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트랙 바꾸는 법 2: AP Calculus 시험 실화

트랙 바꾸는 법 2: AP Calculus 시험 실화

Written on September 26, 2005

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
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미국 고등학교 수학 과정은 수준이 다양하여 갈은 고등학교를 나와도 배운 수학이 현저히 차이가 난다는 이야기를 전에 썼다. (#72 고등학교 수학의 다양한 트랙들)

우선 한가지 이야기 해 둘 것은 거의 모든 학생이 제 실력으로 제 트랙에 들어가서 배우고 있다는 사실이다. 학교에서 가르쳐주는 대로 차근히 배워 나가면 중간에 뛰고 어쩌고 할 이유가 없다. 이 트랙은 물론 높기 전에 자기의 수준에 맞아야 가장 유리한 것이다.

트랙은 중학교 들어갈 때 고등학교 들어갈 때 반 편성 시험에서 우수한 성적을 받아 제대로 배정되어 간다. 하지만 시작을 제대로 못 한 경우에는? 중간에 갑자기 실력이 는 경우에는? 중간에 바꿀 수가 있는가?

한국 대입시험 수기를 보면 흔히 뒤 늦게 정신차린 학생들 이야기가 나온다. 빈둥빈둥 놀다가 갑자기 정신차려 공부해서 명문대 들어갔다는 이야기 들이다. 얼마나 실화인지 모르지만 이런 이야기는 한 시험으로 운명이 좌우되는 수험제도에서만 가능하다. 미국같이 장기간 준비를 해야 하는 제도에서는 대입준비 10 학년 때 정신차려 시작한다고 해서 갑자기 바이올린을 잘 하게 될 수도 없고 테니스 챔피언이 될 수도 없다. 공부 성적으로 승산을 본다고 해 봐야 낮은 트랙에서 아무리 A 받아도 학교 등수가 올라가지 않는다.

시험 점수로 승산을 보려면 뭔가 번쩍 눈에 띄는 성적을 받아야 하는데 학교에서 A 받는 것이야 흔한 일이고 SAT ACT 잘 본다고 해도 명문대에서는 그 것이 기본 조건이지 놀라운 일이 아니다. 아무리 마음잡고 정신을 바짝 차렸다고 해도 학교 등수도 올리기가 어려운 것이 일단 10학년 시작하고 나면 트랙 바꾸는 것 거의 불가능 하기 때문이다. 이 경우에는 변수를 쓰는 방법밖에 없는데 내가 두 명의 10학년 학생과 한 11학년 학생을 통해 실험한 경험을 알려드리겠다.

머리는 좋은데 공부에 별 관심이 없던 10 학년 학생과 11학년 학생 다 학교에서 Algebra 2 를 하고 있었다. 10학년 학생들은 트랙3 을 하고 있었으니 낮지도 뛰어나지도 않은 수준이었고 11학년은 트랙 4라 저조한 편이었는데 내가 이 학생들을 충동시켜서 Calculus 를 배우도록 했다. 무슨 장래를 위한 계획 같은 거창한 이유보다도 단지 서로 지지 않으려는 경쟁심이 90% 작용해서 이 Calculus 공부에 달려 들었다. 전에는 내가 이 학생들 가르치며 숙제해라 복습해라 잔소리를 많이 했는데 이 시험준비만은 이 학생들이 내가 충분히 가르쳐주지 않는다고 나를 들 볶았다. 막연한 공부가 아니라 다가오는 시험을 위한 공부가 이들의 자세를 이렇게 바꾸어 놓는구나 하고 알았다. 내가 모든 수업을 직접 가르칠 시간이 안 되어 대학에서 Calculus 가르치는 선생님을 모셔 그 선생님에게도 배우게도 했는데 “시험은 바짝 다가오는데 새 선생님 설명이 시원치 않다” 수업 거부를 하다시피 하여 결국 그 선생님 그만두게 하고 내가 다시 가르치도록 만들었다. 완전히 주객전도가 되어 학생들의 극성에 내가 꼼짝없이 끌려 다니며 가르쳐야 하는 양상까지 되었다.
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불과 몇 달 전까지 숙제를 안 해오던 학생들이 밤에 AP Calculus 시험 망치는 악몽 꾸어가며 자다 말고 일어나서 복습을 하는 경이로운 현상까지 보일 지경으로 공부들을 하였다. 친구들 생일 파티 같은 것은 물론 다 가지가지 핑계를 대고 빠지면서 학원에 나와 열심히 공부를 했다. 그들만 악몽에 시달린 것이 아니다. 나도 이들이 “시험 잘 못 보았다”고 전화를 해 오는 악몽을 자주 꾸었다.

지난 2005년 5월 그들은 AP Calculus BC 시험을 보았고 나는 그날 아침도 “시험이 어려웠다”는 전화를 받는 악몽으로 잠을 깼다. 오전 내내 시계를 보며 초조하게 기다리던 전화가 드디어 오후에 왔고 셋 다 “아주 어려워서 자신이 없다”고 걱정스러운 소리를 해서 결국 내 악몽이 마침내 현실로 되었다. 늘 그랬듯이 이번 악몽에서도 깨어나기를 바랐지만 이번에는 영영 깨어나지 않고 말았다. 맥이 탁 풀렸고 역시 무리였나 싶었지만 이런 시험은 내가 잘 보았냐가 중요한 것이 아니라 남이 나보다 못 보았냐는 것이 중요하다. 아무리 어려웠어도 다른 학생에게 더 어려웠으면 내가 이기는 것이다. 기다려봐야 했다.

