는 것이다.  순수 수학은 대학생 실력으로도 새로운 연구를 할 주제를 찾는 것이 어려운데 컴퓨터 수학은 새로운 분야라 상상력만 있으면 고등학생이 연구할 수 있는 주제가 아직은 수없이 많이 있다.

2. AP과정,

AP과정은 AP 시험으로 인정을 받기 때문에 독학으로 배워도 AP 시험에서 5점만 받으면 대학의 인정을 받는다.  나는 주로 학교측에서 능력있는 학생의 트랙을 올려 주지 않는 경우에 AP를 사용하여 꼼짝없이 실력을 인정하도록 만들었지만 만약 AP과정이 없는 고등학교에 다닌다면 Special Project라고 이름은 걸어놓고 내용은 AP를 공부하여 실력을 과시할 수 있다.

3. 온라인 대학

University of Illinois에서는 대학과정 수학을 온라인으로 제공하고 있다. 대상 리스트를 보면 Post-AP High School Students라고 되어 있으니 바로 배울 수학이 과목이 없는 고등학생에게 적절한 강의이다. AP 이상의 수준이기 때문에 AP시험 처럼 능력을 인정받는 시험이 따로 없어 이 수준의 수학은 정규 크레딧을 주는 곳에서 배워야 하고 이 University of Illinois가 바로 그런 정규 크레딧을 주는 대학과정을 제공하고 있는 곳이다.

http://netmath.uiuc.edu/

여기제 제공되고 있는 수학은 모두 Mathematica를 사용해서 가르치니 Mathematica를 배운 학생들은 이미 도구에 익숙해 있어 한결 편하게 이 과정을 이수할 수 있다. NetMath에서 제공하는 과목은 Differential Equation이상까지 있어 학생이 무한대로 발전할 수 있게 된다.

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카테고리:트랙, 연구주제선택

과학고 학생사이 연구 수준 차이의 원인

과학고 학생사이 연구 수준 차이의 원인

By James H. Choi
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제가 가장 잘 아는 과학고 IMSA (Illinois Math and Science Academy) 에서는 수요일 수업이 없습니다. 모든 수업을 다른 날에 하고 수요일은 지역의 대학이나 기관의 연구실에 가서 연구를 하며 살아있는 교육을 받게 합니다. 다른 과학고도 이와 비슷한 제도가 있어 인텔 경시대회 입상자를 보면 단연 과학고 출신이 많습니다. 그래서 학부모님들은 학생들이 Bergen County Academies 같은 과학고에 가서 이런 산 교육과 현장 경험을 얻기를 바라십니다.

그러면 이 과학고에 들어가면 급우들과 함께 발전을 하여 과학경시대회에서 입상을 할 수준이 될까요? (참고: 경시수학에 강한 고등학교로 진학하면 진학생의 수학이 강해지나?)

인텔 입상자들의 자기 소개를 읽어 보면, 그리고 제가 ISEF 에서 심사 인터뷰를 하면서 높은 수준의 연구를 한 학생들에게 물어 보면 그들이 가진 근본적인 공통점은 과학고 출신이라는 것이 아니라 이들을 가이드 하는 누군가가 있었다는 것입니다. 그런 가이드가 있었기 때문에 과학고에 간 것이고 그런 가이드가 있었기 때문에 입상 수준의 연구를 할 수 있었던 것입니다. 그런 준비 없이 그런 지원 없이 과학고에만 들어가면 겉 무늬만 갖추는 것이지 정작 중요한 내용은 빠져있어 과학고 다니고서도 과학 경시대회에 출전도 못하는 90%의 학생 중에 하나가 되고 맙니다.

일주일에 하루를 연구하면서 보내는데 어째서 근사한 논문이 나오지 않을까요?

입장을 바꾸어 생각해 봅시다. 바쁜 교수가 과학고의 부탁을 받거나 과학고와 협정을 체결한 대학측의 압력으로 고등학생 인턴을 받기로 합니다. 고등학생이 일주일에 한번 와서 하루종일 일하며 배우는 것이 원래의 의도라 좋게 해석하면 무료 노동력으로 볼 수 있는데 교수의 입장에서 보면 별로 시킬 일이 없습니다. 위험한 화학 약품이나 중장비가 있는 실험실에서는 오히려 학생이 다칠까봐 신경만 쓰입니다. 연구라는 것은 고도의 지식으로 새로운 분야를 개척해 나가는 곳입니다. 며칠 트레이닝 받아 할 수 있는 일이라고는 잡다한 뒤치닥거리, 실험관 씻는일, 서류 들고 왔다갔다 할 수 있는 일 밖에 없습니다. 그 비싼 장비를 잘 못 건드려도 안되고 정확도가 불확실한 실험을 하여 두고 두고 그 자료가 의심스러워도 안됩니다.  (참고: 인턴쉽 1: 고등학생 인턴쉽이란 말도 안되는 일)

