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수학 능력의 선천과 후천
By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
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요즘은 동계 올림픽 시즌이다. 이번 올림픽은 귀화를 한 선수의 드라마까지 있어 더 흥미진진하다. 언제 어떻게 바뀔지 모르는 것이 여론이지만 현재는 이구동성으로 “그 선수가 한국팀에 속해 있었으면”이라고 의견이 일치해 있다. 그리고 그 많은 분분한 여론 중에서 들리지 않는 의견이 하나 있으니 그것은 “앞으로 우리 선수들을 더 훈련을 잘 시켜 금메달을 받도록 하세요”라는 의견이다.
이미 날아간 새 하나에만 집착하고 우리 손에 있는 여러 새에 대해서는 무관심이다. 우리는 아이들에게 “누구나 노력하면 된다”라고 가르치지만 다급해지면 “성공할 사람은 타고 난다”라는 믿음이 새어 나온다. “후천”의 개발이라는 개념을 잊고 “선천”을 놓친 것에만 집중하고 있는 것이다.
수학 교육도 천재로 태어나야 하나? 나는 미국 대표팀 코치를 비롯 미국 여러 지역의 유명한 수학 코치를 만나 대화할 기회가 많았는데 나는 항상 그들의 수학 팀을 성공으로 이끄는 비법을 물어보았다. 다양한 답이 있지만 하나로 종합하자면 “가급적이면 많은 수의 학생 속에서 추려내라” 인데 결국 “선천”적인 소질을 만날 확률을 올리라는 결론이다. 그 외에 어떤 식으로 훈련을 시키라는 조언도 있지만 팀의 수준이 올라갈수록 일단 “될성부른 떡잎”을 모아 놓아야지 그렇지 않으면 승산이 없다는 것이 지배적인 의견이었다.
그러면 수학도 재능을 타고 나는 분야라는 뜻인가? 이는 참 불편한 현실이다. 나 자신도 “누구나 열심히 하면 성공한다”라고 믿고 있지만 이렇게 정상에 있는 사람들의 말을 들어보면 현실이 이상과 다르다는 것을 느낄 수 있다.
그러면 나머지 수학에 타고난 소질이 없는 학생은 지금 한국의 “노메달” 선수의 신세처럼 외면을 받을 운명이라는 뜻인가?
No. 운동이고 수학이고 국제 대회에서 금메달 수상을 하기 위해서는 선천적인 소질과 부단한 노력 두 가지 다 반드시 겸비 되어야 한다. 운동을 직업으로 하려면 워낙 기회가 제한되어 있어 올림픽에서 금 메달을 받아도 성공이 보장되지 않는 것을 알 수 있지만 수학의 경우는 수학이 쉬워서가 아니라 수학의 수요가 워낙 크고 응용 분야가 광범위 해서 “선천”이 없어도 충분히 “훈련”으로만 도달하는 그 아래 경지에서도 성공할 수 있다. 물론 여기에서 성공이란 국제대회에 출전하여 금메달을 받는 다는 뜻이 아니라 경제적으로 만족스럽고 자신의 일에 만족할만한 커리어를 영위할 수 있다는 뜻이다. 수학의 세계에서는 이런 평범한 성공을 한 엔지니어/과학자가 수학 국제 대회 금메달 수상자보다, 수학과 교수보다 더 보수가 높은 커리어를 가지는 것이 흔한 일이다.
참고로 예체능 분야는 우리가 이름을 들어본 적이 없으면 성공을 못한 것으로 간주를 해도 될 지경으로 경쟁이 치열하다. 문과도 수요가 제한되었고 한 스타가 관중의 관심을 장악하게 되는 winner take all 현상이 있기 때문에 기회가 극히 제한 되어 있다. 그래서 나는 학생의 소질이 두 분야에서 비슷하다면 이공계의 커리어 쪽으로 진출하는 것을 추천하는 것이다.
따라서 수학 공부는 소질이 있고 없고에 대해 걱정하지 말고 배우는 내용을 논리적으로 잘 이해하고 열심히 훈련하면 학교수학에서 A 받는 것은 물론, 수학 경시대회에서도 미국에서는 해마다 전국에 약 6000명이 초대받는 AIME 수준까지 올라갈 수 있다. 한국은 모든 국민이 정상의 대학에 들어가는 것을 1차 목표로 하여 모든 학생의 노력이 포화된 상태라 선천적인 재능으로 승부가 갈라질 수 있다. 하지만 미국은 한국과 달라 국민 일부만 유명 대학 입학에 관심을 가지고 있다. 그리고 한국의 경우는 누구나 모든 교육 정보를 다 알고 있어 정보전이 불가능한데 미국은 1950년대부터 진행되어 온 AMC가 무엇인지 모르는 수학 선생님이 아직 대부분이니 그 선생님만 믿고 배우는 수학의 천재는 경쟁의 레이더에 포착되지 않는다. 그리고 미국 문화의 다양한 가치관 덕분에 천재도 소방수의 길을 선택하는 경우가 있기 때문에 학구적인 경쟁에도 다양한 틈이 있다. 이런 제도 속에서 우리의 학생은 중간의 소질을 가지고도 마음만 먹으면 노력으로 충분히 만회하고도 남을 수가 있다.