초조하게 기다리던 통지표가 6월 말에 왔다. 10학년 한 학생은 5점 (만점) 다른 두 학생은 3점을 받았다. 세 명 다 5점을 받았으면 좋았겠지만 한 명이라도 만점을 받아 주었으니 Algebra 2에서 Calculus BC까지 일 년 만에 갈 수가 있다는 것을 보여주는 결과가 되었다. 뻣뻣한 남학생 남선생의 사이의 대화였지만 학생이 내게 5점 받았다고 전화 했을 때 목소리가 좀 촉촉했었다. 완전히 악몽만은 아니었던 것이다. 고등학교에서 5점을 인정 하는 것은 정해진 일이지만 3점은 어떻게 받아들일지 미지수였다. 삼분의 이. 66.67% 악몽이었다.

트랙 0 트랙 1 트랙 2 트랙 3 트랙 4
5학년 수재 Pre-Algebra 산수 산수 산수
6학년 Algebra 1 Pre-Algebra 산수 산수
7학년 Geometry Algebra 1 Pre-Algebra 산수
8학년 Algebra 2 Geometry Algebra 1 Pre-Algebra
9학년 Precalculus Algebra 2 Geometry Algebra 1
10학년 Calculus Precalculus Algebra 2 Geometry
11학년 Statistics Calculus Precalculus Algebra 2
12학년 특별과정 Statistics Calculus Precalculus

개학하고 나서 세 학생 다 AP Calculus BC 성적표를 학교에 보였고 현재 이 학생들은 다음과 같은 코스를 하고 있다.

Student 1: 5점 받은, 이제 11학년이 된 학생은 Precalculus와 Calculus BC에 full 크레딧을 받고 AP Statistics를 하게 되었다. Calculus AB 만 가르치는 학교에서 Calculus BC 크레딧을 받는 돌연변이 학생이 되었다. 학교측에서는 이 학생이 12학년 때 가르칠 수학 과목이 없는 난처한 상황이 되었지만 나나 학생이나 싱글싱글 즐겁기만 하다. 1년 전에 제발 이 학생을 하나 더 높은 반으로 올려달라고 내가 편지까지 써서 부탁한 것을 거절 당했는데 이제 다 속 시원하게 해결이 되었다. 이 학생은 트랙 3 이 트랙 1 로 된 것이다. 이 학생은 지금 나와 Physics C 를 배워 이 과목 역시 수업 없이 시험으로 넘어가려 한다. (학교에서는 현재 AP Chemistry를 하고 있다) 이제 입시원서상에는 독학으로 Calculus BC 와 Physics C 를 해 낸 학생으로 나타나게 된다.

Student 2: 3점 받은, 이제 11학년이 된 학생은 학교측에서 Calculus BC 를 다시 배우라고 배정 시켰다. 트랙 3이 트랙 2 로 된 것이다. 좀 더 잘 했으면 Track 1 까지 갔을 텐데 하는 아쉬움이 있지만 그래도 그게 어디냐 이다. 특히 Calculus 를 아니까 물리가 쉬워서 Physics B 에서 선두를 달리고 있어 Physic C 로 바꾸려 한다.

Student 3: 3점 받은, 이제 12학년이 된 학생은 원래 트랙대로 가면 AP Calculus 도 아닌 그냥 쉬운 Calculus 를 배울 차례로 되어 있었다. 학기초에 성적표 들고가서 Calculus BC 듣고 싶다고 했더니 “개교 후 이런 일은 처음이다”라고 하면서 Special Case 로 그 자리에서 바꾸어 주었단다. 그 학생은 지금 Calculus BC 반에서 “Special Case” 로 통한다고 한다. 비록 3점을 받았지만 한번 다 배운 내용이니 아마도 그 반에서 명성을 날리고 2006년 5월 시험에는 반드시 5점을 받을 것이다. 트랙 4에서 트랙 3으로 됐다.

결국 악몽이 아니었다. 또한 돌이켜 볼 때 학교에서는 일주일 5일 수업으로 가르치는 과목을 우리는 일주일 이틀도 안 되는 수업으로 해 낸 것이다. 이런 식으로 지적(知的)곡예를 하여 강의 흐름을 바꾸어 놓는 것은 여러모로 무리가 많을지 모르고 장기적으로 어떤 효과를 가져올 지 예측 불허이다. 하지만 단기적으로는 대 성공이다. 5점이 가져오는 장점은 알고 있었지만 3점도 이런 좋은 결과로 연결될지는 몰랐다. 학교에 학부형이 찾아가고 추천서 쓰고 전화하고 해도 통하지 않을 일이 이 시험 성적 하나로 저절로 해결 되었다. 학생들의 위치가 유리해졌을 뿐이 아니라 학생들의 자세도 확 달라졌다. 이 세 명은 시험 보는데 재미 들려서 내년 5월에는 AP Physics C 두가지 (Mechanics, E&;M) 다 해내려고 벼르고들 있다. 한데 내 지식을 자신의 두뇌에 옮겨 놓으라고 버티고 있는 자세들은 여전하다.

나는 아직 이 세 명이 8개월 만에 그 많은 수학을 배우는데 성공한 정확한 이유를 모른다. 특별한 학생들이었는지, 내가 가르치는 것이 우수했는지, 올해가 유난히 AP 시험이 쉬웠는지 (=다른 학생들이 유난히 저조 했는지) 등등 data point 하나 가지고 무슨 그래프를 그릴 단계가 아닌 것이다.