그것도 학생이 매일 오는 것이 아닙니다. IMSA 학생은 수요일만 옵니다. 하다 못해 여러명이 무거운 것 들어 올리려 하면 그 날은 목요일입니다. 수요일이 다가오면 학생이 해야 할 일을 찾아 내야 한다는 자체가 스트레스로 느껴집니다. (제가 별로 할 줄 아는 것이 없는 인턴을 고용해 본 경험담입니다.) 병원 같은 곳에서 자원봉사를 하는 경우에는 연구를 하러 온 것이 아니라 봉사를 하러 온 것이니 부담없이 서류 들고 왔다갔다 하는 일을 시킬 수 있는데 이런 연구를 배운다고 온 학생들은 잡일만 하고 있으라고 할 수도 없고 중요한 일을 맡길 수도 없는 한마디로 도움이 되기 보다는 방해가 될 가능성이 훨씬 큰 존재입니다.

그렇다고 1주일에 한번 오는 학생을 훈련 시킬 시간도 여력도 그리고 이유도 없습니다. 가르치려면 교수가 월급 줘가며 일시키는 대학원생들을 가르쳐야 하고 봉사를 하려면 어렵게 사는 학생들 가르치는 봉사를 하지 무엇하러 이런 호사스러운 과학고등학교에 다니는 잘사는 집 윤기흐르는 귀공자를 위해 봉사합니까?

이렇게 고등학생이 연구소에 가서 일하는 상황이 암담하다면 대체 대학 연구소에서 일하며 논문을 쓰고 인텔에서 입상하는 학생들은 어떤 학생들일까요? 저도 확실히는 모릅니다. 하지만 (자료도 통계도 없는) 제 짐작으로는 이 입상할 학생들이 과학고로 간 것이지 과학고 학생이 입상하는 것이 아니라고 생각합니다.
https://i1.wp.com/dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif이 학생들은 연구소에 가서 배운 학생들이 아닙니다. 이 학생들이 연구소에 갔을 때는 이미 연구의 내용을 알고 있었고 자료분석을 할 줄 아는 학생들이었습니다. 한마디로 교수가 당장 사용할 수 있는 유용한 지식이나 기술을 가진 학생들이었습니다. 유용했기 때문에 일을 맡겼고 일을 맡았기 때문에 발전을 했고 발전을 했기 때문에 더 유용해졌고 더 유용해졌기 때문에 더 중요한 일을 하고, 그러다 급기야 실력과 운이 따르면 연구 발표에 저자의 한명으로 이름이 들어가는 수준까지 올라가는 것입니다. 이런 학생이 선망의 대학 10군데 다 동시 합격하게 됩니다. 그리고 대학가서도 선두에서 질주를 합니다.

어떻게 하면 이렇게 연구의 내용을 잘 파악하고 도움을 줄 수 있는 수준의 당장 유용한 학생이 될 수 있을까요? 연구소 책임 교수와 첫 인터뷰 하기 전에 다 배우고 가야 합니다. 인터뷰에서도 온상에서 자라 배려는 전혀 없고 자신밖에 모르는 사고방식을 고스란히 보이는 “여기서 일하면 제가 많이 배우고 대학 가는데 기록도 도움을 받을 것 같아요. 제가 아는 것이 없어서 답답하시겠지만 귀엽게 봐 주시고 많은 지도 편달 바랍니다” 라는 소리 하고 있지 말고 (위의 식의 발언은 한국에서는 겸손하다고 하고 미국에서는 저자세에 꾸뻑거릴 수록 한심하다고 합니다. 저도 저런 소리 하는 사람, 세상이 자신을 위해 존재한다고 굳게 믿는 사람 절대로 고용하지 않습니다.)

“제가 전에 관심이 있어 이런 저런 일을 이렇게 해 내었는데 (일의 샘플을 내밀면서) 교수님 하시는 이 연구의 이 부부분에 바로 적용이 될 것으로 보입니다. 이 부분을 이런 식으로 분석 하신다면 제가 맡아 도울 수 있습니다. (한 편지를 내 보이면서) 전 프로젝트를 감독하셨던 분이 저에 대해 이런 추천서도 써 주셨습니다.”라고 저절로 고용하고 싶은 마음이 우러나오는 프로다운 고용인 관점의 기특한 소리를 술술 해야 하고 또한 실지로 이런 “뻥”을 받쳐주는 경력과 지식과 자세와 각오를 가지고 있어야 합니다.