우리는 올림픽의 대단한 선수들을 응원하며 그들의 투혼의 정신을 배워 우리도 이 비교적 수월한 경쟁에서 금메달을 받도록 해야겠다.
Top 10 대학 지망생을 위한 미국 수학 과정 설명
By James H. Choi
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영어버전 The same article in English
한국은 매 학년마다 배워야 하는 수학 과정이 정해져 있다. 미국에 사는 내가 한국의 수학 교과서 참고서를 펼쳐보면 모든 책의 목차가 똑 같은 것이 신기해 보인다. 미국의 수학 교과과정은 같은 학년을 위한 교과서를 보아도 출판사마다 저자마다 내용이 가지각색이다. 특히 Algebra 2 에서 Precalculus까지 가는 과정은 이름 조차 통일이 되지 않아 나도syllabus를 봐야만 무엇을 가르치는지 가늠할 수 있게 된다.
내가 여러 해 전에 이 다양한 (=혼란스러운) 미국의 고등학교 수학 과정을 정리하여 “수학 트랙”이라는 이름으로 설명을 하는 글을 썼다. 당시에 어떻게 명명해야 할지 몰라 트랙이라고 명하였는데 이제는 다른 사람이 쓴 글에도 “트랙”이 등장하는 것이 보이니 뾰족한 이름을 못 찾은 것은 나뿐이 아닌 것 같다. Google에서 “미국 수학”을 검색하면 내가 만든 트랙 설명 강의가 제일 위에 나온다. 여전히 유용한 내용이니 한번 보시기를 추천한다.
우선 이 글 독자 분의 첫 목표는 미국의 Top 10 대학에 자제분이 합격하는 것이라고 가정을 하겠다. Top 10 대학은 물론 10개 밖에 없고 소위 “명문”이라고 알려져 있는 동부의 사립 대학들은 대부분 1,500명도의 신입생을 받는다. 따라서 매 해 Top 10 대학에 합격하여 등록까지 하는 학생은 약 15,000명이다. 즉, 존재하지 않는 “안정권”이라는 개념을 인위적으로 상상해보기 위해서는 “내가 Top 15,000 속에 들 수 있는가?”의 답으로 대체할 수 있다.
미국에는 약 25,000교의 공립 10,000교의 사립 고등학교가 있다. 즉, 해마다 전교 1등생이 35,000명 정도 졸업한다. 즉 Top 10 대학 입학 정원의 2.3배 이상의 수가 수석졸업자인 것이다. 참고로 그 35,000학교 중 AP Calculus BC를 가르치는 학교는 6,000교이다. AP Physics C E&M을 가르치는 학교는 3,000교이다. 같은 미국의 고등학교라 하더라도 1/12만이AP Physics C E&M를 가르치고 내 짐작으로는 이런 학교가 Top 10대학의 입학을 장악할 것 같다.
대부분의 고등학교의 최고 수학 과정인 AP Calculus BC의 통계를 보자. 작년에는 94,000명이 응시를 했고 그 중에 반 정도가 만점5점을 받았다. 이는 Top 10 대학 정원의 3배 이상이 AP Calculus BC의 만점 점수를 들고 온다는 뜻이다. Calculus AB에 응시한 학생은 260,000명으로 정원의 9배이다. AP Statistics 는 153,000명, 정원의 10배이다.
AP Physics B 를 응시한 학생은 약 80,000명, AP Chemistry는 130.000명, AP Biology는 191,000명이 응시했다. 다 정원의 5배에서 10배에 해당되는 수인데 유독 AP Physics C가 다르다. AP Physics C Mechanics는 약 38,000명AP Physics C E&M은 약 17,000명이 응시했다. 그러니 거의 정원대 비율이 1:1에 육박하는 AP Physics C 를 해낸 학생이 Top 10 대학에 잘 들어가는 이유를 이 수치에서 미루어 짐작할 수 있다.
