사비오 칼럼

수학성적이 갑자기 떨어지는 6가지 이유

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처

행복한 가정은 다 비슷하게 행복하지만
불행한 가정은 각자 독특하게 불행하다.”
-톨스토이, 아나 카레리나 첫 문장-

“수학성적이 우수한 학생은 다 공부방법이 비슷하지만
수학성적이 갑자기 떨어지는 학생은 6가지 독특한 이유로 실패한다.”
-제임스 최—

수학은 이런 점이 다르다.

수학은 매년 선택해야하는 과목이다.  배우는 시간이 길어짐에 따라서 성적이 오르고 내릴 여지도 많아진다.  “오르고 내린다”고 하지만 주로 내려가는 경우가 대부분이다.  무슨 수렁처럼 한번 점수가 내려가고 나면 다시 올라오기가 어렵다.

수학은 배우는 내용이 다양하다.  내가 어렸을 때 어려운 두자리 숫자 곱셈을 배우면서 “대학교 수학에서는 무엇을 배울까?” 생각해보다 “한 열자리 숫자를 곱하겠지”하고 짐작했던 기억이 있다.  물론 애 같은 생각이다.  대학원 수학이 되면 숫자는 거의 사용하지 않게 된다.  수학은 계속 같은 Mathematics이름을 사용하지만 배우는 내용은 엄청나게 달라진다.  비교를 하자면 “체육”이라는 과목에서 한해는 요가 다음 해는 축구 그 다음 해는 발레 그 다음 해는 권투을 배우는 것에 해당되겠다.
수학은 논리 사고력을 측정하는 자이다.  혈압으로 건강을 측정하듯 수학으로 만사를 처리할 날카로운 지능을 측정을 한다.  따라서 대입 시험에 수학은 반드시 나올뿐 아니라 비중도 크다.  이것은 현대 사회에 논리적인 사고능력의 필요를 반영하는 것이고 경제가 지식정보 경제로 변해가면서 논리의 중요성은 즉 수학의 중요성은 더 커지게 될 수 밖에 없다.  한마디로 수학을 피할 도리가 없다.

위의  특징들을 한몸에 모으고 있기 때문에 수학은 가장 우여곡절이 많은 과목이 될 수 밖에 없다.

수학교사로 일하다 보면 자연히 수학교육에 관한 문의를 받게 된다.  자녀가 수학을 잘 하고 있다는 자랑 전화는 일 년에 몇 번 정도만 오고 (선생님! 우리 데이빗 SAT 만점 받더니 올해 하바드에 들어갔어요!)  주로 문제가 있다고 느껴 문의를 해 오는 경우가 대부분인데 그 중 가장 횟수가 많은 것이 수학 성적이 갑자기 떨어진 것에 대한 문의이다.

처음부터 수학 성적이 낮았으면 불만족은 있더라도 놀라움은 없는데 수학 성적이 갑자기 떨어지면 학부형들이 우선 놀라게 된다.  아직 겪어보지 못한 미지의 세계에 들어서는데 대한 공포라 할까.  따라서 단기간에 성적이 만회가 되지 않으면 이전에는 고려도 하지 않았던 과외나 학원을 찾게되고 자문을 구하게 된다.  게다가 이런 문제는 하필이면 대입준비에 가장 중요한 고등학교 2학년 3학년때 많이 일어나 학부형님들을 안타깝게 한다.

갑자기 떨어지는 수학 성적을 어떻게 해야 다시 올려 놓을 수가 있는가?  한방에서 체질을 알아야 약을 처방하듯 성적이 떨어지는 이유부터 알아야 맞는 해결 방식을 찾을 수 있다.  과외가 되었건 학원이 되었건 이 성적이 떨어진 이유에 맞는 해결책을 제공하는 곳으로 선택해야 한다.  아무리 노력해도 성적이 오르지 않는다는 것은 이 이유에 맞지 않는 처방을 사용하기 때문이다.

그럼 수학 성적이 갑자기 떨어지는 이유 6가지를 하나씩 알아보자.

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“제 아들의 수학성적이 떨어지고 있어요! 무슨 이유일까요?”
“여러 가지 이유가 있는데요. 경우에 따라 다르죠.”
“어떤 경우요?”
“예를 들면, 다른 성적도 떨어지고 있나요?아니면 수학성적만 떨어지나요?”

1. 생물학적 단계:

“피는 물보다 진하며,호르몬은 피보다 진하다”
–제임스 최—

만약 모든 과목의 성적이 떨어지고 있다면 이것은 단순히 수학문제가 아니다.고등학교시절은 학생들의 호르몬 공장이 풀가동이 시작되는 시기여서 학생들의 키,기호, 취미, 관심사 그리고 가치관이 모두 변하는데 수학에 대한 관심만 변하지 않고 남아있다면 오히려 이상할 것이다.

또한 고등학교시절은 마음이 극도로 불안정하고 반항심이 많은 나이이며,친구들에게 구속되는 것과 독립을 혼동하는 나이 이기도 하다.  행동에 대한 정당성의 기준은 어떤 철학이나 가치관이기 보다는 친구들을 따라 하느냐에 달려있으며, 어떤 일도“내 친구들도 다 그렇게 한다”면 합당하다고 생각하는 나이이기도 하다.  감수성과 반항심이 높아 시키는 일은 완강히 거부하면서 동시에 엉뚱한 일에 흠뻑 빠지기 쉬운 나이이다.  가장 배울 것이 많은 이 나이의 학생들을 가르치는 것이 가장 어렵다는 사실이 아이러니 한 현실이다.