이런 배경을 알고 보면 애써서 과학고에 들어가는 것만 집중을 할 것이 아닙니다. 그것도 흔한 “선행학습”이라는 이름으로 똑 같은 내용을 두번씩 배우는 버릇만 가르쳐 놓으면 한번도 배우지 않은 문제를 줄기차게 접하는 연구실에서는 완전히 lost 가 되는 것이 당연하죠. 이런 학생들은 과학경시대회에 출전할 논문은 커녕 연구실에서 폐 안 끼치고 오늘도 무사히 넘기는 것이 목적이 됩니다. 매주 연구실로 가는 날이 두려워지기 시작할 수도 있습니다.

그러면 어디서 배울까요? 학교에서 배웠을 수도 있지만 학교의 수업만으로는 부족합니다. 과학고의 수업도 AP Computer Science 정도의 프로그래밍을 가르치는 정도의 수준이지 이런 고도의 과학연구자료 분석을 가르치지 않습니다. 이 학생들은 대부분 혼자 배웠거나 부모에게 배웠거나 형누나에게 배웠습니다. (“끼”가 있는 학생은 중학교때도 혼자 배워 프로그래밍을 하는데 그 시간과 정열을 어느날 교수한테 가서 “나는 이런 일을 했습니다”하고 내밀을 수준의 결과를 내는데 집중해야지 이것 저것 끄적거리면 프로그랭밍에 관심 없던 학생과 구별이 되지 않습니다.)

가족에게 배울 수 있는 행운을 타고 나지 못한 학생이더라도 의욕과 재능이 있으면 멘토를 찾아 얼마든지 극복하여 성공할 수 있습니다. 이런 큰 그릇이 될 학생은 매사에 장래를 위해 조언/가이드를 해 줄 사람이 필요한데 리더 보다는 멘토가 더 필요합니다. 멘토는 학생의 이익을 위해 충고해주는 사람이고 리더는 전체의 이익을 위해 충고해 주는 사람입니다. 예를 들어 전쟁이 나면 리더는 “나라를 위해 전선에 나가 적군과 싸워라!”라고 웅변을 토하지만 멘토는 “전쟁이 났으니 나라를 위해 통신망을 유지하는 엔지니어의 일을 하라. 그렇게 나라를 위해 봉사하고 나면 전쟁 끝나고 나서 재건설이 시작 될 때 연봉이 높은 직장을 쉽게 구하게 된다. 통신망 엔지니어 중에서도 이런이런 분야가 가장 유망하니 이 부서에의 이 위치에 지원하도록 해라.”라고 조용히 조언을 해 줍니다.

같은 나라를 위해 전쟁에 나가는 것도 이렇게 여러가지 수준이 있는데 경시대회를 위한 연구를 하는 것도 마찬가지 입니다. 같은 연구를 하더라도 학생이 제한된 시간에 발표할만한 결과를 낼 수 있는 주제를 찾아주는 것, 학생의 이상적인 포부에 찬물 끼얹어가며 김새는 소리 해가며 학생이 시간내에 성취할 수 있는 수준으로 목적을 끌어내려 주는 것, 다 멘토가 잘 도와주어야 할 일입니다. 아무리 기발난 아이디어라도 자료를 구할 수 없으면 막아야 하고 실험 비용을 감당할 수 없는 아이디어도 막아야 합니다. “네 꿈을 추구해라! 네가 원하면 길이 열릴 거야!”같은 무책임한 소리하는 리더 믿었다가는 이쪽 저쪽 구름 잡다 귀한 시간 몇 년 보내고 내놓을만한 연구 결과가 없게 됩니다.

학생의 재능을 잘 파악하고 현재의 과학 발전 상태를 잘 알고 있고 각 경시대회의 요구하는 조건을 잘 아는 멘토가 7학년 8학년 때 잘 가이드를 해 주면 학생은 고등학교 때 부터 연구소에서 활동을 하며 자발적으로 높은 수준으로 상승할 수 있습니다. 고등학교의 수학 트랙 들어가는 것과 유사하죠.

제가 몇년 전에 Missy USA에 처음으로 쓴 “미국 수학 과정의 다양한 트랙“이라는 글은 널리 읽혀 이제는 많은 학부모님들이 같은 학교의 같은 학년도 전혀 다른 수준의 수학을 하고 있다는 것을 아시게 되었습니다. 그와 마찬가지로 같은 과학 고등학교에서 같은 인턴 프로그램을 하고 있어도 이렇게 아주 큰 차이가 나는 수준의 일을 하고 있게 됩니다. 이 차이는 수학의 수준 차이보다 더 커서 같은 날 같은 시간을 보내면 일을 해도 한 학생은 인텔에서 입상할 수준의 연구를 하고 다른 학생은 우울하게 시간 채우고 오는 상황까지 갈 수 있습니다.