그래서 data point 를 하나 더 만들려 한다. 올해도 2006년 5월의 시험을 목표로 의욕 있고 재능 있는 학생들만 모아 Algebra 2에서 Calculus까지 다시 한번 가르쳐 볼 것이다. 이번에는 10학년 뿐 아니라 Algebra 2를 반 이상 끝낸 뛰어난 8학년, 9학년도 뽑았다.. 이제는 미지의 세계를 모험하는 것이 아니라 한번 가본 길을 다시 가보는 식으로 다음 세대의 학생들을 인솔해 스트레스 심한 지적(知的)곡예를 시작할 것이다. 이 프로그램에 뽑힌 학생들 반응도 가지가지이다. 어떤 학생은 멋도 모르고 시작하고 어떤 학생인 신이 났다. 제일 신이 난 학생은 위의 Student 2 의 동생이다. 형이 10학년에 한 것을 자기는 8학년에 해 내겠다고 들 떠있다. 8개월간 형이 고생한 것을 바로 옆에서 보았는데도 수학여행 떠나는 학생같이 신이 났으니 나도 기쁘다. 지금은 형 눌러놓기 위해 시작하지만 끝에는 수학의 묘미와 조화에 매료되어 형이 말 했듯 “다 설명을 해 주니까 이해는 하겠는데 뉴튼은 어떻게 이것을 생각해 냈을까?” 하고 감탄을 할 것이다. 이 8학년 학생 일년에 다 배우는 것은 무리일지 모르지만 2년 만에 해내도 (변덕 안 나면 충분히 할 것이다) 트랙 0 가 된다.

나는 아직도 이런 무리한 교육의 장기적 여파를 모른다. 대학가서도 자신을 가지고 시험에 강하게 될지, 아니면 너무 빨리 배워 빈약한 지식이 될지. 또한 대학 측에서 이 시험 결과를 수재의 증명으로 볼지 불균형한 인간의 증세로 볼지도 모른다.

한지만 또 한편으로는 이렇게 열심히 배우는 것을 과연 무리로 봐야 하나도 생각한다. 국제 시장에서 언제 어디서 어떤 교육을 받았을지 모르는 어떤 두뇌의 미래의 경쟁자와 승부를 겨누려면 이정도 무리는 생활화가 되어 있는 것이 아닌가? 이 정도도 배워내지 못하는 약골 두뇌로, 이 정도의 도전에도 덤비지 못하는 배짱 없이 어디에 명함을 내 놓겠나 하는 반론도 생각한다. 그리고 한국의 대입 시험 준비 강도에 비하면 이 정도는 약과다.

충분한 자료가 없을 때 우리는 “믿음”이라는 단어를 사용한다. 나는 이런 공부가 학생들에게 도움이 된다고 믿는다. 단기적 뿐 아니라 장기적으로도 긍정적인 힘이 되리라 믿는다. 나는 이 세 명을 강하게 만들었다고 믿는다. 왜냐하면

그들의 지식의 늘었기 때문에.

그들의 대입 조건이 유리해졌기 때문에. 배우는 즐거움을 깨닫도록 했기 때문에.

그들이 어려운 시험에 대한 겁이 없어졌기 때문에.

그리고 그들이 악몽에 까지 나타나는 수학 문제 푸는 공부를 처음부터 끝까지 수학 여행 가는 기분으로 신나게 즐겼기 때문에

 

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카테고리:트랙

트랙 바꾸는 법 1: 학교에 시험 신청

트랙 바꾸는 법 1: 학교에 시험 신청

Written on September 26, 2005

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
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트랙을 바꾸는 것은 더 높은 트랙으로 올라갈 실력은 있는데 불리하게 낮은 트랙에 지정되었을 경우에만 생각할 일이다. 한데 현실은 좀 다른 것 같다.

내가 학교 선생님과 이야기를 하려 하면 나를 솥뚜껑 취급을 하는 경우가 많다. 미루어 짐작해 보건대 아마도 나보다 한발 앞서 격언으로 무장된 수 많은 학부형님들이 이 선생님들을 나무로 취급하여 “어? 왜 열번 이야기 해도 안 넘어가지?” 하면서 수십 번 억지를 쓴 것 같다.

실력이 없는 학생을 덮어놓고 올리는 것은 무모한 일이다. 전해 내려오는 전설에 의하면 한 학부형은 학교측을 소송하겠다고 까지 하여 공포의 분위기 속에 학생을 높은 반으로 올리는데 성공했다고 하는데 참 대단하다는 말 외에는 별로 좋은 표현을 생각할 수가 없다. 과연 소송으로 대학교도 들어가고 직장도 소송으로 들어갈지 궁금하지만 결과는 몰라도 좋으니 내 브랜드 이미지 관리상 그런 학부모와는 좀 떨어진 데 살고 싶은 생각이 든다.

무슨 이유에서였건 학생이 현재 수업이 너무 쉽다고 하면 학부형님은 반드시 다음과 같은 절차를 밟으시라고 권한다.