이런 반항기+과도기+사춘기를 동시에 겪고 있는 자녀를 둔 부모의 마음은 무겁다.  나는 가정교사 생활을 하면서 부모와 자녀 사이에 통역을 해야 하는 경우도 많았다.

한 나라에서 같은 언어와 동일한 문화 속에서 살았어도 큰 세대 차가 나고 마는 시대인데 이민 가정의 자녀인 경우에는 오죽하랴. 학교 성적이 떨어질 무렵이 되어서야 부모나 자녀가 서로 간에 얼마나 큰 세대차,문화차, 가치관차, 그리고 언어적 차이가 존재하는지를 깨닫는다.  주위 사람들 다 무슨 대단한 비법을 가르치는 것처럼 “대화를 하라”고 목소리 낮추고 어깨까지 토닥거리며 일러주지만 대화라고 해 보아야 밥 먹었냐 정도의 어휘로는 가치관을 논하는 것이 무리라는 점을 깨닫는 것과 내 핏줄이 남보다 멀어진 것을 확신하는 정도로 끝나는 경우도 많다. 심한 경우에는 이민을 잘 왔네 잘못 왔네 높은 목소리로 가족 이민결정을 재 평가하기도 하는 것도 바로 이때다.

그렇다면 이렇게 반항심 가득하고 딴 길로만 나가려는 학생에게 어떻게 수학을 가르치는가?

거창하게 질문을 던졌지만 이것은 수학문제가 아니기 때문에 수학선생으로서 뾰족한 대답이 없다. 호르몬이라는 위대한 자연의 힘에 정면으로 도전하여 학생들 억지로 붙잡아 놓고 따분한 수학공부를 시킨다는 것은 승산이 없다는 생각까지 든다.  반항하는 학생은 호르몬 외에도 물질적인 요인 (지나친 패스트푸드 소비, 설탕, 마약,시력 변화, 수면시 호흡문제)도 있을 수 있으므로 전문가의 의견을 구하는 것이 중요하다.

결국 질문만 던지고 대답은 남에게 미루고 마는 결과가 되었는데,내 개인적인 관찰에서 느끼는 점을 몇 가지 전달하고자 한다.

첫째:가장 중요한 것이 문제의 예방이다.  모범생이건 아니건 이 나이 때는 다들 친구 따라 행동한다.  어떻게 생각하면 모든 학생들이 다 똑 같이 친구 따라 행동하는 것은 같고 유일한 차이는 친구가 다를 뿐이라는 주장도 가능하다.  결국 맹모삼천지교(孟母三遷之敎)가 바로 사춘기에 친구 따라 강남 가는 현실을 이용하여 따라 다닐만한 친구들 사이에 맹자를 옮겨놓았다는 교훈이 된다. 극단적으로 말하자면 맹자가 한 일이라고는 사춘기 소년답게 가는데 마다 동네 친구들 흉내를 낸 것뿐이었고 맹모삼천지교란 자연의 힘을 어겨 싸우지 않고 자연의 힘을 이용해 아들을 교육시켰다는 교훈이다.  대입 준비는 6학년에 이미 윤곽이 나타나기 시작하므로 6학년 때면 어떤 친구와 어울리는지 관심을 가져주는 것이 중요하다.

둘째:학생이 아주 뛰어날 경우에는 주위에 누구보다 자기가 잘하니까 어깨에 힘이 들어간 우물 안 개구기가 되기 쉽다. 미국 내 수학 수준은 전 세계에 비하면 낮은 편이기 때문에 8학년 수학 전교 일등 해도 다른 나라에서의 평범한 수준이기 십상이다. 하지만 비교 상대가 없으면 자만하게 되고 자신이 천재라고 착각하다가 뒤 늦게 임자 만나 허우적거리는 경우도 생긴다.  그런 어깨 힘들어간 개구리들은 높은 수준의 학생을 모아 더 높은 수준으로 경쟁하는 학교나 학원에 다니게 하면 어깨 힘도 자연히 빠지고 저절로 세계수준의 수학에 도전할 의욕이 생긴다.  뛰어난 학생일수록 잔소리는 무시하지만 이런 경쟁의 환경을 만들어 주면 승부욕으로 발전하게 되는 경우가 많다.  또한 이런 수준 높은 환경에서 친구들을 사귀면 수학에 앞서 나가는 것이 “친구들도 다 하는” 당연한 일이 된다.

셋째:말을 안 듣는 학생을 어떤 식으로라도 성적을 올리고 싶다면 학생이 좋아할 만한 선생을 찾으라고 권고 하고 싶다. 잘 가르친다는 선생을 고집하지 말고 학생이 좋아하는 선생을 찾는 것이 더 중요하다. 반항하는 학생이라면 선생도 모범생 스타일이 아닌 뭔가 삐딱하게 멋지면서도 수학은 제대로 가르칠 수 있는 선생만이 학생의 마음을 살 기회가 있다.  학생이 교사를 좋아하고 교사의 말을 믿고 교사에게 잘 보이고 싶어하면 성적은 저절로 올라가게 된다.  나는 여학생들은 무엇을 생각하는지 알기가 어려워 항상 겉도는 상태로 가르치고 말았지만 남학생들은 (특히 형이 없는 장남) 그들의 사고방식을 알고 있기 때문에 그들의 가치관에 맞추어 가르쳐 신뢰하는 사이가 되고는 했다.  반항하는10대는 자신을 정지된 시간을 사는 불사조로 생각하기 때문에 미래 이야기가 별로 통하지 않는다. 장래를 위해서 수학을 잘 해야 한다고 해봐야 시큰둥하고, 차라리 친구들에게 네가 얼마나 지능이 높은지 과시하기 위해서 고등 수학을 패스해서 친구들 기를 좀 죽이라고 하면 신나서 덤빈다. 단기적인 목적을 계속 세워가며 하나씩 정복해 나가면 수업도 게임 하는 기분으로 웃으면서 수학을 배우게 되고 성적이 자연히 올라가게 된다.  하지만 이 모든 것이 교사와 학생이 호흡이 잘 맞을 경우에만 가능한 일이며,그런 교사를 만난다는 것이 쉬운 일은 아니다.