이 고등학생이 할 수 있는 연구의 수준은 연구소를 찾아가기 전에 이미 결정이 되어 있습니다. 앞으로 과학고를 지망하는 학부모님들은 과학고 입학 했다고 저절로 첨단 수준의 연구를 하게 되는 것이 아닌 것을 주지하시고 자제분이 연구소 첫 방문날 인터뷰 할 때 제가 위에 묘사한 두 학생중에 어느쪽이 되어 가고 있는가를 생각하시고 준비를 시키세요.

 

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Computational Mathematics 컴퓨터 수학

Computational Mathematics 컴퓨터 수학

Written on March 30, 2011

By James H. Choi
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수학의 한 분야 중에 Computational Mathematics라는 분야가 있습니다. 한마디로 컴퓨터 수학인데 컴퓨터의 계산이 빠른 것을 이용하여 사람이 하려고 했던 계산을 더 쉽게 하는 것에서 그치지 않고 전에는 엄두도 내지 못한 계산, 상상도 하지 못한 계산을 하여 수의 성질을 발견하고 새로운 패턴을 발견하는 것입니다.

“필요한 것도 아니고 그냥 이렇게 저렇게 장난하다 나오는 패턴이 뭐가 중요한가? 하나의 게임일 뿐이 아닌가?”라고 항의하실 수 있는데 원래 수학이 그런 것입니다. 초중고등학생들에게는 수학이 얼마나 필요한 것인지 누누히 설득하면서 가르치지만 (모두 사실이지만) 정말 첨단 연구는 필요/수요와 거의 무관하고 교수의 흥미를 찾아 미지의 세계로 들어가고 있습니다. 제 학생도 과학 경시대회에 수학으로 출전하여 수학에 경험이 없는 심사위원이 “이것은 대체 무엇에 쓰는가?”라고 물어볼까봐 답을 준비해 가야 했습니다. 순수수학자에게 용도를 묻는다는 것은 상당히 무례한 질문인데 (축구나 체스와 마찬가지로 그 자체가 재미있는 것이지 어디에 사용하는 활동이 아닙니다) 요즘 세상에 무례한 사람들이 많아 방어준비를 해야 합니다. 다른 장난과 수학이 다른 것은 수학은 언젠가는 유용하게 됩니다. 많은 물리에 사용하는 수학은 심지어는 100년도 전에, 수학자가 심심풀이로 풀어놓은 문제가 바로 물리 실험에 관찰이 되어 사용하게 됩니다. 좋은 예로 일상생활에는 전혀 아무데도 쓸모가 없다고 생각하면서도 많은 수학자들이 재미로 연구한 prime number, prime factorization은 이제 인터넷에서 정보를 보호하는 기반이 되었습니다. Prime number의 성질을 사용하기 때문에 인테넷에서 암호도 사용할 수 있고 은행일도 가능한 것입니다.

순수 이론수학은 종이와 연필만 가지고 하는 수학입니다. 이론 물리 역시 종이와 연필만 가지고 우주의 구조를 밝혀내는 것이죠. 중고등학생이 그런 수준의 수학을 한다는 것은 무리입니다. 하지만 Computational Mathematics는 컴퓨터가 일을 대행해 주는 것이고 수의 세계에는 아직도 모르는 부분이 더 많기 때문에 학생의 상상력만 있고 컴퓨터에게 자신의 아이디어가 맞는지 점검해 달라고 시킬 수 있으면 무궁무진하고 흥미진진한 연구주제가 수 없이 등장합니다. 잘 알려진 Collatz Conjecture 도 3n+1 에서 끝나지 않고 pn + 1 으로 Generalize 시킬 수가 있습니다. 제 학생이 바로 그 주제로 이번 Regional 과학 경시대회에 나가 State로 가게 되었습니다. 지금 학부모님 세대가 생각하면 믿어지지 않는 “아무것도 똑딱거려 만드는 것도 없이 이런 저런 아이디어를 내어 일은 컴퓨터에게 다 시켜키고 뭔가 패턴이 나오면 연구 결과가 된다” 라는 시대가 지금의 학생들에게 도래한 것입니다.

한데 그 혜택을 누리는 학생은 극히 일부이고 나머지는 게임하느라 시간을 허송하고 있습니다.
https://i1.wp.com/dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif중고등학생이 첨단 수학의 연구를 한다는 것은 거의 불가능합니다. 하지만 Recreational Math를 가지고 범위를 확장하여 더 큰 패턴을 찾아내는 것은 가능합니다. 연구 결과가 암을 치료하는 것도 아니고 기아를 해결하는 것도 아니지만 수학은 원래 그런 일을 해 내는 학문이 아닙니다. 재미있는 현상을 찾아내기만 해도 인정을 받는 학문입니다.

