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증명기하의 중요성과 공부하는 법

증명기하의 중요성과 공부하는 법

By James H. Choi
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기하의 종류

기하는 크게 분류하면 계산기하와 증명기하로 나누어지는데 대입에 필요한 모든 시험 (ACT, SAT, PSAT)등은 계산기하만 테스트한다.

증명기하는 계산을 할 줄 알면서도 왜 그렇게 계산을 해도 되는지까지 증명을 해야 함으로 계산기하보다 배우는 것이 훨씬 더 깊다.  따라서 대부분의 학생에게는 더 어려운 과목이다.

대입준비

대입 시험에 나오지 않는다면 대입을 인생의 목적으로 사는 학생에게는 계산기하만 배우고 나머지 시간을 더 건설적인데 보내는 것이 현명할 듯 하지만 그렇게 간단하지 않다.

대입이라는 것이 어떤 절대 조건을 충족시켰느냐로 결정되는 것이 아니라 지원자간의 “그중 나은 학생”을 선발하는 상대조건이라는 것이다.  그래서 시험에 출제가 되건 말건 다른 모든 조건이 같은 두명 중에 한명만 합격 시켜야 한다면 증명기하를 배운 학생을 선택하게 되는 것이다.  이는 그 과목을 이수했다는 사실 외에도 잔머리 굴리지 않았다는 것, 그리고 논리적인 사고방식을 성공적으로 증명했다는 부수적인 의미도 크게 작용한다.

증명기하를 배워야 하는 학생

미국의 독립선언문은 그 후 수십개국의 독립 선언문의 모델이 된 논리적이기로 유명한 문서이다.   이 독립 선언문의 논리 전개는 바로 기하 증명의 논리를 그대로 따라갔다.  기하증명을 배우지 않은 사람은 이런 글을 쓸 수가 없다.  그러니 앞으로 인생을 살아가며 비젼을 가지고 남을 리드하며 군중을 이끄는 위치에서 설 계획인 학생은 반드시 증명기하를 배워야 한다.  앞으로 현란하명서도 헛점없는 논리로 법정을 압도하고 싶은 변호사 지망생도 반드시 기하를 배워야 한다.  기하가 필요해서가 아니라 그 논리를 익혀야 하기 때문이다.  이런 논리적 사고방식은 일단 배우고 나면 우리의 일 부분이 되기 때문에 사용을 하면서도 “기하에서 배운 것을 이렇게 쓰는구나”하고 번번히 새삼스럽게 느껴지지 않는다.  따라서 이런 훈련을 통해 논리를 익힌 사람도 증명기하가 중요하다는 것을 깨닫지 못하고 “재미있게 배웠던 기억”이 있어서 추천을 하는 경우가 대부분이니 이 과정을 배우고 간 사람의 의견을 전적으로 믿을 수도 없는 어려움 있다.

선천 후천

증명기하는 물리화 함께 유난히 선천적인 소질이 배움의 수준을 크게 좌우하는 과목이다.   원래 선천적으로 논리적인 학생이 증명이라는 형식을 갖추게 되는 것인지 아니면 백지의 상태의 학생마음에 증명기하라는 학문이 기록되는 것인지 모르겠다.  즉, 이미 논리적인 학생이 더 논리적이 되고 비논리적인 학생은 낙제를 하는, 가르치는 것은 없고 선천적인 성향을 확인만 하고 마는 과목일 수도 있다.  이런 관점은 학생에게는 부담이 가는 소리이지만 논리적인 학생을 원하는 대학, 직장에서는 이 증명기하가 장래 성공을 예측하는 지표가 되어 더 관심깊게 볼 수 있다.  증명에 소질이 없더라도 이수준은 포기하고 넘어가기에는 너무 쉽고 너무 이르니  미리 준비하여 잘 하는 학생처럼 보여야 한다.  증명에 소질이 있다면 소질없는 학생으로 오인되는 불상사가 없도록 반드시 과시하고 넘어가야 할 과목이다.
https://i1.wp.com/dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif배우는 방법

물론 학교에서 정규 과목으로 배우는 것이 가장 정상적이며 저렴한 방법이다.  시중에 나와 있는 증명기하의 교과서는 출판한지 10년이 된 Rhode의 Geometry for Enjoyment and Challenge가 이제는 유일하게 아직 출판되고 있는 교과서이다.  즉 증명기하를 배우려면 이 책을 사용해야 한다.

