사비오 칼럼

수학과 어린이 정신 성숙도

Written on May 25, 2005

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처

나는 TV에서 자연관련 프로그램을 즐겨 본다. 집안에서 마른 옷을 입고 창밖을 내다볼 때만 비의 낭만을 느낄 수 있듯이 사자의 발톱이 안전하게 브라운관 안에 갇혀 있을 때 나는 야생의 멋을 감상할 수 있다. 그런 프로그램을 열심히 본 덕분에 나는 숲, 바다, 산 등 황량한 야생을 보노라면 그 안에서 살아 남으려고 도망 다니는 동물들과 민첩하지 못해 산채로 잡아 먹히는 동물을 상상하게 됐다.  목숨을 살리기 위해 문자 그대로 필사적으로 달리는 모든 동물중에 내게 가장 인상적인 것은 갓난 애기 동물들이다.

인간 영아들은 자라난 후에야 (아마도 유아 열등 콤플렉스에 의해) “나는 달리려고 태어났다(I was born to run)”고 열창을 해 대지만 야생동물들은 아무 말 없이 생존을 위해 평생 달린다. 많은 야생동물들은 태어나자마자 어미의 젖을 빨기도 전에 가장 먼저 하는 것이 달리는 것이다. 이것은 한번 생각해 볼만 하다. 채 무엇을 배울 시간이 있기도 전에 갓 태어난 사슴은 뉴턴의 역학의 법칙(중력, 가속, 속도, 거리), 입체시야 해석방법, 가족 식별, 육식동물 식별 그리고 생존하기 위해 달리는 방법을 안다. 이와 같이 먹이사슬의 사전배정 즉, 먹이사슬 도표 지도에서 “you are here!”라는 명확한 위치의 주제파악을 하고 태어나는 것은 무력한 인간의 유아에 비하면 놀랄 만한 지식이다.

사실 그 어느 동물보다 인간의 유아가 가장 준비 안 된 상태로 이 세상에 태어난다. 준비가 안 된 정도가 아니라 미완성된 상태로 태어난다. 완전히 제 기능을 다하는 두뇌는 너무 커서 출생에 어려움이 따르기 때문에 인간은 태어난 후에 밖에서 발달과정을 완성한다.  스위스 태생 심리학자 (마리아 몬테소리의 제자) 장 피아제(1896-1980)는 인간발달이 단계적으로 이루어진다는데 관한 영향력 있는 이론을 제시하였다.

피아제는 아동발달 과정을 관찰하여 다음과 같이 4단계로 구분하고 각 단계를 소단계로 구분하였다.

1. 감각운동 단계 (0-2세)
2. 전 조작 단계 (2-7세)
3. 구체적 조작 단계 (7-11세)
4. 형식적 조작 단계 (11-15세)

전 조작 단계의 아동 (2-7세 아동의 대표적인 현상)은 물을 다른 용기에 부으면 수량이 변한다고 생각한다. 예를 들면, 컵에 들어 있는 물을 (흘리지 않고) 접시에 부으면 물의 양이 줄어든다고 생각한다. 그리고 접시에 있는 물을 컵에 다시 부으면 물의 부피가 원 상태로 돌아왔다고 자연스럽게 생각한다. 즉, “부피보존”의 개념을 이해하지 못하는 것이다. 또한, 이 단계의 아동은 “질량보존”의 개념도 이해하지 못한다. 찰흙 두 덩어리를 놓고 한 덩어리를 늘리면 이 단계의 아동은 크게 늘린 덩어리에 찰흙이 더 많다고 생각한다. 그리고 더 무겁다고 생각한다.

전 조작 단계의 아동에게 부피가 보존된다는 것을 가르칠 수 있을까? 가르쳐야 한다면 어떤 방법을 사용해야 할까?   물론 실험을 반복하여 부피가 변하지 않는다는 것을 가르칠 수 있을 것 같다. 크기가 다른 용기에 물을 담으면 더 많아 보이기도 하고 적게 보이기도 하지만 실제로는 물의 부피가 변하지 않는다는 것을 가르칠 수 있을 것 같다.

어린 자녀를 두신 부모님께 한번 이 실험을 해보시라고 권고한다.  똑 같은 컵을 두개 사용하여 A에는 물을 더 많이 넣고 B에는 적게 넣는다.  아이에게 물어보면 물론 A에 물이 더 많다고 한다.  다음에는 A의 물을 넙적한 대접 C에다 따른다.  이때 물어보면 전 조작 단계의 아이는 B가 더 양이 많다고 대답한다.  C에 있는 물을 다시 A로 따르면 A의 물이 더 많다고 한다.