거의 모든 수학의 theorem 은 Generalization이 가능하고 그 Generalization 을 곰곰히 생각해보고 컴퓨터보고 많은 경우를 계산해 보라고 하고 결과를 보고 있으면 “아하!” 하고 영감을 얻게 됩니다. “혹시 이런 것이 아닐까?” 그러면 증명을 못 하더라도 “아무래도 항상 이렇게 될 것 같다”하는 기분이 듭니다. 컴퓨터로 1,000,000,000의 다른 경우를 테스트 해 봐도 항상 예측했던 대로의 결과가 나오면 그 때는 Conjecture를 만든 것입니다.

한가지 예로 피타고라스의 정리  에 해당되는 a, b, c 정수는 무한대로 많습니다. 예를 들면 3, 4, 5 또는 5, 12, 13. 그러면 당장 Generalize 할 수 있는 것이 입니다. 과연 이 방정식이 성립되는 정수 a, b, c 가 있을까요? 그 다음은  , 그러다가 급기야  (n 이 2보다 큰 경우) 까지 생각하는데 컴퓨터로 아무리 많은 a, b, c의 조합을 시도해 봐도 방정식이 성립되는 수가 없습니다. 이렇게 아무리 찾아도 해당되는 정수가 없으면 “방정식이 성립되는 정수를 못 찾겠다. 있을지도 모르지만 당신도 못 찾을 것이다.” 라는 Conjecture가 탄생하는 것입니다. 이것이 유명한 Fermat’s Last Theorem입니다. 1637년에 발표된 이 Conjecture를 증명한 것은 1995년이었습니다. 350년이 걸린 것이죠. 고등학생들이 이런 증명을 할 수는 없지만 무책임하게 Conjecture를 만들어 후세의 수학자들을 몇 백년동안 무지개를 쫓도록 만들 수 있습니다. 어떻게 생각하면 세상에 이런 신선노름도 없습니다.

과연 과학경시대회 국제결승전 (ISEF)에 올라오는 학생들은 어떤 Computational Mathematics 연구를 가지고 오는지, 그 중에서 누가 어떤 심사과정을 통해 승자로 선발 되는지가 궁금해 올해는 ISEF에서는 Computational Mathematics를 심사하게 되었습니다. 제 기분에 Computational Mathematics는 심사위원의 구성이 Computer Science에 비해 다를 것 같고 (거의 다 교수일 것 같습니다) 심사 기준도 다를 것 같은데 오는 5월 다녀오면 알려드리겠습니다.

이 Computational Mathematics는 수학을 좋아하지만 직접 계산을 해야 하는 것을 싫어하는 학생에게 적격입니다. 나이가 어려 아직 물리를 배우지 않았어도 그야말로 사칙의 연산말 할 수 있으면 그리고 컴퓨터를 프로그램만 할 수 있으면 연구를 시작할 수 있습니다.

이는 “너는 아이디어만 생각해 내고 힘든 일은 컴퓨터에게 시키면 된다”가 현실이 된 꿈만 같은 시대에 살고 있는 축복입니다. 그런 일하는 조건을 환영할 성향의 자제분이 있으시면 이런 분야의 연구를 찾아 시켜 보세요. 아시는 수학자에게 이 글을 보여주시면 제 의도를 이해하고 어떻게 지도해야 할지 알 것입니다. 일단 학생이 이 아이디어를 받아들이기만 하면 앞으로 얻는 것이 워낙 많아 아무리 무모해 보이더라도 한번 시도해 볼 가치가 있습니다.

추신: 2012년3월14일 제 학생이 Detroit 지역 Regional Science Fair에서 바로 이런 computational mathematics로 수학부분에서 1등을 했습니다.

 

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‘실험수학’으로 과학경시대회 도전하기

‘실험수학’으로 과학경시대회 도전하기

By James H. Choi
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기사출처: http://www.globaledunews.org/news/articleView.html?idxno=690

‘실험수학’으로 과학경시대회 도전하기

컴퓨터 한대로 새로운 문제 창조…

장비도 실험도구도 필요없어

2011년 09월 07일 (수) 14:53:48 글로벌 에듀뉴스 Editor@GlobalEdunews.org

수학으로 과학경시대회에 도전한다?