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“수학성적만 떨어지고 있어요. 우리 아이는 착하고 영리한 학생인데 왜 갑자기 성적이 떨어지는지 모르겠네요”
“같은 반 학생들이나 선생님을 싫어한다고 말한 적이 있나요?”

2. 사회적인 상황:

“학교가 당신의 교육을 방해하지 못하게 하라.”
–마크 트웨인—

학생의 수학성적에 영향을 미치는 중요한 사회적 요인은 선생님이다.

안 좋은 선생님들의 영향에 대해서는 언급할 필요가 없다. 훌륭한 선생님과 공부를 해도 배우기 어려운 내용인데 안 좋은 선생님과 공부하려면 모든 단계가 수백 배 힘들어진다. 특히 좋은 선생님과 공부하다가 안 좋은 선생님으로 바뀌면 학생의 심리에 상당한 충격을 주며 이는 성적표에 확연히 나타난다.

안 좋은 선생님은 크게 나누어 무지한 선생님, 무관심한 선생님과 호감이 안가는 선생님으로 3종류가 있다.

어째서 이런 사람들이 귀중한 미래의 보배들을 가르치게 되었냐고 다들 한탄하는데 모든 사람이 한탄에는 동의하지만 해결책은 다들 아전인수하느라 바빠서 속시원한 답이 나오지도 않고 상황이 개선될 가망도 별로 안보인다.   이런 비효율적인 공교육 덕분에 사교육 시장이 번창하는 것이고 급기야 나 같이 “경제원리 및 기업경영방법의 효율, 경영의 투명성, 테크놀로지 사용, 지식관리 효과를 교육계에 몰고 오겠다”고 기염을 토하는 사람까지 등장하게되는 것이다.

평생 미국 대기업에서 일하면서 투명, 효율, 실질을 숭상하는데 익숙해 있는 나로서는 실력없는 사람이 해고되지 않는 시스템, 뛰어난 사람이 승진되지 않는 시스템을 이해할 수가 없다.  이런 근무 연수로만 승진을 따지는 회사는 갈데가 없는 사람만 남게 되는 것이 자연의 법칙이다.   특히 수학, 물리 같이 일반 수요가 많고 회사 직원의 연봉이 교사직보다 두세배를 육박하게 되는 경우에 그 유혹을 뿌리치고 학교에 교사로 계속 남았다는 것은 교육을 천분으로 생각하고 사명감에 불타는 훌륭한 선생님이거나 그런 회사 자리에서 일할 실력이 없는 선생님, 양극으로 밖에 볼 수가 없다.

무지한 선생님

선생님의 지식이 표준 이하라면 학생도 무지할 수 밖에 없다는 것은 당연한 일이고 설상가상으로 이 학생들은 끝없는 혼돈과 좌절을 통하여 무지에 도달하기 때문에 자신을 잃게 되고 앞으로 배움의 길조차 망치기도 한다.   수학에 관심을 잃었다는 학생들의 말들을 들어보면 무지한 선생이 남긴 결과인 경우가 많다.  가르치는 과목이 높아질수록 선생님의 실력 부족이 더 눈에 뜨인다.  미적분, 물리를 가리치다 보면 학교에서 잘 못 배운점들, 답이 틀린 문제집을 가져오는 학생들을 접하게 된다.  한 학부모는 물리 수업 후 항상 혼동만 되어오는 아들의 모습을 참다 못해 학교로 찾아가 교과서에 나온 물리 문제를 선생님에게 풀어보라고 보였는데 결국 못 풀고 말았다고 전해 주었다.  물리와 수학에 가장 높은 수준의 시험임으로 대입시 유리한데도 많은 학교들이 선생부족으로 AP Physics C를 못 가르치고 있고 AP Calculus BC도 못가르치는 학교도 있다.

무지한 선생님들이 계속 학교에 남아 해마다 꼬박꼬박 연봉 인상에 승진을 받고 있는 것은 이 선생님들을 테스트 하는 조직적인 제도가 없기 때문이다.  내가 가르치는 학원에서는 학생들이 보는 시험을 (ACT, SAT, AP) 선생님들이 직접 보도록 제도를 정했다.  시험장에가서 꼬맹이들과 시험을 보려면 심기가 심히 불편한데 그래도 철판깔고 시험을 봐야하고 나는 물론 다른 선생님들의 성적을 학생 학부형에게 공개한다.  현재로는 우리만 유별난 짓을 하는 것으로 보이지만 언젠가는 모든 교육기관이 이 제도를 받아들게 되는 것이 내 꿈이다.

