아카이브
Trigononometry Precalculus AP Calculus AP Physics
수학을 잘 하는 학생으로 인정 받고 싶은 포부를 가진 학생에게 신나는 소식을 전해 드리겠습니다.
물론 수학 경시대회에서 좋은 성적을 받아야 합니다. 하지만 경시대회에 출제되는 Discrete Math는 (Probability, Number Theory) 크게 둘로 나누어지는 수학의 분야중에 하나이고 다른 한 분야는 Continuous Math입니다. 이 분야에는 삼각함수, 미분적분, Differential Equation이 포함 됩니다. 어쩌면 이 continuous math가 더 중요하고 유용합니다. 과학, 엔지니어링에 사용되는 수학이니까요. 그래서 물리학자는 다 수학을 아주 잘 하지만 수학경시대회 문제는 생소해 하는 현상이 일어나는 것입니다. 학교에서 “수학을 잘 한다”는 것은 거의 전적으로 continuous math를 잘하는 것이지요.
제가 오는 3월 24일부터 이 Continuous Math의 코스를 Trigonometry에서 시작하여 AP Calculus BC, AP Physics C 까지 가르칠 것입니다. 제가 가르치는 이 코스는 모두 학생들이 직접 Mathematica를 사용하여 배우는 개념을 살아 움직이도록 만들어야 합니다. 추상적인 개념으로 끝나지 않고 눈앞에 실현시켜 움직이는 것을 보면 이해가 깊으면서도 빠르게 됩니다.
악보만 읽으면서 소리를 상상해야 한다면 몇 명이나 음악을 제대로 이해할 수 있을까요?
역사 시간에 타임머신을 타고 다닐 수 있다면 얼마나 더 잘 배울 수 있을까요?
수학/물리를 배우는데 있어서 Mathematica가 바로 악기이고 타임머신입니다. Mathematica가 더 널리 활용되지 않고 있는 이유는 조작할 줄 아는 사람이 드물고 고등학생에게 사용법을 제대로 가르칠 수 있는 사람은 고등학생을 가르치고 있지 않기 때문입니다. 제 코스를 배우는 학생은 타임머신을 타고 역사를 배운 학생처럼 수학을 이해하게 될 것입니다.
Trigonometry/Precalculus 코스 (현 Algebra 2나 이상의 학생 대상)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Trigonometry/Precalculus 를 제대로 배우세요. 저희 코스는 처음부터 Mathematica 를 활용하여 모든 개념을 학생이 더 빨리 더 깊이 이해할 수 있도록 가르칩니다.
16 sessions (1.5 hours per session = 24 hours) 을 배우고 나면 AP Calculus 코스 (아래 설명 참고) 와 Computational Mathematics 클럽에서 가르칠 내용을 동시에 배우게 됩니다. 이 코스는 March 24, 2013 에 시작하여 매주 일요일 6:30PM Chicago Time에 수업을 진행합니다.
이 코스를 수강하기 위해서는 학생이 현재 Algebra 2를 수강했거나 수강 하고 있어야 합니다. 전에 Trigonometry를 배운 학생도 앞으로 사비오의 AP Calculus 를 수강할 계획이면 이 코스를 재 수강하는 것을 권합니다. 전에 SR 100을 수강한 학생도 이 코스에서 전혀 새로운 Continuous Math에 응용되는 Mathematica 사용 법을 접하게 됩니다.
재 수강을 하는 것은 아무래도 중복되는 부분이 있기 마련이니 제게 SR 100이나 Trigonometry를 배운 적이 있는 학생은 30%를 discount 해 드리겠습니다. 그리고 SR 100과 Trigonometry 둘 다 제게 배운 학생은 50%를 discount 해 드리겠습니다. 다른 곳에서 Trigonometry를 배운 학생도 희망하면 시험을 보게 하여 일정 수준이 되면 같은 discount 혜택을 드리겠습니다.