증명기하 지식의 중요함에 불구하고 교과서는 절판되고 있는 현상은 미국의 수학교육의 하향화의 한 현상으로 보인다.  이제는 수 많은 학생들이 고전하는 증명을 굳이 가르칠 필요가 있는가 하는 반문까지 공공연히 나오고 있고 어쩌면 증명기하는 극 소수의 엘리트 고등학교에서만 가르치는 과목이 될지 모른다.  준비안된 학생을 가르치다 두손 든 교사들이 도저히 못가르치겠다고 항복을 하건 말건 자제분이 장래에 지적 세계에서 리더가 되기를 원하시는 분은 유행에 휩쓸리지 마시고 반드시 이 과목을 배우도록 하셔야 한다.

증명은 혼자 배울 수 없는 과목

학교의 수업 스케줄 또는 트랙을 바꾸기 위해 학교 외에서 따로 증명기하를 배우게 되는 경우도 있는데 수학 중에 증명기하는 혼자배우기가 가장 어려운 과목이다.  여러 강으로 흐른 물이 한 바다에서 만나듯이 여러방향으로 전개된 증명이 한 정답으로 모일 수 있기 때문이다.  단, 물리의 법칙을 절대로 어길 수 없는 강물과는 달리 증명의 과정에서는 논리의 오류가 조용히 스며 들어갈 수 있기 때문에 누군가가 채점을 해 주어야 한다.  이는 에세이 채점과 마찬가지로 학생 자신이 할 수 없고 이 과목을 완전히 이해하는 누군가가 학생의 창의적인 독특한 전개 방법을 오직 엉뚱하다는 이유로 오답으로 간주하지 않고 정확히 칭찬할 것은 칭찬하고 틀린 것은 어째서 틀린 것인지 정확한 이유로 설명을 해 줄 수 있는 채점자가 필요하다.

YouTube등에 수 없이 나와 있는 강의, 그리고 수많은 온라인 강의 중에 증명 기하를 처음부터 끝까지 체계적으로 설명한 강의는 내가 알기로는 사비오 아카데미의 증명기하 강의 하나 뿐이다.   그 외에도 증명기하 코스가 있다면 아래 comment box에 알려 주시기 바란다.   사비오 아카데미의 강의는 내가 만든 것이기 때문에 내용을 잘 알고 있고 자신있게 권하지만 (제 자화자찬 믿지 마시고 의심으로 무장하시고 확인하시기 바람) 역시 이 강의도 학생의 증명을 채점해 주지 않기 때문에 강의로만 다 배웠다는 것을 확인할 수가 없다.   단 이해하지 않기로 굳게 마음을 먹은 학생이 아니라면 증명이 무엇인지 어떻게 접근해야 하는지를 쉽게 이해할 수 있도록 제대로 설명했다고 자신한다.  어떻게 하면 증명채점 서비스를 제공할 수 있을까 하고 항상 고심하는데 뾰족한 수가 떠오르지 않아 몇 년째 미루어지고 있는데 현실적이면서도 좋은 아이디어가 있으신 분은 아래 comment box에 생각을 공유해 주시기 부탁 드린다.

e-Learning의 병형

증명기하는 물리와 함께 선생님의 설명 능력에 따라 학생의 이해 수준이 극과 극의 차이를 보이는 과목이다.  증명기하를 학교에서 배우면서 내용이 이해가 가지 않을 때는 학생에게 소질이 없을 수도 있고 선생님의 설명에 안개가 가득차 있을 수도 있다.  증명기하는 단계적으로 올라가는 과목이라 한 챕터가 어려우면 그 다음 부터는 더 난해하도록 되어 있다.   코스가 어렵게 느껴지면 주저말고 사비오 아카데미의 e-Learning 강의를 병행해서 들어보시도록 권한다.   이런 trial을 단기 라이센스로 저렴하게 해 보시고 강의를 쉽게 이해할 수 있으면 장기 라이센스를 구입하셔서 병행하여 이 과목을 성공적으로 이수하실 수 있다.  사비오 아카데미의 강의로 도움이 되지 않을 경우는 학생이 어려워 하는 점이 무엇인지 정확히 판단하여 지도할 수 있는 개인 교사를 찾아야 한다.  증명기하에서 고전하는 학생을 다른 그룹 수업에 넣는 것은 무모하다.  10명이면 10가지 다른 부분에서 막히고 있기 때문에 그룹으로 배우면 학교에서 이해 못한 내용을 과외수업에서 똑 같은 소리 듣고 똑같이 이해 못하기를 반복하는 것 외에는 이득이 없기 때문이다.