수학경시대회나 과학경시대회나 한인학생들에게는 늘 도전하고 싶은 분야다. 시행착오를 거쳐 본인의 목표점에 도달했을 때의 그 성취감이란 두 말하면 잔소리. 대입경쟁에서도 상당히 도움이 된다는 것은 이미 잘 알려진 사실이다.

과학경시대회 출전을 고려해본 학생이라면 수학도 과학경시대회의 한 분야가 될 수 있음을 눈치챘을 것이다. 물론 수학경시대회에서의 수학과 과학경시대회에서의 수학은 다르다. 여기서 한 가지 기억할 점은 수학경시대회를 준비하고 있는 학생이라면 과학경시대회에 수학분야로 한번쯤 도전을 해볼만하다는 것.

과학 및 수학 전문교육기관인 사비오아카데미의 제임스 최 박사는 “수학경시대회를 위해 훈련을 받은 학생은 과학경시대회의 수학을 잘할 가능성이 높다”고 귀띔한다.

수학은 오래된 학문이기 때문에 이미 웬만한 문제는 구석구석까지 다 해결이 된 상태다. 그렇다면 이제는 새로운 도구로 접근을 시도해봐야 한다. 컴퓨터, 이것이 바로 수학으로 과학경시대회에 도전할 수 있는 키워드다.

컴퓨터의 힘으로 수의 세계를 탐험하는 수학의 새로운 분야를 ‘실험수학(Experimental Mathematics)’이라고 한다. 비교적 새로운 분야이기 때문에 중고등학생들도 기발한 아이디어를 생각해내거나 전문가들이 발견하지 못한 현상을 찾아낼 기회가 있어 매력적이다.

최 박사는 “고등학생의 지식과 두뇌로 수학의 연구에 공헌을 한다는 것은 거의 불가능하다”며 “그러나 컴퓨터를 사용하면 기존 문제를 해결하지는 못해도 새로운 문제를 창조해낼 수 있다”고 역설한다. 즉, 미래의 천재가 풀어야 할 문제들을 더 쌓아놓게 되는 꼴이다. 의아할 수도 있지만, 수의 세계에서 일어나는 현상을 발견하는 것이 바로 ‘수학’이라는 것이 최 박사의 설명이다. 증명 못하는 문제를 발견하는 것만으로도 과학경시대회에서는 입상을 할 수 있는 거리가 된다는 것.

다음에서는 제임스 최 박사로부터 실험수학과 과학경시대회 출전에 대해 좀 더 자세히 들어보도록 한다.
https://i1.wp.com/dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gifQ)어떤 주제를 연구할 수 있나?

A)우선 ‘The Computer as crucible’이라는 책을 읽어보기를 권한다. 실험수학에 대한 역사와 개요를 담고 있으며, 각 챕터마다 유용한 연습문제들이 있다. 연구주제를 찾는다면 ‘Research Experience for All Learners’라는 책을 추천한다. 이 책은 거의 모든 실험수학의 주제를 포함하고 있는, 그야말로 아이디어 샘이다. 과학경시대회 수학분야의 입상감이 되는, 정답은 없고 궁금증만 더 깊어지는 심오한 연구주제들이 실려 있다.

Q)어떤 식으로 연구를 시작해야 하나?

A)실험수학은 반드시 컴퓨터와 컴퓨터 언어를 사용해야 한다. 어떤 컴퓨터에 어떤 언어를 사용해도 이 연구를 할 수 있다. 하지만 그 중 ‘Mathematica’ 언어가 수학적 기능이 가장 뛰어나다.

Q)어떤 학생에게 추천하고 싶은가?

A)이 분야는 수학경시대회의 훈련을 받은 학생들이 과학경시대회에까지 침범해 들어가 영예를 차지하는데 적격이다. 소위 머리는 좋지만 게으른 학생에게도 이상적인 연구 주제가 된다. 연구소에 갈 필요도 없고, 실험도구를 씻지 않아도 되고, 수퍼바이저도 필요 없고, 장비도 필요 없다. 컴퓨터만 한대 있으면 된다. 그리고 좋은 아이디어가 떠오르기만 하면 실제 일은 컴퓨터가 다 해준다.

Q)지도교사가 반드시 있어야 하는가?

A) 이런 연구는 혼자 할 수는 있지만 엉뚱한 방향으로 밀고가다 자칫 시간을 낭비할 수 있다. 무엇보다 학생 혼자 생각 못할 수준의 경지까지 도달하기 위해서는 멘토의 지도를 받는 것이 좋다. 멘토는 학생이 정한 연구 분야의 전문가여야 한다.

