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어떻게 하면 아이가 수학을 스스로 하고 싶게 할 수 있을까요?
어떻게 하면 아이가 수학을 스스로 하고 싶게 할 수 있을까요?
By James H. Choi
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질문:
어떻게 하면 아이가 수학을 스스로 하고 싶게 할 수 있을까요?
답:
저는 공교육을 하고 있지 않기 때문에 누구나 다 가르쳐야 하는 책임이 없고 학생을 선택할 권리가 있습니다. 따라서 여태까지 이 문제는 전혀 상관하지 않고 하고 싶어 하는 학생들만 골라서 가르쳐 왔기 때문에 수학을 좋아하게 만드는 것에 대해서는 전문가가 아닙니다. 하지만 과거에 성공한 사례를 보면
어떤 연습지 어떤 교과서도 이 흥미유발을 시키기 어렵다고 봅니다. 수학의 흥미 유도의 첫 단계에는 수학이 아닌 다른 것으로 학생을 현혹해야 가장 효과가 있다고 생각합니다. 가장 효과적인 현혹 수단은 학생에게 맞는 선생님이 가르치는 것입니다. 처음에는 선생님이 좋아서 잘 받아들이고 그 다음에는 내용이 재미 있어서 받아들이고 그러다 보면 나중에는 그 과목 자체가 재미있어서 받아들이게 되는 것입니다.
수학의 세계를 수학의 용어를 통해 배우는 것은 음악을 악보를 통해 배우는 것과 마찬가지입니다. 처음에는 누군가가 악보에 나와 있는 것을 연주해 주어야 합니다. 그러다 보면 악보를 읽는 방법을 배우게 되고 그 다음에는 혼자 읽고 그 다음에는 작곡을 하게 되는 것이지요.
선천적으로 쉽게 (독학으로) 악보를 읽는 학생이 있고 오래 훈련을 받아야 하는 학생이 있습니다. 정도에 차이가 있지만 누구나 음악을 좋아하듯 정도의 차이가 있지만 누구나 다 수학의 아름다움을 느낄 수 있습니다. 한데 악보를 쉽게 읽는 음악가들이 다른 사람도 귀에 저절로 음악이 들린다고 가정하고 종이 쪼가리 (악보) 들이대며 이 아름다움을 느끼지 못하는가? 라고 욱박지르니 질리게 되지요.
한데 그런 선생님 찾기가 쉽지 않습니다. 수학의 아름다움을 제대로 음미할 정도로 수학을 잘 하는 사람은 학생들 가르치고 있지 않기 때문이지요. 제가 고용하는 수학 선생님들도 뛰어나면 오래가지 않습니다. 쟁쟁한 회사에서 몇 배의 연봉을 주고 데려갑니다. 주위에 어떤 계기로 수학을 잘 하게 되었다는 일화를 보시면 다들 한결같이 “운”이 크게 작용 했습니다. 어떤 학부모의 자원봉사 수업같이 오래 지속되지 않는 기회의 창이 잠시 열렸던 경우가 많습니다.
만약 어떤 체계적으로 수학을 좋아하게 만드는 기관이 있다면 그 직원들이 스카우트 당해 빠져나가고, 결국 아무도 뺏어가고 싶지 않았던 직원만 남아 그 효과가 떨어지고 말게 될 것입니다.
수학은 유용하고 장래의 성공에 직결되는 과목이라 강조하는데 수학을 제대로 가르칠 사람이 남아있지 않은것이 그 증명입니다.
그러니 학부모님이 주위에 열렸다 닫히고 있는 기회의 창문을 잘 찾으셔야 합니다. 그리고 학생이 선생님을 싫어하면 강요하지 마세요. 선생님 좋은 것이 과목까지 전달되듯 반대의 경우도 마찬가지 입니다.
어떻게 하면 아이가 수학에 자신감을 가질까요?
By James H. Choi
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질문:
어떻게 하면 아이가 수학에 자신감을 가질까요?