무관심한 선생님

어떤 선생님들은 학습내용을 잘 알고 있지만 대강 적당히 가르쳐서 오히려 학생들을 혼란스럽게 한다.  실력있는 선생님이 열심히 할 의욕이 없는 것이 더 해봐야 승진이나 연봉에 아무런 차이가 나지 않기 때문이다.  이와 같이 무관심한 선생님 밑에서 배우려면 학생들이 스스로 그 학습내용을 터득해야 한다.

이 근처의 학교선생님과 대화를 하면서 AP성적이 좋아 만점 (5점) 학생이 늘면 선생으로서 유리하지 않냐는 질문을 했는데 “별로 다를 것이 없다”는 대답이었다.  다들 잘 하건 다들 낙제하건 그의 교사생활에는 아무 차이가 없다는 말이었다.  학생의 점수가 안 오르면 문을 닫아야 하는 내 입장에 비하면 아주 신선노름을 하는 세상이라고 느꼈다.

현재 부시 대통령이 하는 식으로 선생의 평가와 연봉이 학생들 성적에 직결하도록 하는 제도가 필요하다.  물론 수 많은 부작용이 생기고 가지가지 문제점이 일어나지만 나는 현재의 무관심교사의 문제가 더 크다고 생각한다.

싫은 선생님

그리고 또 한가지 학생 성적에 영향을 주는 선생님의 자질 하나는 선생님의 호감도이다. 호감도는 보통 선생님이 보여주는 학업능력과 교육열정과 연관되어 있지만 꼭 그런 것도 아니다.  학생이 선생님을 좋아하면 일반적으로 그 과목의 성적도 향상되고 싫으면 떨어짐으로 실력이나 관심을 떠나 단지 성격차이로 학생이 선생님을 싫어하기 때문에 수학성적이 떨어질 수 있는 것이다.

내가 소시적에 참 싫어하던 선생님이 있었다.  한국에서 국민학교때 일이니 선생님의 실력 같은 것은 기억도 안나고 무엇을 배웠는지도 잘 모르겠다.  한데 그 선생님이 별일도 아닌 것에 항상 잘난척하고 으스대는 모습이 내 어린 눈에도 참 아니꼬왔다.  그래서 그 선생님이 하는 말이라면 다 싫었고 시키는 일이란 다 피하고 싶었다.  물론 내 성적도 저조했다.

학생들에게 선생님 선택권을 주고 좋아하는 선생님 반으로 옮길 수 있도록 허락한다면 수요와 충족 경제원리로 이런 싫은 선생님들을 필터할 수 있지 않을까 생각도 해보는데 공교육에 그런 제도를 적용하면 부작용이 더 클 것 같다.  예를 들면 숙제 안내주고 A만 주는 선생님한테 다 몰리는 일도 있을 것이고.  학원 같은 사교육은 이 수요와 충족의 원리속에 살기 때문에 기분나쁜 선생이 남아나지 못한다.

기타

세상에는 무지와 무관심과 비호감도를 모두 한 몸에 겸비한 희귀한 선생님들도 있으며 그들은 어떤 우수한 학생들의 수학성적도 떨어트릴 수 있는 경이로운 능력을 보유하고 있다.

이런 선생님에 따라 성적이 왔다갔다 하는 현상은 감수성이 예민한 여학생들에서 더 자주본다.  예상외로 많은 학생들이 성적이 떨어진 이유에 선생님이 싫다는 이유를 댄다.   어디까지가 진실이고 어디부터가 핑계인지는 모르겠다.  내용이 어려워져서 선생님을 싫어하게 되었는지 선생님이 싫어서 내용이 어려운지 원인결과의 관계도 확실히 모르겠다.  하지만 학생들의 사기를 저하시키고 지식습득에 방해가 되는 선생님이 있다는 점은 사실이고 학교를 12년 다니면서 한 두명 그런 선생님을 만날 확류이 농후한 것도 사실이다..  그리고 선생님을 좋아하면 어려운 과목도 힘차게 배워 나갈수 있다는 사실도 확실하다.

해결책

이 문제 역시 수학선생이 조언할 문제가 아니다.  선생의 실력, 관심, 호감도에 의해 성적이 떨어지는 상황에서 유일한 해결책은 전학을 하던지 학교 밖에서 실력 있고 관심 있고 호감을 주는 선생에게서 개인적으로 배우는 것이다.  학교차원에서 어떻게 해결방책을 제안할 수 없는 이유는 공립학교에서의 선생 배정은 인생의 가장 강력한 힘, 즉 운(luck)으로 결정되기 때문이다.  만약 이 공립학교 교사 자질실력문제를 쉽게 해결할 수 있었더라면 지금 내가 가르치고 있는 학원을 포함해 시험준비산업 자체가 아예 존재하지 않았을 것이다.

Guy Trickland의 저서 “Bad Teachers” (ISBN: 067152934X)라는 책이 이 선생님 자질 문제를 직언으로 다룬 책으로 학부형님들에게 추천하고 싶다

그리고 자녀님들이 좋은 줄에 서게 되기를 기원한다.  Good luck!

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“아니요. 수학선생님을 좋아하는데요.”
“수학에서 지금 무엇을 배우고 있죠?”
“잘 모르겠는데…  물어봐야 알겠는데요.”
“Geometry를 시작했나요?”