  1. 현재 어느 트랙에 있는지 확인
  2. 다음 높은 트랙이 무엇인지 확인
  3. 현재 과목이 계속 쉬울지 아니면 다음 Chapter 부터 어려워 질 것인지 확인
  4. 계속 쉽게 생겼으면 책의 모든 chapter test를 잘 할 수 있는지 확인
  5. 모든 문제를 잘 풀 수 있도록 확인
  6. 하나 높은 트랙에서 지금 가르치는 과정 공부 잘 해낼 수 있는가 확인
  7. 담당 선생님관 만나 “올려달라”고 하지말고 이 과정을 완전히 이해 했는지 final exam 을 줄 것을 요청
  8. 시험에 패스한다면 다음 수준으로 올려 달라고 조건부 신청
  9. 결과 복종

내가 가르치는 학원의 학생들이 반을 올려야 할 경우가 생기는데 주로 방학 동안 열심히 배워서 일어나는 결과다. 다들 노는 동안 공부를 했으니 노는 학생들 보다 앞서는 것은 당연한데 학생에 따라서 소화해내는 양이 다르다. 예습으로 학업을 더 수월하게 A 를 받는 학생이 대부분이지만 소수는 거의 1년 내용을 다 배운다. 이 경우에는 다음 과정으로 넘어가도 되는데 문제는 학교의 동의이다.
http://dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif미국에는 여름방학에 summer school 도 하지 않은 학생이 어디 딴 데가서 1년 과정을 배워온다는 개념이 아직 생소하다. 그래도 학교에 따라 시험을 주어 다음 과정으로 넘어가는 자격을 점검해 주는 학교가 있고 아예 고려조차 하지 않는 학교가 있다. 내 생각에는 그 동안 학부형 등살에 얼마나 시달렸느냐와 관계가 있는 것 같다.

어떤 때는 아예 학부형과 이야기도 하지 않으려는 경우도 있고 어떤 때는 학생이 실력이 있는데 이대로 두었다가는 트랙 4로 결정될 것이 뻔하여 내가 가르치는 학원의 원장 선생님이 직접 나서는 경우가 있는데 이때 우리가 주장하는 것은 학생을 올려달라는 것이 아니라 방학 동안 달리진 실력을 점검해달라는 것이다. 간단히 시험을 주는 학교도 있지만 학부형님의 영어가 딸려서 오해만 낳는 경우에 우리가 개입하여 상황을 설명하고 시험의 기회를 받는 경우도 있다. 물론 일단 시험 날짜를 받아오면 학원은 비상이 걸린다. 이 학생이 만반의 준비가 되도록 최대한의 노력을 하는데 벼락치기에는 한계가 있다. 결국 시험준비 며칠 난리 치는 것 보다 여름방학 동안 학생이 얼마나 열심히 했느냐의 실력대로 정해진다고 볼 수 있는데 올해의 성공률은 한 50%정도이다. 50%가 듣기 보다 그다지 나쁘지 않은 것이 이 한해 과정을 넘는 시험들을 염두에 두고 여름에 배운 것이 아니었고 우리는 학생들이 배우는 속도대로 나갔을 뿐이었다. 그냥 예습으로 배운 것이 진도가 나가 한 해 과정을 끝내는 정도까지 넘보게 된 것이었다.

아직도 학기초에 다음 반으로 넘어가는 것이 번거롭다. 매번 학교측에 시험의 기회를 달라고 요청하는 식이 되고 시험을 주느냐의 결정은 학교측의 아량에 따르는 형식으로 되고 있는데 우리 학원은 앞으로는 학군 내에 방학 후 반 배정시험을 보는 공식 제도를 마련하도록 추진하려 한다. 이렇게 하면 학교측에서도 학부형들에게 시달리지 않아도 되고 학부형들도 학교 찾아 다니며 부탁을 하지 않아도 된다. 또한 이런 시험이 제도화가 되면 학생들 입장에서 보면 여름방학 잡치는 것이 아니라 시험준비를 하는 것이 되어 공부 자세도 바뀔 수가 있다. 우리가 바라는 것은 잡음 없이 자연적으로 모든 학생이 공정히 실력대로 배정되는 것이다.

언젠가는 미국의 문화가 바뀌어 방학 동안 학생의 실력이 현저하게 바뀔 수 있다는 사실을 체계적으로 검사할 날이 올지 모르지만 그때 까지는 학부형님이 그 사실을 알리고 점검을 부탁해야 할 것이다. 단, 제발 덮어놓고 “올려 달라”고 주장하지 마시고 반드시 시험을 치게 해 달라고 신청하시기 바란다. “열 번 찍어 안 넘어가는 나무 많다.” 그 격언 자체가 무식한 억지주의 이다. 그런 억지 쓸 생각을 버리시고 학교 선생님과 이야기 할 때 반드시

  1. 자유경쟁 실력주의에 입각해 각 학생이 공정한 위치에 배정되는 사상을 준수하고
  2. 공정한 위치란 오직 학생의 실력으로만 결정이 되며
  3. 학생의 실력이란 시험 결과로 측정 된다

는 논리에 어긋나지 않는 말로 시험을 신청 한다면 아마도 반응이 훨씬 더 긍정적일 것이다. 즉, 내 아이를 올려 주십사가 아니라 모든 학생이 제 실력대로 갈 때 학교측도 최대의 인재를 배출할 수 있다는 철학적 각도를 잃지 말고 접근해야 한다. 우리 학원측에서 학교 교사와 이야기 할 때 우리는 항상 학생이 잘 하면 학교로 공적이 돌아가고 학교 교사가 칭찬을 받는 점을 강조하며 우리가 가르치는 것이 다 학교의 영광으로 돌아감을 상기시키며 이야기 한다. 학교와 학원은 경쟁 상대가 아니고 학원이 학교를 보조한 다는 것을 인식 시킨다. 세상 모든 사람 다 자기의 이익만 추구하기 바쁘니 항상 학교측의 이익에 도움이 되는 각도로 이야기를 전개한다.