지금 내 설명을 듣고 실험을 했더라도 그 결과를 보면 좀 충격적이다.  “이렇게 당연한 것을 모르다니???”   기가 막혀서 할 말을 잃는 부모도 있을 것이다.  이런 간단한 사실도 관찰하지 못하는 아이를 어떻게 해야 하는가?  가르쳐야 하는가?  유치원을 바꾸어야 하는가?  여름방학 영아 부피보존 개념 주입 특별교실에 등록을 해야 하는가?

C의 물이 B보다 많다고 말하도록 가르칠 수가 있다.  이 실험을 반복하면서 대답이 맞으면 잘 했다고 칭찬하고 틀리면 인상쓰고를 반복하면 마침내 C의 물이 더 맚다고 대답을 한다.  정의의 승리이고 과학의 승리이자 교육의 놀라운 효과라고 감격할만하다.  참 신통하고 역시 내 아들이라고 자랑할만하다.  그 나이또래의 아이들은 깨닫지 못하는 어려운 개념인데 일찍 통달했고 이런 식으로 나가면 10살때면 대학도 졸업하지 않을까도 싶다.

한데 이 교육방법을 사용하면 물의 부피보존 정도가 아니라 더 놀라운 교육효과도 낼 수 있다. 예를 들면  “1 + 1 = 3″이라고 말하도록 가르칠 수도 있고 해는 서쪽에서 뜬다고 가르칠 수도 있다.   즉 무슨 말이든 따라하는 앵무새로 만들 수 있는 것이다.  이런 식으로 배우는 것은 지식이 아닌 것이  이 새로 배운 지식으로 다른 아무것도 터득하지 못하기 때문이다.

더욱 신기한 것은 일단 구체적 조작 단계(7-11세)에 들어가면 어떠한 가르침도 없이 갑자기 “부피보존”의 개념을 이해하게 된다. 전에는 이해를 못하던 부피보존도 이제는 오히려 너무나 당연하기 때문에 왜 그런 바보스러운 질문을 해 오는 자체를 의아해 한다.  신기한 것이 이 단계가 가르친다고 빨리 오는 것이 아니다.  아무리 교육받지 못한 무지한아동이라도 이 나이가 되면 저절로 부피 보존을 깨닫게 되는 것이다.

하지만 아직 완전히 성숙한 것은 아니다.  구체적 조작 단계의 아동의 이해도는 컵을 물 분량을 구분할 수 있어도 아직 보고 만질 수 있는 구체적인 물체를 이해하는데 제한되어 있다.  수학적 개념으로는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나누기 등을 이해하는 것으로 제한된다. 이 나이의 아동은 허수나 분수지수를 이해하는 것이 어렵다.  이 나이의 많은 아동들은 x를 변수로 사용하는 개념을 난해하게 생각할 것이다.

아동들은 형식적 조작 단계(11-15세)에서야 추상적으로 생각하는 능력이 생긴다. 이 단계에서는 힘의 장 (force field) 과 같이 눈에 보이지 않는 물체, 무한대와 같이 경험할 수 없는 양, 공정성이라는 무형의 개념 등을 이해할 수 있게 된다. 이 단계에서 학생이 추상능력과 논리연산능력을 갖추어야 무한급수, 확률, 미적분 등을 학습할 수 있게 된다.   이 형식적 조직 단계로 들어서는 것이 수학을 이해하는데 아주 큰 요소로 작용하게 된다.

나는 수업시간에 학생들이 구체적 조작 단계에서 형식적 조작 단계로 발전하는 것을 종종 볼 수 있다. 5, 6학년 학생들을 가르칠 때는 학생 중 아무리 노력해도 Algebra의 개념을 이해하지 못하는 경우를 본다. 그 이유는 약한 산수기반과 무관심등을 포함하여 그 밖에도 많겠지만 종종 그 원인은 발달단계에 있다. 5, 6학년 학생들은 구체적 조작 단계에서 형식적 조작 단계로 들어가는 과도기적인 시기이다. 이 과도기에는 방정식을 도저히 이해 못하던  학생이 몇 개월 만에 갑자기 영리한 학생이 될 수도 있다.
고전하던 학생이 갑자기 우수한 성적을 거두면 나는 안도감을 느낄 뿐 아니라 가슴 뿌듯하게 자랑스럽기까지 하다.  그러나 그와 동시에 몇 달 전에 눈물 겨운 노력을 했어야 했는가 하는 의문이 생기지 않을 수 없다. 이렇게 저절로 이해를 할 것이었으면 들들 볶지 말고 그 학생이 자연스럽게 형식적 조작 단계에 이를 때까지 기다리는 것이 더 현명하지 않았을까?  어차피 오후에 다 녹을 눈이라면 아침 내내 허리를 삐어가며 치워야 하는가?