3. 학습내용의 변화:

세상에 변하지 않는 것은 변화뿐이다.
–헤라클리투스—(기원전540년생 그리스 철학자)

수학은 여러 가지 학문의 집합을 통칭해서 부르는 이름이다. 수학에 속해있는 모든 학문들은 모두 논리적 사고를 사용하여 단계를 쌓아 나아가지만 그중 일부는 추상적 능력에 집중하고, 일부는 공간적 능력, 그리고 일부는 산술 능력을 사용한다.  체육에 비교하면 수업 내용이 요가, 축구, 발레, 권투로 바뀌어 가는 것과 비슷하다.  고등학교 때 학생들은 수학에 있어 이 다른 능력을 사용하는 수학으로 넘어가는 과도기를 경험하게 되는데 이 과정에서 고전을 겪는 경우가 많다.

예를 들어, 일부 학생들은 Geometry로 넘어가는 과도기에 많은 어려움을 느낀다. 미국의 정규 고등학교 교과과정을 보면 Algebra를 1년 가르친 후 Algebra는 중지하고 Geometry로 들어갔다 1년 후 다시 Algebra로 돌아온다. 병행하지 않고 이렇게 중간에 공간을 두고 전혀 새로운 개념을 주입하는 식이 내 개인적 견해로는 최선의 제도라고 생각하지 않지만 미국 교육부의 고위 권력자들이 결정한 일이니 우리는 그냥 따르는 수 밖에 없다.

Geometry는 지난 2400년 동안 변하지 않았기 때문에 지금쯤 우리 피 속에 흐른다고 생각할 수 있다. 예수님의 시대를 거슬러 올라가서 부처님의 시대에도 geometry가 있었으니 요즘 세상이 하도 발달해서 공부가 어렵다는 말에 geometry는 전혀 해당이 안 된다.   이렇게 고색이 창연한 학문이라고 해도 많은 현대학생들은 공간적 관계의 개념과 논리적 증명을 난해하게 생각한다.  고전하는 학생들의 기분을 더 상하게 하는 것은 다른 학생들은 별다른 어려움 없이 척척 한눈에 이해한다는 것이다.  이렇게 되면 지능이네 선천적 능력이네 세상이 공평하네 불공평하네 하며 전혀 geometry와 관계없는 논쟁이 시작되는데 물론 선천적인 차이가 있겠지만 고등학교 geometry정도는 누구나 다 충분히 이해할 수 있는 과목이다.  이 자연적으로 나타나는 이해 속도의 차이 때문에 geometry를 개인 지도가 아닌 교실 에서 가르친다는 것엔 항상 큰 어려움이 따른다.  몇 명은 당장 이해하고 몇 명은 난해해 하기 때문에 학생에 따라 설명 방법이 달라야 하기 때문이다.  Geometry공부하는 방법에 대해서는 다른 칼럼에 자세히 설명하겠다.

Geometry외에 또 생소한 개념은 확률 (probability) 이다. 수학 선생들은 늘 “답을 대입하여 맞나 확인하라”라고 강조하지만 확률은 대입할 수가 없다.  확률은 완전히 논리로 구축된 학문이며 맞고 틀리는 것은 더 우수한 논리로 상위 논리로만 입증할 수 있지 실험이나 증명을 해 보일 수 없다.

만약 이러한 전혀 새로운 수학 분야를 배우는 학생의 성적이 떨어졌다면 이는 학생의 변화보다는 사용하는 두뇌 부분의 변화를 반영한 것이다. 간단히 말해서 학생이 변한 것이 아니라 수학이 변한 것이다. 좋은 소식이 있다면 이 고전하는 부분이 끝나면 학생의 성적은 원상태로 회복된다는 것이지만 나쁜 소식은 어떤 고전 부분은1년도 가고 어떤 과목은 아예 졸업할 때까지 끝나지 않고 대학까지 연속된다는 것이다.

어느 학생이 어떤 부분에서 고전을 할 것이라고 정확히 진단을 할 수는 없다.  하지만 과거에 전례를 봐서 많은 학생들이 고전한 과목이라면 미리 공부를 해 두어 준비를 해 놓는 것이 안전하다.  일종의 예방주사 개념이 되겠다.  준비가 안 된 상태에서 예상외로 고전이 시작되었다면 부끄럽게 생각말고 전문가의 도움을 청하는 것이 현명하다.  학교성적은 시험에서 몇 점을 받았는가만 기록되니 누구에게 어떤 식으로 배웠는지는 상관없는 일이다. 타고난 수학 재능이 불공평 하다고 한탄할 것이 아니라 좋은 선생에게 따로 배워 불공평하게 유리한 위치에서 불공평하게 승리를 하는 것이 더 현명한 일이다.

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“그렇지는 않은 것 같아요. Geometry는 전에 배웠어요.”
“그렇다면 암산을 잘 합니까? 계산을 할 때 항상 계산기에 의존하고 있지는 않습니까?”

4.산술능력 부족:

“난 수표책의 잔고도 못 맞춰! 허허!”
—작자 미상—

산수와 수학이라는 단어는 일상생활에서도 혼용해서 자주 쓰이지만 의미는 엄연히 다르다. 산수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에 관한 것인 반면에 수학은 논리와 응용문제에 관한 것이다. 수표책의 잔고도 못 맞춘다는 오래된 과장은 수학의 문제가 아니라 산수이다.