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카테고리:기하 Geometry

PSAT의 기하 점수만 낮은 경우

PSAT의 기하 점수만 낮은 경우

By James H. Choi
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(이 폼에 질문을 작성 하시면 이 자리에 답을 드립니다.)
https://i1.wp.com/dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif질문:

저희딸아이는 지금 10학년에 다니고  있습니다.  학교에서 math analysis/calc honor를 하고 있는데  이번에 KPLAN에서 실시하는 PSAT 를 보았는데  분포도를 보면  geometry에서 점수를 많이 받지 못했더군요.

참고로 geometry는 8학년 summer school때 6주동안 했습니다. 1년 과정을 속성으로 해서 그런지  geometry에서 점수를 많이 깍였네요.  이같은 경우 어떤식으로 지도하면 효과적인가요?

5월달에 ap시험도 봐야하고 지금은 학기중이라  시간이 나질않네요. 효과적인 학습법이 있으면 조언해주시면 감사하겠습니다.

답:

이미 기하를 다 배운 학생이고 현재 준비중인 시험에는 증명이 나오지 않으니 기하 코스를 어떤 형태로든 재 수강하는 것은 비효율적인 방법입니다.

그러니 증명없고 싼 기하책 (예: Geometry Larson) 을 구입 하셔서 홀수 문제를 풀어보는 것이 가장 효율적인 준비가 되겠습니다.

기하를 잘 배우려면 수학경시대회에 나오는 기하 문제를 보도록 하세요.  AMC 8에 나오는 기하 문제가 PSAT 나 SAT 에 나오는 문제보다 더 학생의 이해를 완전히 확인합니다.

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카테고리:기하 Geometry, 상담

기하를 반드시 1년동안 이수해야 하는가

기하를 반드시 1년동안 이수해야 하는가

By James H. Choi
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(이 폼에 질문을 작성 하시면 이 자리에 답을 드립니다.)

질문:

Alg1->Alg2->Geo->Precal->Cal 로 가는 순서의 학교에서 공부하고 있습니다.

8,9학년 때 Alg1과 Alg2 를 어너로 했고 여름에 지오메트리를 듣고 10학년에 프리칼을 하게할 생각을 했는데 학교 선생님이 강력하게 그렇게 하지말라고 아무리해도 짧은기간에 어너 지오메트리를 못한다고 하시네요.

그렇게되면 결국 12학년에나 ap cal와 AP Physics를 듣는건데 너무 진도가 늦는거 아닌가요?  아이는 공대에 관심이 있습니다.

윗학년애들보니 수학을 잘하는 애들이 꽤 많은 학교인데도 이렇게 여름에 듣고 스킵하는 아이들은 많지않네요.  소수의 아이들만 11학년에 AP cal을 듣고있대요.

선생님이 하지않는게 좋다고해도 그냥 제생각대로 지오메트리를 스킵하는게 좋을까요?

지오메트리는 sat math 2에도 별로 안나오는데 꼭 증명을 많이하는 어너수준까지 1년을 들어야만할까요?

선생님의 조언을 기다립니다.

답:

우선 오른쪽에 “기하 Geometry”라고 된 category를 선택하시고 제가 그동안 기하에 대해 쓴 글을 참고 하세요.
https://i1.wp.com/dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif자제분의 경우는 Algebra 2 를 먼저 가르치는 과정을 이수하고 있기 때문에 여러가지 option이 있습니다.

우선 대부분의 학생이 여름방학동안 증명기하를 제대로 배우지 못하는 것이 사실입니다.  좀더 정확히 말하면 1년 내내 배워도 제대로 배우지 못하는 학생이 있고 평생 배워도 영영 이해를 못하는 학생이 있습니다.  그리고 동시에 여름방학이면 충분히 배워내는 학생도 있습니다.  학교측의 입장에서는 학생이 너무 올라가 낙제를 하면 골치가 아프고 재수 없으면 책임까지 물어야 하는 곤혹을 치르지만 학생이 낮은 반에서 비비틀고 있으면서 A를 받으면 우수한 교육자로 인정을 받기 때문에 항상 안전제일의 경영방침을 유지하고 있습니다.