이번에는 수학경시대회의 수치를 보자. AMC 8, 10, 12 는 누구나 희망하면 응시할 수 있으니 응시 자체에는 의미가 없다. 의미가 있는 것은 일정 점수를 얻어 초대를 받아 AIME시험을 본 학생이다. AIME는 매년 수치가 크게 달라지는데 2,000명에서 6,000명 정도이다. 오라는 곳은 없더라도 AIME에 초대받은 학생 한 명 당 2.5개의 신입생 자리가 있다는 결론이니 AP Calculus 가지고 승부를 보려는 학생과 차원이 다른 것을 알 수 있다. USAMO 는 약 500명이 초대받는다. 그 위력을 가히 느낄 수 있는데 나는 요즘 개인적으로 USAMO 출전자가 MIT에 불합격 하고 AIME에 초대도 못 받은 학생이 합격하는 상황을 여러 번 보아 선천적인 소질/흥미가 있는 경우가 아니면 USAMO까지 가느라 시간 에너지를 소모하지 말고 AIME까지만 가라고 추천한다. 증명 같은 순수 수학을 즐기는 학생에게만 USAMO준비를 추천한다.
과학 쪽으로 보면 Intel ISEF Finalist는 매년 1,500명 정도가 선발 되는데 그 중 약 1,000명이 미국에서 오고 나머지 500명은 외국에서 국가 대표로 선발 되어 온다. 컴퓨터 좋아하고 게임 좋아하고 뭔가 만들어 내는 것을 즐기는 학생은 USAMO의 500명에 속하려는 시간과 노력으로 ISEF의 1000명에 속하는 것이 더 쉽고 재미있고 앞으로의 커리어에 직결되고 Top 15,000명이 되는 지름길이다.
위의 강의에 사용된 자료 출처
Number of schools and students
Stanford Admissions Statistics
수학의 정석 영어판
By James H. Choi
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“수학의 정석”이란 소개가 필요 없는 아주 유명한 수학책이다. 나도 한국에서 중학교 다니면서 “수학의 정석”책 뿐 아니라 해설집인가 하는 책도 구입해서 가지고 있었다.
내 기억에 남은 “수학의 정석”은 “왜” 를 설명하지 않고 “이렇게 하는거야”를 가르치는 책이었고 그 때문인지 나는 도무지 이해를 할 수가 없었다. 그래도 내가 이 책을 낮게 평가할 수 없는 것이 수학 잘하는 학생은 다 이 “수학의 정석”으로 공부를 했기 때문이다. 다른 책으로 공부 했으면 더 잘 학생이 “수학의 정석”으로 그것 밖에 되지 않은 것인지. 아니면 정말 “수학의 정석”이 다른 학생에게는 그리도 좋은 책이었는지 나는 모르겠다. 내가 아는 것은 지금 그 책을 들여다 봐도 “이런 식으로 설명을 하니 어떻게 이해를 해?”하는 반감을 느낀다는 것이다. 한데 나는 요즘도 가끔 “미국에는 정석같은 책이 없어요?”라고 하는 학부모를 만난다. 정말 “수학의 정석”이 그리도 좋은 책인가? 영어 수학의 정석이 있다면 널리 사용될 책인가?
내 머리로는 도저히 판단을 할 수 없어 독자 여러분의 의견을 수렴하고자 survey (앙케이드)를 하나 만들었다. 아래 링크를 누르시고 생각을 알려 주시기 부탁 드린다.
영어로 된 수학의 정석이 필요한가? Survey로 가기
Precalculus 다음에 Calculus BC
질문 (위의 “질문 하시는 법” 메뉴를 누르시면 질문하실 수 있습니다.)
안녕하세요
11학년되는 아이입니다
11학년에 프리칼큐러스 아너듣고 12학년때 칼큐러스ab bc 를 모두 마치려면 방법이 있는지요?
11학년 끝나고 여름방학때 ab듣고 12학년되면 bc듣는 방법이있는지요?
알려주세요
감사합니다
답
Precalculus는 1년을 배워야 할 만큼 긴 내용이 아닙니다. 제 생각에는 11학년에 배우는 Precalculus가 Calculus A 까지 포함할 것입니다. 아마 11학년 첫 학기에는 Precalculus를 배우고 둘째 학기에는 Calculus A를 배울 것입니다.
만약에 그렇지 않다면 학생이 11학년 말 방학동안 Calculus A를 독학해서 12학년에는 Calculus BC로 직접 들어갈 수 있습니다. Precalculus를 1년에 걸쳐 배운다면 첫 학기에 배운 것 만으로 Calculus A를 배우기 시작할 수 있습니다. Precalculus 뒷 부분에 나오는 Parametric equations, polar coordinates 등은 Calculus C에 필요한 내용입니다.
사비오 칼럼 