학생들의 발달단계를 고려하지 않고 4학년과 같은 어린 학생들에게 덮어놓고 Algebra을 가르치는 것은 가능하다.  Algebra을 학습하고, 방정식을 풀고 정답을 구할 수도 있다. 그러나 그 어린 학생들이 진정으로 수학의 개념을 이해하고 있는지 아니면 내가 문제 푸는 방법을 보고 흉내내면서 “물의 부피는 변하지 않는다”라고 앵무새처럼 반복하는 식으로 푸는 것이 아닌가 하는 의문이 든다.  응용문제에서 많은 어려움을 겪는 학생들을 보면 어느 정도까지는 앵무새적인 요소가 큰 것을 알 수 있다.

때로는 수업과 학생의 발전의 인과관계가 무엇인지 생각하게 된다. 공부를 하고 노력을 해서 학생들이 다음 단계로 빨리 발전할 수 있었던 것인가?  아니면 어차피 자연적으로 터득할 것을 내가 빨리 터득하게 한다고 피곤하게만 만든 것인가?  만약 “부피보존”의 개념이 교육 없이도 얻을 수 있는 것이라면 수학적 추상능력도 Algebra도 Geometry도 자연스럽게 터득할 수 있는 것이 아닌가? 교육이 단계진행을 촉진하는가? 아니면 학생이 그 단계에 이를 때까지 교육이 기다려야 하는가?

일단 묻기 시작한 질문은 한없이 깊이 들어가기만 한다.  교육이란 대체 무엇인가? 어린이들이 다음 단계로 발전할 수 있게 밀어주는 방법인가? 아니면 현재 발달단계에서 그들이 제 능력을 모두 발휘할 수 있게 하는 방법인가?  너무 이른 나이에 학생들에게 높은 수준의 수학을 가르치는 것이 벼가 빨리 영글으라고 모를 뽑아놓는 짓인가?  아니면 더 빨리 성장할 수 있도록 영양분을 제공하는 것인가?

나는 이 질문들의 정답을 모른다.  단지 몇몇 학생들은 특정 나이에 일찍이 Algebra을 배워 종종 벽에 부딪히다가 시간이 지나면 갑자기 무슨 요술처럼 모든 것을 이해하게 된다는 것을 알뿐이다.  내가 고등학생만 가르치고 어린 학생 가르치는 것을 피하려고 하는 것이 이 과도기의 문제를 피하고 싶은 잠재의식인지도 모르겠다.

이 발전 단계적 과도기의 학생들의 성적이 갑자기 향상되면 물론 나는 전적으로 그것이 나의 공적으로 돌리고 싶지만 사실 그의 갑작스러운 계발이 나의 가르침의 영향이라는 확신이 서지 않는다.  내 자신에게 확실히 할 수 있는 유일한 말은 내가 학생의 지적성장을 더디게 하지 않았다는 것이다. 내 사진과 함께 “학생의 발전을 더디게 하지 않게 한 은사”라는 제목의 일면 뉴스 톱기사를 상상해본다.

이런 우여곡절과 허무한 성공이 5, 6학년 학생들에게 Algebra을 가르치는 좌절과 보람이다. 만약 독자 여러분 중 4, 5학년 정도된 자녀가 산수를 잘 해오다가 Algebra에서 어려움을 느끼기 시작했다면 발전 단계의 과도기일 수 있다는 것을 알고 기다려 보는 지혜가 필요하다. 산수기초만 탄탄하다면 때가 되면 형식적 조작 단계로 이르게 되어 갑자기 개념을 모두 이해하게 될 것이다. 이것은 짧으면 2,3개월 걸릴 수도 있으며 그 기다리는 기간 동안에는 산수, 주산 배우는 것에 집중하는 것이 최선이다.

옳지만 현실성 없는 수학 교육 조언

By James H. Choi
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이런 글을 읽어보면 자제분을 학원에 보내지 않고도 MIT에 입학할 수준의 수학을 가르치는 방법이 나옵니다. 이 글을 중단하시고 우선 이 문장으로 검색해 보세요.

“딸 MIT 공대 합격시킨 한국교원대 전평국 교수의 아주 특별한 수학 교육법”

이 글을 읽어 보면 남 따라 하지 않고 독자적으로 수학과 과학의 핵심을 가르친 경험담을 고개를 끄떡거리며 읽게 됩니다. 이 글에 의하면 학생을 제대로 가르치기 위해서 필요한 점을 다음과 같이 조목별로 설명해 주었습니다.