학생이 넘치는 의욕을 감당못해 무엇인가 배워 터득하지 않고는 견딜 수가 없는 상태라면 학교의 정책에 동조하며 다음과 같은 방법으로 두각을 나타내는 방법을 고려하실 수 있습니다.

Plan A: 10학년 전 여름에 Geometry가 아닌 Precaculus를 배우고 10학년 때는 학교에서 Geometry를 배우며 독자적으로 Calculus를 배웁니다.  그리고 10학년 말에 AP Calculus 시험을 봅니다.

Plan B: 10학년 때 학교에서 Geometry를 배우며 혼자서 Precalculus를 배웁니다.  11학년 올라갈 때 시험을 요청하여 Precalculus의 실력을 인정받고 Calculus로 직접 들어갑니다.

저는 Geometry를 독학하는 것을 권하지 않는 이유가 증명은 아직도 사람이 채점 해 주어야 되기 때문입니다.  5년 후면 제가 만드는 중인 증명 자동 채점 사이트가 완성되었을지도 모르는데 아직 그 시대는 도래하지 않았으니 선생님이 채점해 주는 코스에서 배우는 것을 권합니다.   Precalculus나 Calculus는 혼자 공부가 가능한 과목입니다.

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카테고리:기하 Geometry, 상담

여름방학에 기하 복습해야 하나?

여름방학에 기하 복습해야 하나?

By James H. Choi
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일단 학교에서 기하 과목이 끝나면 기하의 증명은 다시 나오지 않습니다.  대학 입시 시험을 물론이고 대학을 졸업할 때까지 기하 증명은 다시 등장하지 않습니다.  증명에 서툴렀어도 일단 기하가 끝났으면 다시 복습할 필요는 없습니다.  그리고 다시 배워도 이번에는 잘 할 것이라는 확률도 높지 않습니다. 

하지만 각도와 길이를 계산하는 기하는 지속해서 나옵니다.  ACT 에 나오고 SAT 나오게 SAT 2 에는 공간 기하가 나옵니다.  모든 도형의 성질을 잘 알고 있어서 질문하는 각도를 추리해 내는 기술은 반드시 가지고 있어야 합니다.  이것이 약했다면 복습을 해야 합니다.

한데 학교에서 잘 배우고 성적도 좋게 받은 것을 다시 복습시키는 것은 해롭다고 생각합니다.  “하나라도 더 배우는 것인데 해롭다니 무슨 말이냐?” 라고 이의를 제기 하시겠지만 이는 복습만 생각한 것이고 그 복습 시간에 다른 것을 배울 기회를 놓치는 것은 고려하지 않은 국한적인 생각이기 때문에 그런 “하나라도 더 배우는” 것을 긍정적으로 볼 수 있는 것입니다.  그리고 이제 나이가 들어갈 수록 부모의 말을 점점 안 듣게 되는데 부모말 대로 기하 복습 했다가 나중에 쓸모가 하나도 없다는 것을 알게되면 그 다음에 시키는 공부는 덜 적극적으로 따르게 됩니다.  “무엇이라도 배우겠지”라는 막연한 학습지도는 결국 얻는 것 보다 잃는 것이 커집니다.  그리고 시간 들여 돈 들여 하는 공부 “하나라도 더 배우겠지”식의 지푸라기 건지는 자세의 공부가 되면 너무 소극적이죠.  큼직한 목적을 달성하기 위해 엄청나게 배우는 수업이 되어야 하고 학부형님을 위해서도 학생의 사기를 위해서도 결과가 뚜렷이 나타나야 합니다.

학생이 복습이 필요한 경우라도 덮어놓고 복습하는 반에 넣지 마시고 시험을 보아 지식이 얼마나 모자라는지를 알고 시작해야 목적이 확실합니다.  가등하면 똑 같은 책으로 똑 같은 소리를 다시 듣게 하는 복습 보다 (두 번째 더 효과가 있으리라는 보장도 없고) 같은 내용을 다르게 사용하는 복습이 더 효과적이 됩니다.  즉, 똑같은 기하를 다시 반복하는 것 보다 수학 경시대회에 나오는 기하를 배우는 것이 수준이 높고 재미있고 ACT, SAT 시험 준비가 철저히 됩니다.
https://i1.wp.com/dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif그래서 기하 복습도 ACT SAT 시험 준비도 수학 경시대회 준비로 하는 것을 권해 드립니다.

https://i1.wp.com/dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/Copyright.gif

카테고리:기하 Geometry

학생들이 해마다 부딪히는 물리와 기하의 장벽

학생들이 해마다 부딪히는 물리와 기하의 장벽

By James H. Choi
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기하와 물리:  반복이 되더라도 미리 배워야 하는 과목

중간고사가 다가올 때쯤 학원을 찾아오는 학생들은 발등에 불이 떨어진 학생들입니다.  여태까지 한번도 학원에 간 적이 없다는 학생도 이때 찾아오게 되는데 이 학생들을 절망시키는 근원은 주로 물리와 기하입니다.