AP Calculus BC with Computational Mathematics
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Trigonometry/Precalculus 코스를 성공적으로 마친 학생은 그 다음 단계은 AP Calculus BC 코스 를 July 21, 2013 에 시작할 수 있습니다. 수업은 매주 Sunday at 6:30PM Chicago Time제 진행합니다.
이 코스는 36 sessions (session당 2시간 = 72 시간) 그리고 이어 복습/정리 4 수업 (수업당 1.5 시간 = 6 시간) 으로 Wednesday May 7, 2014 에 있을 AP Calculus BC 시험에 응시하게 됩니다.
저희 수업은 Mathematica의 힘과 Mathematica를 자유 자재로 다루는 학생의 능력을 십분 활용해 쉽게, 빠르게, 깊이 미적분을 마스터하게 됩니다.
AP Calculus BC게서 5점(만점)을 받는 것은 학교의 수학 트랙 문제를 해결하는 가장 간단한 방법입니다. 일단 이 성적표를 보이면 아무리 비 협조적인 선생님도 교장선생님도 군소리 없이 학생을 최고 반으로 배정합니다.
AP Physics C & 과학경시대회 준비
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
야망에 불타는 학생은 위의 AP Calculus BC와 동시에 AP Physics C 코스 를 수강할 수 있습니다.
AP Physics C 는 두 과목으로 세분되는데 하나는 Mechanics 이고 다른 하나는 Electricity and Magnetism입니다. 우리도 그에 맞추어 Mechanics 를 20 수업 (총 40 시간) 그리고 Electricity and Magnetism 를 20 수업 (40 시간).에 걸쳐 수업합니다. AP Physics C 시험은 May 12, 2014 Monday 에 있습니다.
이 코스는 이론물리이자 응용수학으로 가르칩니다. 이는 모든 물리의 개념을 공식으로도 이해 하지만 Simulation을 직접 만들어 마치 자신이 우주의 창조자인 것처럼 만유인력을 만들어 그 속에서 태양과 지구와 달이 어떤 식으로 움직이는지를 직접 실험해 보고 인력의 법칙을 임의로 바꾸어 지구가 태양에서 탈출하는 장면도 실현해 볼 수 있게 됩니다. 한마디로 우주의 법칙이 조금만 바뀌면 세상이 어떻게 달라지는가를 직접 실험할 수 있는 능력을 기르게 되고 그에 따르는 깊은 이해를 할 수 있게 됩니다.
이런 simulation로 Intel International Science and Engineering Fair (ISEF)같은 과학경시대회에 출전할 수 있습니다. 제가 해마다 심사를 하는데 항상 이런 물리 simulation으로 결승까지 올라온 연구를 봅니다.
컴퓨터를 사용하는 응용수학적으로 배우는 물리는 컴퓨터 사용 연구 주제 중 가장 다양하고 가장 심오한 연구 주제를 제공합니다. 예를 들어 이 코스를 수강하고 나면 “어떤 거리의 어떤 속도의 어떤 크기의 혹성이 지구를 향해 달려올 때 몇 년 전에 원자 폭탄으로 궤도를 바꾸어야 충돌을 모면할 수 있는가?”도 학생이 할 수 있는 연구주제가 됩니다. 이 코스를 수강하면 2014년 ISEF에 출전할 수준의 연구를 할 수 있을 것입니다.
그리고 앞으로 물리 올림피아드에 출전하려는 학생도 이 코스가 그 첫 스텝입니다.
감사합니다.
James Choi드림
Top 10 대학 지망생을 위한 미국 수학 과정 설명
By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처
영어버전 The same article in English
한국은 매 학년마다 배워야 하는 수학 과정이 정해져 있다. 미국에 사는 내가 한국의 수학 교과서 참고서를 펼쳐보면 모든 책의 목차가 똑 같은 것이 신기해 보인다. 미국의 수학 교과과정은 같은 학년을 위한 교과서를 보아도 출판사마다 저자마다 내용이 가지각색이다. 특히 Algebra 2 에서 Precalculus까지 가는 과정은 이름 조차 통일이 되지 않아 나도syllabus를 봐야만 무엇을 가르치는지 가늠할 수 있게 된다.