학교측이 시험 주는 것을 거부할 시나 학교에 가기 전에 아예 미리 실력의 증거를 확보할 시에는 학교 외의 시험을 볼 수 있는데 이중 학교의 과정과 직결되는 것은 AP Calculus 뿐이다. (AP Calculus 로 실력 인정받은 이야기 참조) SAT 나 ACT는 학교 과정에 직결이 되지 않아 만약 SAT 수학에 만점을 받았다 해도 학교측이 어떤 배려를 할지 미지수이다. 단 SAT Math Subject Test 의 만점은 Algebra 2나 Precalculus의 지식을 인정해 주리라 생각되는데 아직 직접 해 본 경험이 없어 확언을 할 수가 없다.

한데 학생들의 실력 증명으로 SAT Math Subject Test 보다 내 생각으로는 오히려 AP Calculus BC 준비가 더 쉽다고 생각된다. 아직 실행하지 않아서 확실히 이야기 할 수 없지만 내 생각에는 SAT Math Subject Test가 문제 제출이 워낙 광범위 해서 다 배우기에 상당한 시간이 소요가 된다고 생각되고 그 시간이면 Function을 외골로 파고 들어가 AP Calculus 다 배울 수 있다고 생각한다. 이런 나의 이론 때문에 학교측에서 인정해주지 않는 수학 능력을 따로 증명하게 싶어하는 학생들에게 AP Calculus 를 가르치는 것이다. Algebra 2 나 Precalculus의 내용을 이해하고 있다고 인정해 줄지 아닐지 모르는 SAT 보다는 차라리 고등학교 수학의 종착역인 AP Calculus BC 를 보도록 하는 것이다. 물론 Calculus 에 나오지 않는 확률이나 Matrix 같은 것은 따로 공부하여야 한다.

다시 한번 강조하지만 학생이 트랙을 바꾸는 것은 실력으로 할 일이지 떼써서 할 일이 아니다. 실력 없이 억지로 트랙만 바꾼다면 학교와의 불화만 생기고 학생은 뱁새의 운명밖에 기대할 것이 없다.

 

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카테고리:트랙

성적을 지울 수 있지만 재시도가 어려운 AP

성적을 지울 수 있지만 재시도가 어려운 AP

ByJames H. Choi
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원문출처

AP 시험은 모든 기록을 다 보고하기로 유명한 College Board 에서 주관하지만 점수를 지울 수 있습니다. 제 학생들도 재 시도를 하여 만족스러운 성적을 얻으면 면 첫 성적을 지웁니다.  하지만 아주 없어지는 것이 아니라 “성적이 취소 되었습니다” (grade has been canceled) 라고 나옵니다.

출처: http://collegeboard.com/student/testing/ap/exgrd_rep.html

Grade Cancellation

Grade cancellation deletes an AP Exam grade permanently from your records. Grades may be canceled at any time. However, for grades not to appear on the current year’s grade report, AP services must receive a signed letter requesting cancellation by June 15. While there is no fee for this service, your exam fee is not refunded. The grade report that you and your school receive will indicate that the grade has been canceled.

SAT 성적은 시험보고 난 수요일까지 취소를 신청해야하는데, 즉, 성적이 무엇인지도 알 도리가 없는 상태에서 결정을 해야 하는데 AP 는 성적을 보고 나서 정할 수 있습니다. 물론 이는 AP 시험을 9학년 10학년에 본 경우를 말 합니다. AP 를 다 11학년으로 미루는 상태에서는 두번의 기회가 없습니다. 그리고 이 두번째의 기회가 정말 기회로 작용할지도 의문입니다. 해마다 공부해야 할 분량은 늘어가는데 지난 해의 시험까지 다시 봐야 한다면 올해의 시험에 악 영향을 주기 쉽기 때문입니다.
http://dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gifAP 준비는 단기간에 할 수 없는 것이기 때문에 항상 단번에 해야지 재시도를 하는 경우에는 다른 과목까지 끌어내리는 악순환이 시작될 수 있습니다. 그리고 AP 시험 준비는 학교의 수업만 믿지 말고 시중에 나와있는 문제집들 보면서 학교와 동시에 공부해가야 합니다. 시중에 어느 교재가 좋은가 묻지 마시고 그냥 다 사세요. 저에게 한시간 개인지도 받는 비용이면 시중에 책을 다 사고도 남습니다. (AP Calculus BC 혼자 준비하는 법) (제게 배우는 학생들은 이 책들을 살 필요 없습니다)

SAT 2 에 해당되는 과목을 가을학기에 시작하는 학생들도 1년 내내 무리없이 학교 수업과 병행해서 SAT 2 준비를 하는 것이 가장 현명하고 결과가 좋게 나옵니다. 이 역시 시중의 책들을 다 사셔서 학교 수업과 병행해서 문제를 풀도록 하세요. 제가 잘 아는 것은 수학과 물리 뿐인데 수학은 학교의 수학과 다를 바가 별로 없지만 SAT 물리는 계산이 없는 개념 질문만 나오기 때문에 이 스타일의 문제를 익히 보아두고 선생님 강의에 그 대답이 어떻게 출연하는가을 보아두는 버릇이 생겨야 합니다.

 

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카테고리:AP Calculus, AP Physics

AP Calculus BC 다음에 하는 코스

AP Calculus BC 다음에 하는 코스

Written on July 6, 2007

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처

미국의 대부분의 고등학생은 (약 98%) AP Calculus BC 를 하지 않고 고등학교를 졸업합니다. 2006년도에는 전 학년을 다 합하여 58,603명이 AP Calculus BC 를 보았습니다.  (출처 Program Summary Report 2006)  이는 매년 미국에서 고등학교를 졸업하는 약 3백만 명의 학생 중 2% 정도입니다. 한데 이 2%의 세계에서는 그 안에서의 경쟁이 있습니다. 위의 58,603명 중에서 12학년에 이 시험을 본 학생은 41,792명입니다. 12학년이 되기 전에 이 시험을 본 학생은 11학년에 12,551 명, 10학년에 1,119 명, 9학년에 118명 중학생이나 그 이하가 21명입니다. (참고로 이는 시험에 시도한 학생의 수이지 5점을 받은 학생의 수는 아닙니다. 누구나 비용만 지불하면 다 시도는 할 수 있습니다.)