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자신감은 실력발휘의 결과야 합니다. 전 세계 학생들을 대상으로 실력측정을 하는 PISA Test 의 결과를 보면 미국 학생들은 거의 모든 과목에서 하위권에 속하지만 자신감 하나만은 상위입니다. 제가 보기에는 항상 칭찬으로 격려로 가르치는 미국의 교육 방법의 결과입니다. 실력이 있는 것 보다 학생이 행복한 것에 비중을 두기 때문에 비록 성적은 하위권이지만 자신감 충만한 학생을 양성해 내고 있습니다.
그러니 “자신감 가져!”라고 욱박질러서 자신감이 생길 것도 아니지만 만약 생기더라도 “나 이미 잘났는데 뭘 또 하라는 거야?” 라는 자세를 가진, 뿔이 엉뚱한데 난 송아지 모습이 됩니다.
제가 가르치는 학생들 중에도 근거없는 자신감과 우월감을 가진 학생들이 있습니다. 이들은 “내가 제일 잘 하는데 더 올라갈 곳이 있는가?”라는 의심이 있고 제가 돈벌기 위해 그들을 필요 없이 볶는다고 확신합니다. 그런 우물안 개구리들은 자신감을 길러 주기는 커녕 바다의 상어를 보여 주어 겁에 질리게 해야 합니다. 그 방법 중에 하나가 수학경시대회에 나가는 것입니다. 학교에서 자신이 최고인줄 알다가 동네연못에만 나와도 입상을 못하는 것을 깨닫게 되지요.
수학에 자신을 가지는 가장 현명한 방법은 수학을 배우고 연습하여 그 실력에 상응하는 결과를 얻는 것입니다. 즉, 자신감을 가지기 위한 수학 교육과 수학을 배우기 위한 수학 교육은 차이가 없습니다. 단, 여러명이 보는 앞에 나가 수상을 하는 경시대회등에 나가는 활동을 할 수 있지요. 또한 학생이 자연 속도로 발전하도록 하지 마시고 한 여름방학에 집중적으로 한 경시대회를 위한 준비를 하여 그 경시대회에서 반짝 하도록 할 수 있습니다.계단을 만들면 올라가지 못 할 높이가 없습니다. 아무려 어려운 관문도 준비 과정을 단계로 하여 올라가면 누구다 반드시 목적에 도달할 수 있습니다. 모든 과정에서 학생이 어디에 있고 어디로 가고싶은가를 알아 그 두 장소를 연결해주는 계단을 만들면 학생이 지속해서 할 수 있고 뒤 돌아보면 까마득히 높이 올라왔다는 것을 볼 수 있기 때문에 흥미도 유지하게 되어 결국에는 본인도 상상 못하던 아찔한 경지까지 올라가게 됩니다. 그쯤 되면 주위에서도 “수학 잘 하는 학생”으로 인정하기 때문에 그 brand를 잃지 않기 위해서라도 더 열심히 하게 됩니다.
그 계단은 학생마다 다릅니다. 허망하게 쉬운 코스에 들어가도 안되고 눈이 캄캄하게 어려운 코스도 안되고 학생이 무리없이 딛고 올라갈 수 있는 높이의 계단에 해당하는 코스를 배워 점점 향상해 가면 될 것입니다.
수학경시대회에 나갈 수준이 되려면 어떻게 그리고 얼마 동안 준비해야 하나요?
수학경시대회에 나갈 수준이 되려면 어떻게 그리고 얼마 동안 준비해야 하나요?
By James H. Choi
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질문:
수학경시대회에 나갈 수준이 되려면 어떻게 그리고 얼마 동안 준비해야 하나요?
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우선 학교 수학을 아주 잘 해야 합니다. 튜터를 받건 자습을 하건 무슨 방법을 동원 해서도 학교 수학을 잘 할 수 있어야 합니다. 그 단계를 해 내지 못하면 경시대회 수학을 접할 준비가 되이 있지 않습니다.
6학년이거나 그 이상이 되면 그리고 수학 경시대회에서 입상을 목표로 한다면 수학 경시대회 유형의 문제를 푸는 방법을 배워야 합니다. 즉, 학교 교과서에 나오는 문제는 가장 어려운 것까지 다 풀 수 있어도 경시대회 문제를 푸는 준비가 되지 않을만큼 학교 수학과 경시대회 수학은 다릅니다.