물리와 기하는 학생들을 극과 극으로 나눕니다.   단번에 이해하는 학생이 있는가 하면 한참 설명을 해 주어도 도저히 모르겠다고 하는 학생이 있습니다.  그 동안 공부를 못 해온 학생이 물리에서도 고전을 한다면 놀라울 일은 없는데 늘 A 받아오던 학생이 예상치 않게 외다리에서 물리를 만나는 경우가 많습니다.

물리에 대해서

일단 물리가 어렵다는 것을 뒤 늦게 깨닫고 도움을 청해오는 학생이 A 를 받고 끝날 확률이 30%정도 입니다.   AP Physics 에서 5점을 받을 확률은 더 낮습니다.  이런 학생은 결국 스트레스 속에 살며 바둥거리다가 A를 놓치고 끝내기 쉽습니다.

이런 학생은 방학 내내 미리 예습을 했어야 합니다.  방학 내내 한다고 A 를 받는 보장을 절대로 없습니다.  하지만 전혀 준비를 안 한 것 보다는 훨씬 수월하게 해낼 수가 있죠.  하지만 우등생들이 방학동안 예습을 하지 않는 것은 이해할만합니다.  여태까지 공부 잘 해오던 학생이 갑자기 물리에서 이렇게 고전을 할 줄은 본인도 몰랐죠.  간단하게 A 를 받고 5점을 받을 수 있다고 생각하는데 “혹시” 라는 기분 하나로 그 귀한 여름 방학을 물리 공부하느라 시간과 돈을 낭비하는 것도 무모해 보입니다.  사실 혼자 잘 해 낼 학생이 방학 때 예습하는 것은 낭비입니다.

그렇다면 물리를 미리 공부해야 하는지 그럴 필요가 없는지 어떻게 알 수 있을까요?

여름 방학 때 하는 1주나 2주 정도의 물리 적성 측정을 코스가 답인 것 같습니다.  그 코스를 해 보고 잘 해내면 걱정할 것 없고 고전할 것이 예측되면 방학 동안 배워두도록 하는 것이지요.  물론 저 같이 학원을 하는 사람은 일부러 장사속으로 어렵게 가르쳐 코스를 하도록 만들 수도 있으니 학부형님은 덮어놓고 믿지 마시고 날카로운 눈으로 공정성을 가려야 하겠습니다.

물리를 잘 해내리라는 보장의 지표는 찾기 어렵지만 물리를 어려워 할 것이라는 지표는 간단히 알 수 있습니다.  수학에 약한 학생은 물리에서 고전을 합니다.  수학은 물리의 언어이기 때문입니다.  삼각함수 (trigonometry) 를 배우지 않고 물리 시작하는 학생은 틀림없이 고전합니다.  제가 가르치는 학군에서는 학생들이 Algebra 2와 동시에 물리를 그것도 AP Physics 를 하도록 하는데 이는 고전을 보장하게 되고 그런 학생의 반 정도는 중도 하차할 것이 명약관화한 방침입니다.  Algebra 2를 끝내고 Physics 를 해야지 Algebra 2와 AP Physics를 병형 하게 되었으면 물리에서 고전할 것을 기정 사실로 보셔도 됩니다.

수학이 앞서 있으면 물리도 쉬워지는 것이 수학 트랙을 앞서 나가야 하는 많은 이유 중에 하나입니다.  (제 올해의 교육 실험은 수학이 앞서있는 학생들에게 AP Physics C Mechanics 를 가르쳐 시헝을 보도록 하는 것입니다.  Calculus 를 알면 Physics Mechnics 는 저절로 이해하게 된다는 제 이론을 실험해 보는 것이지요.)