12학년이 되기 전에 AP Calculus BC 를 끝낸 학생은 그 다음에 무슨 수학 수업을 해야하는지 선택을 해야 하는 즐거운 고민이 있습니다. 수학 AP과정은 Calculus 와 Statistics 밖에 없으니 아직 Statistics 를 하지 않았으면 그것을 하는 것이 대학 등록금 부담을 줄이는 현명한 방법입니다. 하지만 AP Calculus도 AP Statistics 도 이미 끝내버리고도 아직 졸업할 날이 먼 학생은 무슨 수학 과목을 해야 할까요?

학교에 따라 제공하는 수학이 다릅니다. 어떤 학교는 아예 AP 조차 없는 학교도 있습니다. AP 가 전혀 없는 학교는 교육 수준이 떨어지는 학교로 봐도 무방하고 가급적이면 피해야 합니다. 부득이 그 학교로 진학을 하게 되더라도 학교 믿고 있지 말고 개인적으로 경쟁력을 갖추어야 합니다. 어떤 학교는 이 AP Calculus 와 AP Statistics 로 수학 과정이 끝나고 그 다음에 할 수학이 없는 학교도 있습니다. 제가 가르치는 211 학군의 고등학교가 이 수준이라 그 상황을 잘 알고 있습니다. 이 수준는 선망의 대상의 대학에 많아 봐야 세 명에서 다섯 명 정도 보내는 학교입니다. 그리고 이 세 명에서 다섯 명은 학교에서 배우는 내용 외에도 다른 무엇인가로 대단한 두각을 나타낸 학생들입니다. 좋은 학군으로 알려져 집값까지 올리는 고등학교에는 이 이상의 코스가 있습니다. 저는 제 학생의 학교 사이트에서 수학 과정을 유심히 보는데 제가 본 중에 가장 수준 높은 과정은 Thomas Jefferson High School for Science and Technology 입니다. 이 학교의 수학 코스 리스트를 보면 제가 대학교 2학년 때 배운 Differential Equations, 3학년때 배운 Complex Variables 까지 나와 있습니다. 하지만 이 학교는 극단적인 예이고 대부분의 수준 높은 학교는 Multivariable Calculus와 Linear Algebra 까지 제공합니다. Multivariable Calculus는 다른 이름으로 나오기도 하는데 Vector Calculus 라고 하기도 하고 Multidimensional calculus 라고 하기도 하고 심지어는 special topics 라고 하여 읽어봐야 내용을 알 수 있기도 합니다.
http://dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif저는 AP Calculus BC 다음에는 이 Multivariable Calculus를 권합니다. AP Calculus BC의 대학용 Calculus 교과서의 앞부분입니다. 그에 연속되는 뒷부분이 바로 이 Multivariable Calculus입니다. 이 Multivariable Calculus를 배우면 여태까지 배운 Calculus가 수박의 표면이었다는 것을 깨닫게 되고 속까지 알게 되면 표면을 보는 눈도 이해하는 각도도 달라집니다.

Multivariable Calculus가 끝나면 Differential Equation으로 나가는 것이 가장 맞습니다. 이 모든 Calculus 결국 Differential Equation 을 풀기 위해서 배운 것입니다. 뉴튼의 철학에 입각해서 보면 온 세상은 다 Differential Equation으로 움직이고 있고 사실 그렇게 보더라도 거의 틀리지 않습니다. 바로 그 Differential Equation이 사람을 달에 보냈다 돌아오게 한 기본 지식이니까요.

하지만 이 Differential Equation이 없는 학교가 많습니다. 그런 경우에는 학교에서 흔히 제공하는 Linear Algebra 를 택하세요. Linear Algebra 는 한 학기 내지는 일년 동안 Matrix 를 배우는 것인데 이는 Algebra 2 를 끝낸 학생이면 배울 수 있는 내용입니다. 이 과목이 저 뒤에 나오는 이유는 중간에 들어갈 자리고 없고 이런 Matrix 를 심화하는 과정을 하기 전에 배워야 할 기본 지식이 (예를 들면 Calculus) 아직 많기 때문입니다. Linear Algebra 는 Calculus 배워 온데 전혀 연결이 되지 않는 동 떨어져있는 수학의 분야임으로 정 더 할 수학이 없으면 선택하시도록 권합니다.

가능하다면 고등학교에서 Linear Algebra 하는 것 보다 근처의 대학에 가서 Differential Equation을 하는 것이 학생의 지식이 지속성 있게 일괄성 있게 성장하고 특히 과학자나 엔지니어가 되려는 학생에게는 뉴튼식으로 세상을 보는 관점을 배우게 되고 (추가 흔들리는 것이 differential equation의 solution으로 보이기 시작 합니다) 고등학교 크레딧이 아닌 대학 크레딧을 받아 대학 입학도 유리하고 대입 후에도 유리하게 될 것입니다.

하지만 선택권이 없이 학교 과정이 Linear Algebra를 어느 순서로 하라고 정해 주었으면 그냥 따라 하세요. 일부러 피해 다닐만큼 큰 차이가 오는 것이 아니고 그 나름대로 또 유용하게 사용되는 수학의 분야이니까요.