내가 여러 해 전에 이 다양한 (=혼란스러운) 미국의 고등학교 수학 과정을 정리하여 “수학 트랙”이라는 이름으로 설명을 하는 글을 썼다. 당시에 어떻게 명명해야 할지 몰라 트랙이라고 명하였는데 이제는 다른 사람이 쓴 글에도 “트랙”이 등장하는 것이 보이니 뾰족한 이름을 못 찾은 것은 나뿐이 아닌 것 같다. Google에서 “미국 수학”을 검색하면 내가 만든 트랙 설명 강의가 제일 위에 나온다. 여전히 유용한 내용이니 한번 보시기를 추천한다.
우선 이 글 독자 분의 첫 목표는 미국의 Top 10 대학에 자제분이 합격하는 것이라고 가정을 하겠다. Top 10 대학은 물론 10개 밖에 없고 소위 “명문”이라고 알려져 있는 동부의 사립 대학들은 대부분 1,500명도의 신입생을 받는다. 따라서 매 해 Top 10 대학에 합격하여 등록까지 하는 학생은 약 15,000명이다. 즉, 존재하지 않는 “안정권”이라는 개념을 인위적으로 상상해보기 위해서는 “내가 Top 15,000 속에 들 수 있는가?”의 답으로 대체할 수 있다.
미국에는 약 25,000교의 공립 10,000교의 사립 고등학교가 있다. 즉, 해마다 전교 1등생이 35,000명 정도 졸업한다. 즉 Top 10 대학 입학 정원의 2.3배 이상의 수가 수석졸업자인 것이다. 참고로 그 35,000학교 중 AP Calculus BC를 가르치는 학교는 6,000교이다. AP Physics C E&M을 가르치는 학교는 3,000교이다. 같은 미국의 고등학교라 하더라도 1/12만이AP Physics C E&M를 가르치고 내 짐작으로는 이런 학교가 Top 10대학의 입학을 장악할 것 같다.
대부분의 고등학교의 최고 수학 과정인 AP Calculus BC의 통계를 보자. 작년에는 94,000명이 응시를 했고 그 중에 반 정도가 만점5점을 받았다. 이는 Top 10 대학 정원의 3배 이상이 AP Calculus BC의 만점 점수를 들고 온다는 뜻이다. Calculus AB에 응시한 학생은 260,000명으로 정원의 9배이다. AP Statistics 는 153,000명, 정원의 10배이다.
AP Physics B 를 응시한 학생은 약 80,000명, AP Chemistry는 130.000명, AP Biology는 191,000명이 응시했다. 다 정원의 5배에서 10배에 해당되는 수인데 유독 AP Physics C가 다르다. AP Physics C Mechanics는 약 38,000명AP Physics C E&M은 약 17,000명이 응시했다. 그러니 거의 정원대 비율이 1:1에 육박하는 AP Physics C 를 해낸 학생이 Top 10 대학에 잘 들어가는 이유를 이 수치에서 미루어 짐작할 수 있다.
이번에는 수학경시대회의 수치를 보자. AMC 8, 10, 12 는 누구나 희망하면 응시할 수 있으니 응시 자체에는 의미가 없다. 의미가 있는 것은 일정 점수를 얻어 초대를 받아 AIME시험을 본 학생이다. AIME는 매년 수치가 크게 달라지는데 2,000명에서 6,000명 정도이다. 오라는 곳은 없더라도 AIME에 초대받은 학생 한 명 당 2.5개의 신입생 자리가 있다는 결론이니 AP Calculus 가지고 승부를 보려는 학생과 차원이 다른 것을 알 수 있다. USAMO 는 약 500명이 초대받는다. 그 위력을 가히 느낄 수 있는데 나는 요즘 개인적으로 USAMO 출전자가 MIT에 불합격 하고 AIME에 초대도 못 받은 학생이 합격하는 상황을 여러 번 보아 선천적인 소질/흥미가 있는 경우가 아니면 USAMO까지 가느라 시간 에너지를 소모하지 말고 AIME까지만 가라고 추천한다. 증명 같은 순수 수학을 즐기는 학생에게만 USAMO준비를 추천한다.