물리를 여름 동안 공부해서 앞서 나가는 것이 효과가 있습니다.  여름 동안 미리 해 예습해 놓은 학생이 중도 하차하는 경우는 없었습니다.  여러가지 사정으로 예습을 못한 학생은 잘 하기도 하고 drop 을 해야 하기도 합니다.

지금 물리를 잘 하고 있는 학생은 잊지 마시고 SAT 2 준비를 동시에 시켜 일석이조의 효과를 보도록 하세요.
https://i1.wp.com/dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif기하 (geometry) 에 대해서

수학을 잘 해오던 학생도 기하에서 고전을 하는 경우가 많습니다.  특히 증명 (proof) 에서 고전을 하는 경우가 많습니다.  누가 기하를 잘 할지 고전할지는 예측을 불허해서 저도 제가 제 학생에 대해 확답을 할 수 없습니다.  어려서 lego 를 많이 한 학생, 지도를 잘 보는 학생이 기하를 잘 한다고 생각해 보고 여태까지 주위에 학생을 보면 연관이 있어 보이지만 과학적인 자료는 아닙니다.  그러니 다음 해에 기하를 학생도 한번 증명을 배워 보고 수월해 보이면 그만두고 어려워 보이면 여름 동안 예습을 해 두는 것이 가장 현명하다고 생각 합니다.

지금 물리와 기하를 하고 있는 학생에게는 너무 늦은 이야기 이지만 내년에 물라나 기하를 할 학생을 두신 학부형님은 여름 학기 시작할 때 자녀님의 이 두 과목의 적성을 잘 측정 하셔서 개학하고 뒤 늦게 당황하는 일이 없도록 미리 준비해 두시기 바랍니다.

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기하와 물리: 반복이 되더라도 미리 배워야 하는 과목

기하와 물리: 반복이 되더라도 미리 배워야 하는 과목

By James H. Choi
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저는 선행학습을 하여 두 번 배우는 것을 반대합니다.

하지만 Geometry와 Physics는 미리 예습을 하여 자신의 소질을 확인하고 가야 한다고 생각합니다.

이 유는 유독 이 두가지 과목만 똑똑한 학생들이 수렁에 빠져 헤어나지 못하는 경우가 자주있기 때문입니다.  제가 오래 가르쳐왔지만 아직도 누가 이 두 과목에 발목이 잡힐지 미리 알아보지 못합니다.  통계는 없는데 여학생에게 더 자주 있어나는 것으로 기억됩니다.  특히 모범적이고 숙제도 잘하고 모든 과목에서 A 를 받던 학생이 이 두 과목을 배우게 되면 좌절을 할 정도로 고전을 하게 되는 경우가 발생합니다.
https://i1.wp.com/dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif그러면 그제서 보충 수업을 듣고 당분간 성적을 만회하기 위해 스트레스 속에 살게 되는데 그렇게 따로 수업을 받고 도움을 청해야 한다면 이런 상황이 벌어지기 전에 미리 예습을 하는데 돈과 시간을 쓴 것이 더 현명했을 텐데 하고 항상 외양간을 고치며 생각합니다.

그러니 내년에 이 두 과목을 배우게 되어 있는 학생은 방학동안 몇 Chapter라도 미리 공부하여 자신의 적성을 미리 알아보는 것이 현명합니다.  Geometry의 경우에는 적어도 4 chapter 는 배워야 본격적인 내용을 구경해 본 것이 되고 Physics의 경우는 적어도 Energy까지 배워봐야 뻔한 소리하고 있는 과목인지 도무지 이해할 수 없는 과목인지 알아볼 수가 있습니다.

쉽다는 것이 판정되면 그 때는 안심하고 예습을 중단하고 방학을 즐길 수 있습니다.  어렵게 느껴지면 지속해서 방학동안 배우는 데까지 다 배우고 개학하고 나서도 그 진도를 학교와 병행해서 나가면서 앞서가야 합니다.  제가 적극 피하라고 강조하는 두번 배우는 양상이 되지만 이 두 과목에 유난히 적성이 없으면 어차피 두번 세번 배우게 됩니다.  미리 선수쳐서 성적도 지키고 스트레스도 줄이는 것이 전형적인 뒤늦게 알아 집안 시끄러워지는 방식보다 현명합니다.  그리고 뒤늦게 도움이 필요한 것을 깨닫고 학원 찾아가면 여러 학교의 여러 반의 여러 학생이 여러가지 챕터를 배우고 있어서 내게 당장 필요한 것을 제때 배우지 못하는 경우가 자주 있습니다.  어차피 도움을 받아야 할 것이라면 미리 준비하는 것이 절대적으로 열 배 효과적입니다.