앞으로 배울 내용이 미리 나와서가 아닙니다. 엔지니어링, 물리학 박사들도 수학에 자신있다고 하지만 고등학교 수학 경시대회 문제를 가지고 쩔쩔 맵니다. 심지어는 수학 박사도 자신의 분야가 아니면 AIME, USAMO, ARML 문제를 제 시간에 풀어내지 못합니다. 이는 경시대회에 출제되는 문제가 수학이기는 수학이지만 경시대회 수학이라고 불릴 만큼 특별한 분야에서 경시대회 문제들이 출제 됩니다.
학교에서 가르치지 않지만 경시대회에서 많이 나오는 문제가 두가지 있습니다. 하나는 Number Theory이고 다른 하나는 Counting and Probability (=Combinatorics)입니다. 이 두가지는 비상한 두뇌의 학생들은 따로 배우지 않아도 직감적으로 답을 구하는 유형의 문제들인데 (122의 300승의 마지막 자리 숫자가 무엇인가? 30명이 만나면 악수가 몇번 있는가?) AMC 8 정도에서는 아무런 준비 없이 재능만으로 고득점을 할 수 있지만 그 다음 부터는 재능있는 학생들도 준비해서 오기 때문에 시간내에 풀어낼 수가 없습니다. 시간이 충분하면 혼자 패턴을 찾겠지만 시간 제한이 있는 수학 경시대회에서는 기본 지식을 이미 알고 있어야 그 연장을 들고 문제가 꼬아 놓은 부분에 집중할 수 있습니다. 한데 이 두 과목을 제대로 배우기 위해서는 최소한 Pre-Algebra를 끝냈어야 하고 Algebra 1 을 끝냈으면 더 쉽게 배울 수 있습니다.
그리고 학교에서 가르치는 것과 많은 중복이 되지만 경시대회에서 더 높은 수준으로 묻는 것이 기하 (Geometry) 입니다. 고등학교 수준의 경시대회에서 고득점을 받기 위해서는 학교 기하를 배우고 나서 경시대회 문제 수준의 기하를 배워야 합니다. 학교 책에 나오지 않는 여러가지 theorem 들이 있는데 (예: Ptolemy’s Theorem) HMMT, AIME같은 수준의 경시대회에 서슴없이 나타납니다.
이 세가지 (Number Theory, Counting and Probability, Geometry) 를 배우고 나서 기출 문제를 풀어보기 시작하면 이 개념들이 어떻게 서로 얽히고 섥혀 나오는지 보이게 되고 그런 문제를 풀어나가는 능력을 갖추기 시작하게 됩니다.
준비기간은 목표가 무엇인지 학생이 얼마나 시간이 있는지 의욕이 있는지 선천적인 이해력이 있는지에 따라 크게 좌우됩니다. 예를 들어 6~8학년 학생이 AMC 8에서 20점을 받는 것이 목적이라면 짧게는 한 여름방학, 길게는 1년이 걸릴 것이고 무관심으로 무장한 학생은 2년도 걸릴 수 있습니다.
6 ~ 8 학년 MIT 지망생들이 지금 할 일 4
Written on December 24, 2009
By James H. Choi
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현대의 공대 지망생은 반드시 컴퓨터를 조립한 경험이 있어야 합니다. “컴퓨터를 만든다”라고 과장해서 말하는데 아무도 개인적으로 컴퓨터를 만들 수는 없고 실은 부품을 조립을 하는 것입니다. Dell 같이 세계에서 가장 큰 컴퓨터 회사로 장기간 군림하고 현재 HP다음으로 두번째로 큰 컴퓨터 회사도 실은 컴퓨터를 만드는 회사가 아니라 조립하는 회사입니다. 즉, 그들은 새로운 processor나 hard drive같은 것을 개발도 생산하하는 것도 없고 단지 다른 회사에서 만든 부품을 싸게 구입하여 컴퓨터를 더 싸게 조립하여 더 싸게 소비자에게 배달하는 것으로 성공한 회사입니다.