현재 고등학생 세대는 계산기가 넘쳐나는 세계에서 자라났고 아마도 그 결과로 놀라울 정도로 낮은 산술능력을 보이고 있다.  그러나 계산기 그 자체만이 범인은 아니다. 수학교육에서 계산기의 사용에 관한 연구자료를 찾아보면 이를 찬성하는 주장들이 상당히 많다는 것을 알 수 있다. 물론 계산기를 사용해서 배움을 향상시킬 수는 있다. 나 자신도 수업시간에 세계에서 가장 우수한 계산기인 울프램 연구소의 Mathematica 소프트웨어를 사용한다.

문제는 계산기를 사용하는 방법에 있다. 하도 차로 다녀버릇해서 침실에서 화장실로도 자동차 타고 간다고 하면 웃겠지만 많은 학생들이 그에 해당되는 계산기 사용 습관을 가지고 있다.  그런 습관 속에서 자라나 이제는 몇 발자국 걸을 근육의 힘도 잃은 약골이 된 것이고 또 더 큰 문제는 침실에서 화장실까지 운전하고 가는 도중에 자꾸 길을 잃는 것이다.

고등학생들이 계산기를 사용하는 습관은 경악할 정도이다. 많은 학생들은 12 x 2를 계산하기 위해 계산기를 찾는다. 계산기를 두드리지 않고서는 0.2 x 0.2가 0.4인지 0.04인지 모른다. 그리고 ½로 나누기를 하면 숫자가 커지는지 작아지는지 판단을 못한다.

산수는 수학이 아니지만 수학을 이해하기 위해서는 산수가 절대적으로 필요하다. 산수를 못하는 것은 치명적인 결함이지만 그보다 더 큰 문제는 숫자의 개념 그 자체를 잃는 것이다. 계산기에 의존하는 학생들은 숫자에 무뎌져서 더 이상 숫자의 상대적 크기를 비교할 수도 없게 된다. 이와 같은 산술능력의 부족은 시간 문제이지 결국 언젠가는 학생의 수학성적을 끌어내리고 마는 요인이 된다.

산술능력 부족의 문제에서 정말 놀라운 것은 현재의 집단적인 경시이다.  학교나 선생님들 측면에서는 이 문제를 해결하기 위한 노력이 전혀 없다. 고등학교에는 “정확하고 빨리 계산하는 방법”에 관한 과정이 없고 학생들은 “그냥 계산기를 사용”하면 되기 때문에 산술능력의 부족은 문제로 취급되지도 않는다.

이 산술능력이 모자라는 학생들은 자신이 부족하다고 생각하지 않고 단지 실수를 했다고만 생각한다.  “내가 바보 같은 실수를 했네” 라는 한 마디로 별일이 아닌 것처럼 넘어가지만 수학은 점점 더 어렵게 느껴질 것이고  “바보 같은 실수”는 점점 더 자주 발생하게 된다.  이런 산술능력이 약한 학생은 수학 공부를 한다고 시작하면 내용에 관계없이 우선 계산기부터 찾는다.

산술능력 부족을 극복한다는 것은 시간, 인내심, 결단력이 필요한 해결이 어려운 문제이다.  그러나 이 문제를 해결하지 않고 고등수학을 배운다는 것은 밑 빠진 독에 물 붇기일 뿐이다.

말썽 부리는 애들 “자라서 철 들면 나아 지겠지” 하는 식으로 산술능력이 약한 학생들도 시간 지나면 해결될 것으로 낙관적으로 보고 싶지만 이 문제 하나만은 자연적으로 해결되지 않는다.  본인도 깨닫지 못하고 있는 문제이기 때문에 전문가의 도움 없이 해결되지 않으며 대학교 마지막 수학시험까지 수학성적을 끈질기게 끌어내리는 고질적인 문제로 남게 된다.

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“아니요. 어렸을 때부터 숫자는 쉽게 다루어요.”
“지금 수학 성적이 떨어지고 있다고 하셨죠. 작년까지는 어땠었나요? 성적이 우수했나요? 가끔 B성적도 있었나요?

5. 수학기초:

“모든 일은 미리 준비하면 성공하고, 준비하지 않으면 실패한다.”
–공자–

수학은 다른 어떠한 학문보다 명백한 일련의 연속으로 이루어졌으며 여러 각 개념간의 의존도 또한 확립되어 있다. 예를 들면, 1차 방정식을 이해하지 않고서 2차 방정식을 푸는 것은 불가능하다. 그리고 순열 계산하는 방법을 모르고 확률을 푸는 것은 불가능하다. 앞서 말했듯이 Geometry와 같이 반의존적인 수학부문도 몇 가지 있지만 새로운 토픽이 극단적으로 새로운 개념을 다룬다 하여도 수학은 대부분 기존 개념을 많이 사용하고 그것을 기초로 구축된다.

이 이유 때문에 많은 학생들이 수학 성적이 올라가는 것 보다 떨어지는 경우가 훨씬 많다.  기초가 약하면 그 위에 구축되는 모든 것은 흔들리기 마련이니 SAT와 같이 어려운 시험을 치르게 되면 엉성히 쌓아 올린 지식은 대부분 무너지고 만다.

공식 정의상 “A”는 “Excellent”로 되어있고 “B”는“Good”이라고 되어 있고 “C”는 “Average”라고 되어있다.  원의는 그랬었는지 모르지만 인플레이션이 하도 심해서 이제는 원래 의미가 별로 없다.  해방 때 300원이 지금의 300원이 아니듯 지금의 “A”는 이제 더 이상 Excellent가 아니다.