Physics에 대한 학생의 반응은 극과 극입니다.  일부 학생에게는 어려운 과목이지만 다른 일부에게는 아주 쉽습니다.  Physics 가 쉬운 것을 확인한 학생은 학생의  경우는 예습을 그만두고 방학을 즐길 수도 있지만 차라리 SAT Physics 를 다 배워버리고 학교에서는 AP Physics B 로 들어갈 수 있습니다.  Physics 가 쉬운 학생은 Physics가 재미있기도 하기 때문에 이 아이디어에 대해 거부감을 보이지 않을 것입니다.  그리고 이런 식으로 앞서지 않으면 Physics에 소질이 있다는 표시가 전혀 나지 않는 평범한 성적표가 됩니다.  방학 끝나고 SAT Physics 시험 하나를 보아 치워놓겠다고 목표로 하고 공부하면 목표도 있고 도전 의식도 생기고 대입시 기록으로도 보기 좋습니다.

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기하를 잘 하는 법

기하를 잘 하는 법

By James H. Choi
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기하 증명을 배우는 것은 작문을 배우는 것과 비슷한 점이 있습니다.  선생님이 가르치는 것을 들으며 고개 끄떡끄떡 한다고 해서 터득하는 것이 아니라 증명을 직접 하고 그것을 채점을 받아야 배워집니다.
https://i1.wp.com/dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif이해는 잘 했는데 시험에서 못하다는 것은 제대로 이해를 못했다는 것입니다.  이해는 잘 하는데 유난히 시험에 약하다는 학생들은 시험만이 이해의 정도를 측정하는 유일한 도구인 것을 인정하고 자신의 이해도에 터무니 없이 후한 점수를 주는 일을 중단해야 합니다.  자신의 부족함을 깨닫고 인정할 때 발전이 시작 됩니다.  제가 가르치는 학생들도 “나는 실력은 있는데 시험을 잘 못 봐”라고 하는 학생들이 있는데 그들에게는 “시험 점수가 너의 실력이다”라고 못 박아서 변명할 구실을 막아버립니다.

개인 지도를 받으면서도 성적이 오르지 않으면 두가지 경우가 있습니다.  하나는 학생이 제대로 배우지 않는 경우고 다른 하나는 선생님이 제대로 가르치지 못하는 경우입니다.  어느 경우인지 판단하는 것은 간단치 않으나 선생님을 바꾸는 것은 간단합니다.  여러 선생님에게 직접 배워보지 않고서는 누가 잘 가르치는지 알기 어렵습니다.  먼저 선생님을 해고 하지 마시고 학생을 새로운 선생님에게 따로 배우도록 해 보세요.  잠시 두 선생님에게 배우다가 더 잘 가르치는 선생님을 선택하세요.

잘 가르치는 선생님이란 개념을 잘 전달할 뿐 아니라 학교의 시험 성향도 파악에 거기에 맞도록 가르칠 수 있는 것입니다.  혹시 개인 교사 선생님이 “시험 성적을 올리는 것이 중요한 것이 아니라 제대로 배우는 것이 중요하다” 라는 식으로 나올 수 있으나 그런 말은 다 빈말입니다.  “제대로 배우는 것이 성적 향상에 연결이 안 된다면 제대로 배운 것이 아니라” 라고 대답하시면 되겠습니다.

선생님의 실력도 중요하지만 학생과 “죽”이 많는 것도 아주 중요합니다.  학생이 호감을 가지고 잘 배울 수 있는 선생님을 선택하시면 변화가 있은 수 있습니다.  하지만 결국에는 성적을 올려 놓는 것이 목적이니 그 점을 선생님들에게도 확실히 하세요.  저에게 배우는 학생들 중에도 저 대신 다른 선생님에게 배우면 더 효과가 날 경우가 있을 것입니다.  한 선생님이 모든 학생을 다 최고로 가르치는 것은 불가능합니다.

그리고 한가지 좋은 소식은 증명은 아마도 첫 semester 로 끝날 것입니다.  다음 semester에서는 계산 기하가 시작되기 쉽습니다.  지금은 증명으로 고전을 하고 있을 수 있지만 다음 학기에는 계산으로 점수를 만회할 기회가 오는 것이죠.

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카테고리:기하 Geometry
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