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고등학생도 두뇌와 뇌파 연구를 할 수 있는 공상과학소설 시대

고등학생도 두뇌와 뇌파 연구를 할 수 있는 공상과학소설 시대

By James H. Choi
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과학경시대회 연구 주제로도 유망

우주의 신비는 많지만 그 중 가장 신비한 것 중에 하나가 우리 모두 다 가지고 있고 하루 24시간 사용하고 있는 두뇌이다.  이집트 시대에는 두뇌의 기능이 무엇인지 몰라 미이라를 만들 때 두뇌는 빼서 버렸고 Aristotle은 두뇌가 피를 식혀주는 냉각장치로 생각했지만 이제는 두뇌가 생각을 하는 기관이라는 것을 누가나 다 알고 있다.

전에는 전쟁, 사고 등으로 두뇌의 일부분이 파괴가 되면 따라 오는 변화를 관찰하여 그 부분이 어떤 기능을 가지고 있었다는 것을 짐작했지만 이제는 측정 기기의 발달로 살아있는 두뇌의 내부를 안전하게 관찰하여 두뇌가 언제 무엇을 어떻게 하고 있는지 밝혀지기 시작 했다.

심지어는 두뇌의 어떤 부분이 종교에 관련되는지도 알게 되어 가고 있어서 현대에는 예뻐지기 위해 성형 수술을 받듯 장래에는 독실한 종교인이 되기 위해 두뇌 수술을 받는 시대가 도래할지도 모른다.

이렇듯 최근에 들어서야 신비가 밝혀지기 시작한 두뇌는 앞으로 무궁무진한 연구의 가능성을 가지고 있다.

살아있는 사람의 뇌 내부를 들여다 보고 활동을 측정할 수 있는 방법은 크게 나누어 MRI, CT, SPECT, PET, EEG 가 있다.  이중 SPECT와 PET는 방사능 물질을 주사해야 하는 필요가 있어 다급한 환자가 아니면 건강한 사람에게는 해서는 안되는 방법이다.  CT 역시 X-ray라서 반드시 필요하지 않으면 사용해서는 안되는 방법이다.

MRI는 자기장을 사용하기 때문에 인체에 안전한데 기계가 크고 수백만불을 호가 하여 고등학생들이 연구하기 위해 사용하기 적절치 않다.  EEG는 수 만 불을 호가 했지만 웬만한 신경학자의 진료실에 비치가 되어 있는 뇌파를 측정하는 기구이다.  EEG는 인간이 자연적으로 만들어 내는 뇌파를 측정하는 것이기 때문에 인체에 아무런 영향을 주지 않는 두뇌 기능 측정 방법이다.

한데 최근 이 몇 만 불의 EEG 측정 기계의 가격이 붕괴되면서 몇 백불의 기계가 등장하기 시작했다.  현재로는 장난감 같은 수준이고 이것으로 과학연구를 했다고 주장을 할 수는 없는데 그래도 뇌파를 제대로 측정할 수 있고 그 자료를 분석할 수 있기 때문에 그 측정 자료를 가지고 hypothesis를 생각하기에는 충분하고 첫 단계의 실험도 가능하다.  이 기계를 점검해 본 신경학자의 말씀으로는 이 몇 백 불의 뇌파 측정 기계로 무엇인가를 발견/발명 했으면 그 실험을 다시 의학계에서 인정하는 몇 만불 가격의 정식 뇌파 측정 기계에서 반복해서 입증을 하면 되니 염려말고 실험을 해 보라는 것이다.  아래 비디오는 그 몇 백불 대 가격의 기계 중의 하나의 작동 시범이다.  여기에서 구입할 수 있다.

위의 비디오의 6분 53초 부분을 보면 뇌파를 실시간으로 읽는 장면이 나오는데 보는 것도 신기하지만 더 신비한 것은 나도 내 사무실에 앉아 바로 같은 기구로 내 두뇌의 활동을 측정 하고 있는 것이다.  충격적인 것은 고등학생도 게임 머신의 가격으로 이 기계를 구입하여 자유자재로 사용할 수 있다는 것이다.  이 비디오에 나오는 두뇌의 각 부분의 활동 상태를 색상으로 보여주는 장면도 내가 사무실에 앉아 내 자신의 두뇌를 대상으로 수시로 해 보는 실험이다.  (내 두뇌의 활동이 별로 없다고 나와 더 활동이 나타날 때까지 한 없이 시도하고 있다.  측정을 반복할 때마다 “오기지수”만 올라가고 있다.)
https://i1.wp.com/dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif물론 뇌파를 읽는 다고 그 뜻을 이해할 수 있고 연구를 할 수 있는 것은 아니다.  나 자신도 자료는 자유 자재로 다루고 온 갓 그래프를 그려보지만 정작 의미는 몰라 신경학에 대해 배우고 있고 신경학자에게 자문을 받고 있다.  하지만 이런 기구가 나와 있고 소유도 할 수 있게 되었으니 앞으로 Brain Doctor 가 되겠다고 희망하는 학생이나 인간의 감정을 이해하는 소프트웨어를 만들겠다고 기염을 토하는 학생 모두 미래를 오늘부터 손에 넣어 만들어 가기 시작할 수 있는 것이다.