• 숫자 세기보다는 수학적 사고를 가르쳐라
• 질문을 던지고 스스로 방법을 깨달을 때까지 기다려라
• 어렸을 때부터 수학 용어를 친숙하게 하라
• 아이들에겐 비싼 교구나 장난감이 필요없다
• 본격적인 수학공부, 예습보다 복습이 중요하다

수학을 가르치는 저도 읽으면서 100% 동의를 합니다. 제게 아이가 있었으면 바로 이렇게 했을 것입니다.

한데 이 “이렇게 하라”하는 지침 중에 가장 중요한 것이 빠졌습니다. 이 지침은 제가 가르치는 대부분의 우등생들이 공통적으로 가지고 있는 성장과정의 조건이기도 합니다. 그것은 바로 “이공계 학문의 박사수준의 지식을 가지고 자녀와 많은 시간을 보내는 부모가 되어라” 입니다.
이 글에 나오는 내용들 보세요. 무게의 보존 개념을 가르치는 좋은 방법을 설명 해 주는데 이는 부모가 이 보존 개념을 이해 한다는 것을 가정한 것입니다. “학생이 스스로 답을 내도록 기다리라”고 하지만 이는 부모가 그 답이 맞는지 이해를 하는 것은 둘째 치고 문제를 이해해야 가능합니다. 강아지 체중 측정이 무게의 보존법칙 문제라고 생각해 보신 적이 있으십니까? “수학 용어를 일상 생활에 사용하라”고 하지만 알아야 사용하죠. 결국 수학교수를 위한 자녀 교육법 기사 입니다. 한데 수학 교수들은 그 정도 이미 알고 있습니다. 일반인들은 새롭게 배울지 모르지만 배워도 실행할 방법은 없습니다. 결국 이 조언 중에 일반인이 쉽게 실행 할 수 있는 것은 학원에 안 보내는 것 뿐 입니다.

제 전공이 아니지만 저도 영어 공부에 대해 같은 식의, 틀림없이 주효할 조언을 드릴 수 있습니다.

영어를 잘 하는 학생으로 만들려면 부모가 하루에 두 시간씩 자녀와 유창하고 유식한 영어로 과학, 문학, 시사에 대한 토론을 가지고 학생의 영어 작문을 문학적 가치가 있도록 지도해 주기만 하면 따로 학원 다닐 필요가 없습니다.

Critical Thinking이란

By James H. Choi
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신뢰하는 친구가 “미신을 믿으면 재수없어”라고 충고해 주면 미신을 안 믿으십니까?  한데 그 충고를 따르는 자체가 미신을 믿는 것이라는 것을 눈치 채셨는지요?    (“…. 하면 재수없다”가 미신입니다)

Critical Thinking을 할 줄 아는 학생들은 당장 “바로 그 말이 미신이다”라고 지적합니다.  Critical Thinking에 약하고 자신감까지 없으면 그런 실험하는 소리 고스란히 받아들여 가슴속에 인생의 지침으로 간직합니다.  인터뷰같은 상황에서 고도의 시험은 이런 흘리는 코멘트로 시행됩니다.  (저는 그렇게 합니다.)  이런 말 다 덤덤히 받아들이는 사람은 Critical Thinking 능력이 없는 사람입니다.

한 실예를 보도록 하지요.  다음은 한 신문에 나온 기사의 제목입니다.

신토불이 우리 농식품 브랜드 달고 세계로 ! (http://bit.ly/ShinToBulYi)

독자분들의 반응을 어떠셨는지요?

패기에 넘치고 미래지향적인 구호를 의도한 것 같은데 제게는 당장 Oxymoron으로 덜컥 걸립니다.
“신토불이”란 몸과 땅이 둘로 될 수 없다.  즉, 사람은 자신이 태어난 곳에서 생산된 음식을 먹어야 한다는 것입니다.  (저는 항상 아랍의 사막국가, 농토가 없는 도시국가의 국민들은 어떻게 해야 하나하고 궁금했습니다.)  그렇지 않은 경우에는 온갖 몸에 해로운 일이 일어난다는 주장인데 이 기사의 제목은 “이제는 해외로 나가 외국인들에게 한국산 음식을 먹여, 즉 신토불이의 원칙을 깨도록 하여, 그들의 몸에 온갖 해로움을 끼치자” 라는 구호가 됩니다.  (설마 “신토불이”같은 원리가 한국인에게만 국한 되겠습니까?)