학생이 직접 컴퓨터를 조립해야 하는 이유는 여러가지 입니다. 가장 중요한 이유는 이 컴퓨터의 원리를 상당히 이해하게 됩니다. Alphabet Soup 처럼 온갓 약자가 난무하는 컴퓨터 용어를 다 이해하게 되고 각 부품이 무엇을 어떻게 하는지 정확히 알게 됩니다. USB, SATA, Firewire, T1, T3 같은 소리만 들어도 벌써 직감적으로 그들의 상대 속도를 알고 그런 connection으로는 어떤 정보를 어느 속도로 보낼 수 있는지 알게 됩니다. 성능을 upgrade 할 때도 길 잃은 아이처럼 겁에 질려있지 않고 컴퓨터 잘 하는 친구에게 부탁하느라 본심에 없는 미소를 짓지 않아도 됩니다. 혼자 뚝딱 필요한 부품을 가장 싸게 주문하여 쓱싹 바꿔 끼우는 독립과 효율을 가지게 됩니다. (다른 친구들이 상냥하게 미소지며 공손하게 컴퓨터좀 봐 달라고 부탁해오고 항상 친절하게 대해줍니다.) 공학도라고 자칭하면서 어떤 케이블이 어디에 꽃히는지 조차 몰라 다른 사람에게 물어봐야 하는 커리어에 치명적인 상황도 예방합니다.
한번 컴퓨터를 조립하려면 각 부품마다 얼마나 많은 종류가 존재하는지를 알게 되고 어떤 부품이 어떤 부품과 호환이 되고 안되고를 배우게 됩니다. 이런 테크놀로지를 배우고 익히면 앞으로 신문에 나오는 “xx 회사가 yy를 개발했다”는 말이 무슨 뜻인지, 컴퓨터 기능이나 가격에 어떤 영향을 줄지 알게 됩니다. 그리고 이런 분야에 소질이 있으면 그 잠재력이 깨워집니다. 즉, 이런 경험 한번도 없으면 processor design에 소질이 있는 학생도 자신이 이런 소질이 있는지를 느낄 기회조차 없이 주위 사람들이 권하는 전공을 정하게 됩니다. 주위에 processor designer가 몇 명이나 있겠고 있더라도 그 중에 몇명이나 이 학생의 자질을 유심히 봐 주겠습니까? 학생 자신이 부지런히 이런 저런 분야에 부딛혀 봐서 소질이 있는 것을 못 찾더라도 “나는 도저히 이런 것을 못하겠다”라고 무엇을 하지 않을지를 확실히 알게만 되어도 성공입니다.
다른 장난감과 달리 컴퓨터에 조립과 성능 향상에 매달리는 것은 건설적인 일입니다. 즉 iPod에 애착을 보이는 것은 영화를 보는 것에 해당되지만 컴퓨터 조립에 애착을 보이는 것은 영화를 만드는 것에 해당되는 것입니다. 이는 건설적일 뿐 아니라 경제적이기도 합입니다. 처음에 몇 번 호환되지 않는 부품을 잘 못 주문하여 발생하는 손실을 겪고 나면 그 다음부터는 두고두고 가장 저렴한 가격으로 최고의 성능을 유지할 수 있습니다.
저는 제 학생들에게 컴퓨터를 만들어 보라고 여러번 권했는데 만드는 과정은 일부러 도와주지 않습니다. 주문도 몇 번 잘 못 해야 하고 연결도 몇 번 잘 못 해야 제대로 배우게 됩니다. 제가 모든 부품을 다 정해 주어 제가 시키는 대로 조립하면 이것은 교육효과의 90%를 손실하는 헛일이 되고 말기 때문입니다. 이렇게 우여곡절을 겪어 컴퓨터를 일단 조립하고 Operating system을 설치하고 boot up이 되면 이는 평생 잊지 못할 경이로운 순간입니다. 그리고 컴퓨터에 대한 신비와 두려움이 사라지는 순간이기도 합니다. 그 때부터 컴퓨터는 만만하고 항상 무조건 복종을 하는 생산 도구가 되어 평생 학생 옆에서 든든하게 보조해주고 굳은 일을 다 대행 해주는 부하가 됩니다. 그 위에다 프로그래밍까지 배우고 그 프로그래밍을 사용하여 과학연구까지 하면 정말 무슨 깨가 쏟아지게 재미있는 게임하고 있는 기분으로 과학경시대회에 수준의 지식을 얻게 되는 믿어지지 않을 정도로 이상적이 교육이 실현됩니다. 자신이 만든 컴퓨터를 사용하면 어떤 부품을 어떻게 바꾸면 얼마나 더 빨라질 것이라는 것을 알아 “I need a new computer!” 가 아니라 “I need a faster processor” 내지는 “I need more RAM” 같이 희망사항의 가격이 10분의 일로 떨어지는 효과도 있습니다.