그리고 아직 시중에 나오지 않은 (사이트도 공개되지 않았다) 비슷한 가격의 실험 단계의 EEG 측정 기계도 있으니 앞으로 10년 후면 EEG를 측정하는 것은 체온을 측정하는 것 만큼 보편화가 되지 않을까도 생각된다.  (참고로 내가 기 기계의 Beta tester 가 되어 여러대를 기증 받아 내 연구 단계의 학생 마다 하나씩 이 기계를 가지고 있다.  조만간 두뇌의 기능을 측정하고 콘트롤까지 하는 실험을 시작하여 그 결과를 제작 회사에 알리고 연구 발표, 과학경시대호 진출도 시도 할 것이다.)

EEG 측정 기계의 가격은 싸졌지만 보편화는 되지 않은 이 과도기 10년 사이에 기회를 포착하여 이 신비한 두뇌의 연구를 하면 과학 경시대회 수상 가능성도 높지만 무엇 보다도 집에 앉아 첨단의 의학 연구를 할 기회가 생긴다는 꿈같은 동기부여의 기회를 포착하는 것이다.  아직 새로운 분야라 “수학을 잘 하는 학생의 뇌파의 특성”으로 시작하여 “이중 언어를 구사하는 학생의 두뇌의 차이”등 연구 주제의 가능성은 무궁무진하다.

혼자 이리 저리 연구를 해 보는 것은 물론 혼자 할 수 있지만 과학 경시대회에서 인정을 받는 두뇌 연구를 하고 싶은 학생은 주제 선택, 실험 방법 결정에 신경학자의 멘토링을 받아야 한다.  전혀 알지 못하는 신경학자에게 가서 멘토링을 부탁하면 성사될 가능성이 희박한데 연줄을 통해 하는 신경학자를 소개 받고 학생이 EEG machine을 소유하고 있고 직접 측정할 수 있다는 것을 강조하고 방문하여 자신의 기계로 측정하는 모습도 보여주고 (아직 이 기계에 대하 모르는 신경학자가 대부분이라 신기해 할 것이다) 멘토가 되어주십사 하고 간곡한 부탁하면 1. 이런 기계를 사용할 줄 아는 신통한 학생이고 2. 고등학생이 신경학에 도전한다는 것이 기특하고 3. 학생이 실험실 와서 기계 고장내지 않을 것이라는 안도감에 멘토링을 승락할 가능성이 5% 정도로는 올라 가리라 짐작된다.  5%라고 실망할 필요 없는 것이 스무명 찾아가 부탁하면 한군데가 나타난다는 뜻이니 7전8기가 아닌 19전20기의 투혼의 정신이 필요하다.

관심이 있는 학생을 위해 어떤 모델과 어떤 소프트 웨어를 구입해야 자신의 연구를 할 수 있는지는 8월 내로 뉴스레터로 보내드릴 것이다.  섣불리 구입하면 필요없는 기능을 비싸게 구입하거나 연구에 사용할 수 없는 싼 장난감을 구입하게 되니 제가 직접 실수를 해 보고 권하는 것으로 구입하시는 것이 가장 확실하겠다.   뉴스레터가 올 때까지 학생들은 사돈의 팔촌의 선후배까지 망을 넓혀 멘토링을 해 줄 신경학자를 물색해야 하겠다.

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중고등학생이 할 수 있는 과학경시대회 주제

중고등학생이 할 수 있는 과학경시대회 주제

By James H. Choi
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원문출처

이 사이트를 보시면

http://www.sciencebuddies.org/science-fair-projects/project_ideas.shtml?From=Tab

중고등학생이 할 수 있는 과학경시대회 주제가 분야별로 다양하고 상세하게 나와 있다.

주제의 수준도 아주 다양해서 5학년이 쉽게 할만한 연구도 있고 ISEF를 노릴만한 연구 주제도 있다.
https://i1.wp.com/dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif2003년도부터 지금까지 ISEF에 출전한 연구의 이름과 Abstract를 여기에서 볼 수 있다.

https://apps.societyforscience.org/abstracts/

그 중 어느 연구가 수상을 했는지는 여기에서 보실 수 있다.  Special Award와 Grand Award가 있는데 Grand Award가 더 인정을 받는 상 이다.

http://www.societyforscience.org/isef/results

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