그럼 무슨 의미가 있는가?  내가 가르치고 있는 지역의 학교에서 (Illinois district 211) 수학에 “A”를 받는 것은 “B”를 받지 않았다는 의미밖에 없다.  그렇다면 “B”를 받는 의미는 무엇인가?  “B”는 개념 이해에 많은 어려움을 겪고 있으며 앞으로 이 개념을 바탕으로 다음 단계를 밟을때는 반드시 고전을 면치 못하리라는 보장의 의미다.  수학점수는 항상 “A”받았다는 학생도 standardized 되어있는 SAT같은 시험을 치르려면 고전을 하는데 “B”  종종 받던 학생은 당연히 저조한 성적이 나오게 되어있다.  그리고 “C”는 내용을 전혀 이해 못하는 경우에만 나오는 점수가 되었다.  “C”를 받는 학생은 내용을 전혀 못 이해하고 있다고 보아도 무방하고 SAT나 ACT를 봐도 성적은 하위권을 돌 것이 정해진 사실이다.

주위에 흔히 듣늘말

“열심히 해도 성적이 안 올라요”
“아무리 들여다 봐도 이해를 못하겠대요”
“하도 답답해서 공부하다 혼자 울어요”
“자기가 바보라고 자학적으로 말을해요”

다 기초가 약한 학생들 이야기다.  계단으로 하나씩 밟고 올라가면 아무리 높은 빌딩도 올라갈 수 있다.  아무리 낮은 빌딩도 한번에 뛰어 넘으려 하면 벽에 부딛혀 쓰러지는 결과밖에 안되는 것이고.

기초가 약한 학생이 필요한 부분을 속히 보충하지 않고 엉뚱한 부분에서 방황하며 고생하고 있는 것은 자신의 약점을 찾아내기가 어렵기 때문이다.  아무리 발음 안 좋은 사람도 자기 기분에는 근사한 영어를 구사하고 있다고 생각하듯이 기초약한 학생도 자기 기분에는 (뭐 좀 실수가 있을 뿐이지) 쓸만한 실력이라고 생각하며 계속 고전을 지속한다.  그래서 너무 늦을 때까지 “엄마 걱정 말아요. 나 혼자 할 수 있어요”라고 솔직한 기분을 진지하게 말하면서 점점 더 뒤로 처지는 것이다.

수학은 워낙 여러 가지 개념이 서로 보완하고 의지하며 쌓아 올라가는 학문이기 때문에 수학 개념의 의존도를 잘 파악하고 있는 선생님이 학생의 약점을 지적하고 그 부분을 체계적으로 복습시키는 것이 가장 효율적인 방법이다.  골프 스윙 잘 못하는 것 전문가에게 보이면 10분이면 교정할 것을 본인이 혼자 깨닫기 위해서는 몇 년이 걸리는 것과 마찬가지이다.  물론 혼자 노력하고 마침내 깨닫는 보람을 느끼는 것이 인생교육에 아주 중요하다.  콩 갈아 메주 빚어 간장만들어 가족요리 맛있게 하는 것만큼 중요하다고 하겠다.  이상적이지만 실천할 여유가 없는 현실이다.

학생이 열심히 하려는 마음이 있는데 공부에 비해 효과가 없다면 경험있는 수학 선생의 도움을 청해 쉬운 계단길로 올라가는 방법을 보여주는 것이 현명하다.  새로온 선생님이 현재 배우는 부분은 일단 접어두고 전에 배웠던 책으로 돌아가 설명을 시작하면서 학생에게 문제를 풀게 한다면 제대로 된 선생님을 만난 것이다.

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“제 아들 여태까지 수학에서 B 성적을 받은 적이 없습니다. 1등은 아니었지만 이전에 수학에 어려움을 겪은 적이 없어요.  그래서 지금 걱정이 되요.”
“그렇다면 학생이 Precalculus나 Calculus를 시작했는지 아십니까?”

6. 추상능력 (abstraction ability)

“지식보다 상상력이 더 중요하다.”
–알버트 아인슈타인–

정의대로라면 무한대는 우리의 이해 범위를 넘어선다. 많은 숫자를 무한대로 더하는 것은 전세계적으로 최첨단을 달리는 컴퓨터로도 실행할 수 없다. 그러나 앞으로 수천 년 동안 수퍼컴퓨터로도 할 수 없는 일을 학생들은 1분 안에 해내야 한다. 예를 들면, 시간의 끝까지 계속 이어지는 다음과 같은 덧셈의 합은 무엇인가

그리고 우주 끝까지 한없이 계속 이어지는 다음과 같은 덧셈의 합은 무엇인가?

첫 번째 덧셈은 영원이 지나도록 끝까지 더해야지만 다 더하고 나면 1이라는 숫자가 나온다. 만약, 중간에 멈춘다면 이 덧셈은 1보다 작은 숫자가 나온다.  두 번째 덧셈의 경우 모든 숫자를 더하면 무한대가 나온다. 하지만 그 중간 어디에선가 멈춘다면 합은 무한대가 아닌 숫자가 나오고 영원히 더해야만 무한대로 간다.

우리는 이런 무한대 뒤의 결과를 어떻게 알 수 있을까? 이와 같은 덧셈 문제들은 슈퍼 컴퓨터로도 이 우주의 생애 안으로 끝낼 수 없기 때문에 직접 계산으로는 절대로 답을 구할 수 없다. (Mathematica와 같은 소프트웨어만이 이러한 문제들을 풀 수 있지만 덧셈을 해서 합을 구하지 않고 논리로 답을 얻는다.)