과학 쪽으로 보면 Intel ISEF Finalist는 매년 1,500명 정도가 선발 되는데 그 중 약 1,000명이 미국에서 오고 나머지 500명은 외국에서 국가 대표로 선발 되어 온다. 컴퓨터 좋아하고 게임 좋아하고 뭔가 만들어 내는 것을 즐기는 학생은 USAMO의 500명에 속하려는 시간과 노력으로 ISEF의 1000명에 속하는 것이 더 쉽고 재미있고 앞으로의 커리어에 직결되고 Top 15,000명이 되는 지름길이다.
위의 강의에 사용된 자료 출처
Number of schools and students
Stanford Admissions Statistics
수학의 정석 영어판
By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처
“수학의 정석”이란 소개가 필요 없는 아주 유명한 수학책이다. 나도 한국에서 중학교 다니면서 “수학의 정석”책 뿐 아니라 해설집인가 하는 책도 구입해서 가지고 있었다.
내 기억에 남은 “수학의 정석”은 “왜” 를 설명하지 않고 “이렇게 하는거야”를 가르치는 책이었고 그 때문인지 나는 도무지 이해를 할 수가 없었다. 그래도 내가 이 책을 낮게 평가할 수 없는 것이 수학 잘하는 학생은 다 이 “수학의 정석”으로 공부를 했기 때문이다. 다른 책으로 공부 했으면 더 잘 학생이 “수학의 정석”으로 그것 밖에 되지 않은 것인지. 아니면 정말 “수학의 정석”이 다른 학생에게는 그리도 좋은 책이었는지 나는 모르겠다. 내가 아는 것은 지금 그 책을 들여다 봐도 “이런 식으로 설명을 하니 어떻게 이해를 해?”하는 반감을 느낀다는 것이다. 한데 나는 요즘도 가끔 “미국에는 정석같은 책이 없어요?”라고 하는 학부모를 만난다. 정말 “수학의 정석”이 그리도 좋은 책인가? 영어 수학의 정석이 있다면 널리 사용될 책인가?
내 머리로는 도저히 판단을 할 수 없어 독자 여러분의 의견을 수렴하고자 survey (앙케이드)를 하나 만들었다. 아래 링크를 누르시고 생각을 알려 주시기 부탁 드린다.
영어로 된 수학의 정석이 필요한가? Survey로 가기
Precalculus 다음에 Calculus BC
질문 (위의 “질문 하시는 법” 메뉴를 누르시면 질문하실 수 있습니다.)
안녕하세요
11학년되는 아이입니다
11학년에 프리칼큐러스 아너듣고 12학년때 칼큐러스ab bc 를 모두 마치려면 방법이 있는지요?
11학년 끝나고 여름방학때 ab듣고 12학년되면 bc듣는 방법이있는지요?
알려주세요
감사합니다
답
Precalculus는 1년을 배워야 할 만큼 긴 내용이 아닙니다. 제 생각에는 11학년에 배우는 Precalculus가 Calculus A 까지 포함할 것입니다. 아마 11학년 첫 학기에는 Precalculus를 배우고 둘째 학기에는 Calculus A를 배울 것입니다.
만약에 그렇지 않다면 학생이 11학년 말 방학동안 Calculus A를 독학해서 12학년에는 Calculus BC로 직접 들어갈 수 있습니다. Precalculus를 1년에 걸쳐 배운다면 첫 학기에 배운 것 만으로 Calculus A를 배우기 시작할 수 있습니다. Precalculus 뒷 부분에 나오는 Parametric equations, polar coordinates 등은 Calculus C에 필요한 내용입니다.
사비오 칼럼 