자제분들이 컴퓨터를 사달라고 하면 직접 만들라고 하세요. 같은 기능의 컴퓨터를 사 주는 것 보다 쌉니다. 그리고 컴퓨터 만들고 싶다고 하면 적극 지원해 주세요. 게임을 하는 것이 목적이더라도 다 만들고 난 다음에 게임용 사용을 제한하시고 조립하는 과정은 적극적으로 도와 주세요. 장래에 새 테크놀로지에 겁없이 도전할 수 있는 첫 단계가 완료될 것입니다.
어디서 어떻게 시작할지는 알아서 하라고 하세요. 목적은 확실하지만 시작과 과정이 불확실한 프로젝트를 해내는 경험을 얻는 것이죠. 시행착오를 일부러 사서 하는 것이니 주문도 직접 하도록 하시고 부품의 선택이 잘 못 되어도 야단치지 마시고 어떤 정보를 어떻게 읽었기에 잘 못 알게 되었나는 복기하도록 하세요. 이런 성공이 확실한 프로젝트를 해봐야 나중에 될지도 안될지도 모르는 어디서 무엇을 사서 어떻게 조립해야 되는지 조차 아무도 모르는 과학 프로젝트도 해낼 수 있게 됩니다.
단 부품 구입은 싸게 판다고 유혹 하는 사기꾼에게 당하지 않도록 http://www.newegg.com 이나 http://www.tigerdirect.com 에서 구입 하세요. 제가 이용해 왔는데 만족합니다.
Written on March 22, 2012 추신: 제가 추천한 대로 이미 실천하고 있는 학생이 있습니다.
중학생 세명이 만든 컴퓨터 회사 JDn의 사이트입니다. Facebook 페이지도 만들었습니다:
JDn의 광고 비디오입니다:
6 ~ 8 학년 MIT 지망생들이 지금 할 일 3
Written on December 21, 2009
By James H. Choi
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ISEF (한국어 설명)에 도전하고 그 외에도 Intel STS, Siemens Competition에 도전하도록 하세요.
그 중 ISEF는 공개적으로 과학의 대 잔치를 1주일 진행하는 특이한 국제 대회인데 목요일은 일반인에게 개방을 합니다. 학기 중이고 게다가 AP시험 둘째주이기 때문에 이 행사를 보러 일부러 움직이는 것을 무리이지만 개최 도시 근교에 거주하시는 분들은 이 기회에 자제분들과 함께 방문하셔서 보세요. 좋은 동기부여가 됩니다.
저는 해마다 ISEF에서 Grand Award Judge로 심사위원을 하고 있습니다. 저는 제 학생들을 출전한 분야를 피해 심사위원을 하고 있습니다.
아래 비디오는 지난 5월의 장면들입니다. 사람들이 팔꿈치를 서로 맞부딛히는 장면이 몇 번 나오는데 그 때가 신종플루가 막 시작했던 시기라 주최자측이 참가자들에게 악수를 하지 말고 팔꿈치를 서로 부딛히라고 지시를 했기 때문입니다. (하지만 제가 심사하러 가면 학생들 다 저와 반갑다는 표정으로 악수를 꽉~ 했습니다. 사방에 sanitizer가 비치되어 있었고 개인용 sanitizer도 다 나누어 주었으니 저와 심사가 끝나면 부지런히 손을 소독했는지도 모르겠습니다.)
중요한 과학 경시대회는 모두 고등학생에게만 참가 자격이 주어지지만 수상하는 고등학생은 모두 중학교 시절부터 연구생활을 해 오던 학생입니다. 반드시 중학교 때 시작을 해야 고등학교 때 열매를 맺을 수 있고 MIT 지원서에 기입할 수 있습니다.
제 글의 목차에 있는 “미국과학경시대회 Science Fair” 주제의 글을 참고하세요.
사비오 칼럼 