그렇다면 어떻게 감수성 예민한 고등학생의 연약한 두뇌로 이와 같은 계산을 하라고 하는가?

답은 바로 추상적인 사고 능력이다. (주: Abstraction을 직역하면 추상이지만 추리능력이라고 하는 것이 더 적절한 표현 같다) 우리의 두뇌는 무한대와 그 넘어서까지 상상할 수 있으며 추상 또는 “사고력”을 통해서 이와 같은 문제를 푼다.  그러나 이러한 “사고력”을 담당하는 두뇌는 숫자를 더하는 두뇌와 확실히 구분된다. 수학은 추상의 학문이지 계산의 학문이 아니다.  산수가 계산의 학문이다.  고급수학 교재를 보면 숫자는 점점 없어진다.  수학은 위로 올라갈수록 산수를 떠나 추상적인 학문이 된다.

Precalculus 및 Calculus의 개념은 이런 추상을 바탕으로 구축된 것이다. 이 단계에서 계산기는 무용해지며 이 과목들을 마스터하기 위해서는 “이해”를 하는 것이 유일한 방법이다.

바로 이 부분에서 암기식 학습이 통하지 않게 되고 수학공식을 암기하여 A 성적을 받은 학생들은 이 때부터 성적이 떨어지기 시작할 것이다. 이 수준이 되면 수학공식과 개념들이 너무 많아져서 더 이상 단순한 기억만으로는 감당하기 힘들어진다. 일관되고 통합적인 추상이 없으면 이 모든 수학공식, 이론, 방정식, 토픽 등은 서로 뒤섞여서 혼란만 가져온다. 수학적인 사고방식을 마스터해야지만 전체를 이해할 수 있으며 이 많은 공식과 이론들이 서로 보완해주기 시작해 한가지를 잊더라도 다른 공식이 대답을 주는 수준에 이르게 된다. 이처럼 통달한 상태에 이르지 않고서는 학생은 계속 수학의 암흑 속에서 헤매게 될 것이다.

“아직 Calculus를 시작하지 않았습니다. 내년에 배운다고 하더군요.”
“그렇다면 Precalculus를 배우고 있을 것입니다.”
“왜 수학성적이 떨어지고 있는지 아세요?”
“알 것 같습니다만 한번 학생과 얘기해 봐야겠습니다.”
“무엇이 문제인가요?”
“추상적인 사고방식이 구체적인 예로 연결이 되지 않고 있는 것 같습니다..”
“해결할 수 있는 문제인가요?”
“물론 가능하죠.  고등학교 수학은 의욕이 있는 학생이라면 누구나 다 마스터 할 수 있습니다.”

고등학교 수학에 나오는 모든 추상적인 개념은 모두 구체적인 예로 설명이 가능하다. 이 수준에서 수학을 잘 가르치는 선생이란 이 추상적 개념을 적절한 구체적인 예로 연결시켜주는 선생님이다.  제대로 배우는 학생의 반응은 “네 알겠습니다”가 아닌 “아하! 그렇게 보면 되는구나!”이다.  추상이 구체화가 될 때 안개가 걷히고 수학이라는 땅의 지형이 확실히 보이게 된다.  일단 지형이 보이면 더 이상 길을 외워서 걷는 것이 아니라 보고서 가게 되니 뛰어가도 돌아가도 혼동되지 않고 정확히 목적지에 갈 수 있는 것이다.  함정에 빠지는 일도 절대로 없다.  똑 같은 문제를 놓고 가장 쉬운 식으로 풀어버리는 마음의 여유까지 생기게 된다.  그리고 배우면 배울수록 길을 많이 알게 되는 것이니 모든 수학 문제가 점점 더 쉬워지고 푸는 방법도 다양해져 가장 빠른 지름길을 자유자재로 선택하는 여유까지 생기게 된다.  한마디로 수학에 도사가 되는 것이다.

이 지경까지 가는데는 좋은 선생님이 인도하는 것이 가장 효과적이다 못해 유일한 방법이다.  왕년에 우수한 수학자들 보면 다들 독학하고 깨우치고 했는데 그들은 미국에서 대입 준비하느라 운동, 음악, 봉사활동에 시간 다 보내고 짧은 시간내에 수학을 배워야 하는 환경에 살지 않았다.  팔방미인이 아니면 명문대 입학이 어려운 이 현실에 시간이 8배로 늘지 않는한 팔방미인이 된다는 것은 모든면을 팔분의 일 시간에 배워야 하는 것이다.  팔분의 일 시간에 모든 내용을 함축하고 연결시켜 팔분의 일 시간내에 “아하, 그렇구나!”하고 이해를 하도록 유도해주는 선생이 필요한 현실이다.

물론 이런 선생 찾는 것은 쉬운 일이 아니고 학교에서 운으로 이런 선생님 만나는 것은 더 어려운 일이다.  한가지 할 수 있는 방법은 학원이나 과외 선생님 여러명에게 배우도록 해 봐서 누가 더 속 시원하게 설명을 해 주는가를 기준으로 선택하는 것이다.  좋은 선생이란 학생으로금 “아하 그렇구나!”를 유도해내는 선생이다.  잘 가르친다는 소문만 믿지 말고 학생이 직접 배운후에 평가하도록 해야한다.

좋은 선생은 학생이 가장 잘 알아본다.