그리고 참고로 “Discrete math”라는 수학이 있습니다. 이는 주로 수학경시대회 준비반입니다. 이 반은 해 두면 사고력 확장에 도움이 되고 ACT SAT에서 만점을 받는데 큰 도움이 됩니다. 한데 지금 이 과목 선택 조언이 필요한 학생들은 이미 ACT SAT 다 만점을 받아 놓은 학생이 대부분일 것입니다. 수학을 전공으로 하려면 이 과목이 도움 되지만 과학이나 엔지니어링으로 가가려면 수의 이론 보다는 계산을 하는 수학, 즉 differential equation으로 가는 것이 유리하다고 봅니다.

 

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AP 역전의 마지막 기회 봄방학

AP 역전의 마지막 기회 봄방학

By James H. Choi
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5월이 5일이 되면 2주 동안 AP 시험이 연일 이어진다. 이것만 해도 감당하기 힘든데 5월 경에 오케스트라의 발표공연, 운동팀의 결승전이 다 몰린다. 게다가 SAT 도 5월 3일이다. 계획을 잘 세워서 AP 과목과 SAT Subject Test 과목과 일치하면 다행이지만 SAT 1을 본다면 이중 부담이 된다. 이 시험들은 다 출제 범위가 1년 과정이라 하루 밤 벼락치기를 해 봐야 어디서 시작할까 하고 갈팡질팡 하다 다 지나간다. 우수한 학생도 스트레스와 과로로 시험을 제대로 못 볼 정도로 시험이 겹치는 상황인데 준비가 덜 된 학생은 완전히 겁에 질려 공부를 시작도 못해 최악의 결과를 내게 되기도 한다.

이 폭풍을 잘 견뎌내는 방법은 “미리” 준비하는 것이다. 이미 후반전에 들어간 이 경기에서 “미리”라는 표현은 적절치 않지만 그래도 마지막 남은 카드가 봄방학이다. 학교마다 다르지만 적어도 1주일이 되는 이 봄방학을 잘 활용하는 것이 마지막 역전의 기회이다.

학교의 모든 일이 순조롭게 되어가는 학생은 봄방학을 원래의 의도인 휴식, 또는 대학 투어 등으로 유용하게 보낼 수 있지만 AP에서 고득점을 받을 확신이 없는 학생들은 같은 공부로 AP 점수 향상 GPA 점수 향상 그리고 같은 과목의 SAT Subject Test 의 성적 향상까지 3중 혜택을 얻을 수 있는 이 봄방학 공부를 잘 계획하여 실천해야 한다.

방학 동안 혼자 AP 공부하는 방법은 다음과 같다.

우선 중요한 것은 자신의 위치를 파악하는 것이다. http://apcentral.collegeboard.com/ 에 가서 등록하고 나면 지난 연도의 AP 시험 기출문제를 받아 볼 수 있다. Calculus 의 경우는 free response만 무료로 제공하고 Multiple choice는 구입하도록 되어 있다. 대개 학교측에서 이 문제들을 구입하여 학생들을 연습 시키는데 학교가 하지 않더라도 개인적으로 구입해서 준비할 수 있는 것이다. 이 사이트에는 기출 문제 답 해설도 있는데 이 해설집은 AP 의 공식 채점 가이드라인도 표시되어 있어 어떤 식으로 답을 해야 점수를 받는지 알 수 있어 같은 지식을 가지고도 채점방법을 최대한으로 이용하여 점수를 최대한으로 올릴 수 있게 된다.
http://dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif시중에 AP 참고서가 여러 개 나와 있다. 흔히 어떤 것이 좋은가 하고 문의를 받는데 나는 항상 다 사라고 권한다. 한 권에 20불 미만이니 가격이 다른 수학 책에 비하면 싸고 한 권에 많아 봐야 모의고사가 4개 밖에 없어 모의고사를 10여 개 보아가며 경험을 쌓으려 하면 결국 서너 권이 필요한 것이다. 이 AP 참고서 책들은 다 두꺼운데 대부분 개념을 설명하는데 다 지면이 할애되어 실지 모의고사 부분은 극히 일부일 뿐이다. 이 책들에서 설명하는 것은 교과서에 나온 내용을 요약해 놓은 것인데 SAT 1 같이 적절한 교과서가 없는 망막한 시험은 이런 설명이 유용하지만 Calculus 같은 AP 과목들은 학생들이 이미 익숙해 있는 교과서에 칼라로 설명이 나와 있기 때문에 신문지 같은 종이에 흑백으로 엉성한 도형을 사용해 요약해 놓은 설명 내용들이 그다지 유용하지 않다. 단 교과서를 이해 못한 학생들이 이 참고서의 다른 각도의 설명을 보고 이해하는 경우는 있다. 교과서에서 이해 못했던 내용을 이 참고서 다섯 권의 설명을 돌아가면서 읽어 보는 것도 한 효과적인 방법이다. 다섯 권의 문제를 풀다 보면 다 별 새로운 것이 없어 보이는데 그 것이 준비가 되었다는 징조이다.

AP 여러 과목을 듣는 학생들은 모든 과목을 다 공부해 놓고 싶은 욕심이 있지만 내 생각에는 한가지를 확실히 해 두는 것이 심리적으로 더 효율적이라 생각한다. 대개 3월 말인 봄방학은 5월 AP 시험을 약 5주 정도 앞두고 있다. 학교에서 진도가 이미 다 나가 있거나 얼마남지 않은 상태여서 충분히 혼자 나머지 부분을 다 배울 수 있어야 한다. 봄방학 동안 한 과목에 집중을 하여 5월에 만점을 받을 준비를 다 해 놓고 그 과목을 잊고 지낼 수 있다면 그 남는 시간의 여유와 정신적인 여유가 다른 AP시험 준비에 큰 힘이 될 것이다.