물론 해외에 거주하는 한국태생 교포를 위한 수출이라고 설명할 수 있습니다.  그 설명은 교포가 없는/드문 지역/국가에서 대량 주문이 들어왔을 때 그 지역/국가의 국민 건강을 위해 수출을 거부한다면 그 때 믿겠습니다.  그날이 올 때 까지는

“돈이 된다면 외국인 건강은 알 바가 아니다”

라고 썼다면 정직한 문장이 되겠습니다.

어린 학생용 무료 9*9 바둑 프로그램

By James H. Choi
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전에 어린 학생에게 수학을 가르치려면 산수 뿐이 아니라 바둑을 가르쳐서 논리를 가르치겠다는 글을 쓴 적이 있다.  한데 그 글을 읽고 어디서 누구와 바둑을 두도록 하냐는 질문을 하신 분에게 내게 할 말이 없었다.  대체 어디서 바둑 두는 사람을 찾는다는 말인가?  무슨 구름 잡는 소리인가?

구름을 잡았다.  무료 바둑 프로그램을 찾았다.

나는 어린이에게 바둑을 가르쳐본 적이 없다.  단지 내 자신이 어렸을 때 배웠을 뿐이다.  내 자신은 초등학교 3학년이나 5학년 그 때쯤 바둑을 배운 것 같다.  결코 잘 두는 것은 아닌데 그래도 바둑을 통해 너무 안전하게 살아도 너무 위험하게 살아도 이기지 못한다는 것을 일찌감치 터득했다.

바둑은 깊이 생각하고 신중하게 두면 세시간 쉽게 간다.  빨리 두어봐야 한 시간이다.  이렇게 시간이 걸리니 인내심도 늘고 여러 수를 내다보며 기억력도 사고력도 느는 것인데 어린 학생들에게 이 긴 게임을 가르치려면 약간 무리가 온다. 내 자신도 내가 어려워 하는 사촌 형들에게 배웠으니 만만한 사람이 가르쳐 주었으면 비비틀었을 것같다.

그 당시에 존재했는지 모르겠는데 요즘은 원 19줄 바둑이 아닌 9줄 바둑을 둔다.  아직 한번도 두어본 적이 없어서 어린 학생 가르치는데 도움 되지 않을까 짐작만 하고 있었는데 우연히 9줄짜리 무료 바둑 프로그램이 있는 것을 찾았다.

몇 번 (실은 수 십번) 두어 보았는데 어린 학생들 가르치기에 아주 적합하다는 결론에 도달했다.  우선 시간이 3분에서 5분 정도라 결과가 빨리 나와서 좋다.  예를 들어 초반에 포석이 안 좋으면 나중에 어떤 결과가 온다는 것이 5분 내에 알게 되니 배우는데 큰 도움이 된다.  또 한 시간 내에 여러 게임을 할 수 있기 때문에 여러 작전을 시도해 볼 수 있기도 하다.  내 자신도 게임이 빨리 끝나는 싸이클 덕분에 짧은 며칠간 참 많이 배웠다.  이제는 내가 백을 잡아도 공제 없이 이긴다.  처음에는 흑을 잡아야만 이길 수 있었는데 단 몇 시간 사이에 백으로도 이기는 수준이 된 것이다.  꼭 NextMath 로 착-착-착-착- 바둑 테크닉을 배우는 기분이다.
이 바둑 프로그램을 다운로드 하기 위해서 여기 클릭.  이 프로그램은 이 서버에서 오는 것인데 http://www.smart-games.com/igowin.html 내가 가진 Norton Anti-virus 가 문제 발견을 못한 프로그램이라 나는 안심하고 설치 했다.  Windows 용이라 Mac 이나 Linux에는 사용 못한다.

19줄 바둑은 약 4.63×10¹⁷⁰가지 게임이 가능하다고 추정된다.  (자료 출처 클릭)  그에 비해 체스는 10⁴³ 게임이 가능하다 (자료 출처 클릭)   즉 체스에 비해 바둑은 일에 영이 127 개 붙어있는 숫자를 곱한 만큼 더 가능성이 많다는 결론이다.  그래서 체스는 컴퓨터가 세계 챔피언이지만 바둑은 아직도 사람이 챔피언이다.  바둑 프로그램은 아직도 단급에 도달하지 못하고 있다.

컴퓨터도 감당 못하게 복잡한 전략 게임이지만 규칙은 체스보다 훨~씬 간단하다.  (바둑 규칙 클릭)  규칙 다 읽고 이해하려 하지 말고 웬만큼 알겠으면 컴퓨터의 무한대 인내심을 최대한으로 활용하서 덮어놓고 게임을 두기 시작해서 컴퓨터가 뭔가 반칙 같은 수를 두면 다시 규칙을 들여다 보면서 이해하는 것이 즐겁게 배우는 방법이 될 것 같다.