참고로 앞 부분에 “미리”라는 표현이 적절치 않다고 했는데 정말 미리 준비하는 법은 9학년 때부터 AP 를 하나씩 해 놓아 11학년 때 여러개가 겹치지 않도록 하는 방법이다. 6학년 부터 관심을 가지고 공부를 하면 특별히 많은 공부를 하지 않아도 9학년 때부터 AP 를 하나씩 해서 치워 놓을 수가 있다. 흔히 선행학습을 한다고 하지만 단순히 학교에서 배우는 것을 미리 배우고 가는 식으로 해서 결국 앞선 것은 없고 배우는데 두 배의 시간을 소요한 결과밖에 없는 경우가 대부분인데 계획을 현명하게 짜서 학교의 수업과 개인의 선행 학습을 서로 보완하는 식으로 하면 2중 공부 하는 학생들과 같은 양을 공부하고도 9학년 10학년에 AP Calculus 를 볼 수 있게 된다. 이들은 AP 를 열 개 이상 이수하고 고등학교를 졸업 하지만 4년에 걸쳐 나누어 하기 때문에 큰 부담 없이 하고 성적도 최상위가 된다. 하지만 이런 방법은 적어도 3년 정도를 내다보는 장기 계획, 즉, 미리 준비를 해야 가능한 결과이라 지금 6학년이나 그 이하의 학생들에게만 해당이 되는 방법이다.

 

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Pre-Algebra 에만 나오는 내용

Pre-Algebra 에만 나오는 내용

By James H. Choi
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Pre-Algebra 안에는 Algebra의 준비 외에도 Geometry준비도 있고 또 그 후로는 정규 과정에서 다시 가르치지 않는 Number Theory도 있습니다.  그래서 SAT 준비에 Pre-Algebra 과정이 중요하다고 하는 것입니다.  실은 Number Theory를 알아야 한다는 뜻이지요.  그리고 Number Theory는 수학경시대회 준비하면 철저히 배우게 됩니다.

그 외에도 Pre-Algebra에는 Probability도 있습니다. Probability는 Algebra 2 끝부분이 되서야 나오는 내용입니다.  학교 수학에서는 한 chapter로 끝나지만 수학 경시대회에서는 한 코스가 됩니다.

수학 가장 만만하게 월반할 수 있는 것이 Pre-Algebra 입니다. 수학 경시대회에 준비를 한다면 이 Pre-Algebra에 나오는 내용이 다시 다 등장하기 때문에 Pre-Algebra 를 건너 뛰어도 지식에 빠진 부분이 하나도 없게 됩니다.  그리고 수학을 잘 하는 학생이면 Pre-Algebra의 느긋~ 한 진행 속도를 답답하게 여기고 수업 시간에 딴 생각하는 버릇을 배우게 됩니다.
http://dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif하지만 수학을 어렵게 생각하는 학생은 Algebra 나 Geometry로 직접 들어가면 가파른 절벽에 부딛히는 심정이 됩니다.  그런 학생은 Pre-Algebra 라는 계단을 밟고 올라가야 수월합니다.  그리고 학생에 따라 수학의 원리를 깨닫는 정신 성숙도가 오는 시기가 다르기 때문에 Pre-Algebra 를 해서 성숙해질 시간을 주는 것이 무리해서 Algebra 에 부딛히는 것 보다 현명할 뿐 아니라 대입 원서 제출시 더 좋은 결과를 보일 수가 있습니다.

과목을 뛰어넘어 트랙을 올라가는 것이 학생이 무리없이 신나는 마음으로 해 낼 수 있을 때만 시도해야 합니다. 스트레스 받고 가족 대화에 언성이 올라가고 공부가 싫어지게 되면 잃는 것이 더 크다는 징조입니다.

 

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카테고리:Pre-Algebra

Algebra 2 가 Algebra 1을 커버 하나요?

Algebra 2 가 Algebra 1을 커버 하나요?

By James H. Choi
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(질문이 있으시면 여기에 올려 주세요)

질문:

7학년 학생이 Algebla1 수업 일주일 후에 선생님께 너무 수업이 쉽다고 해서 시험을 보고 패스해서 Geometry를 듣습니다. Algebra 1이 중요하다는데 이 중요한 Algebra 를 스킵 하고 Geomtry를 들어도 되는지 궁금합니다. 8학년 때 Algebra 2는 고등학교에 가서 듣는다는데 Algebra 2가 Algebra 1도 커버해 줄까요?

답:

Algebra 2는 Algebra 1은 다음 단계로 중복이 되지 않습니다. Pre-Algebra와 Algebra 1은 중복이 반 이상이 되지만 그 후로는 그런 중복이 없습니다. (PreCalculus와 Calculus도 중복이 없습니다.) 따라서 Algebra 1 에서 모자라는 부분을 Algebra 2 가 보충해주지 못합니다.
http://dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif하지만 아드님의 경우는 시험을 보아 올라간 것이니 자격이 있었다고 생각됩니다. 그리고 언급을 하지 않으셨지만 Pre-Algebra 를 이미 한 것으로 짐작이 되는데요. 단번에 이해하는 학생은 올라가야지 두번 배워 이해하는 학생들과 함께 1년을 보내게 되면 시간 낭비가 됩니다.

 

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카테고리:6~8학년, Algebra 1, Algegra 2
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