사비오 칼럼

기하의 증명이 왜 어려운가?

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처

많은 학생들이 기하 (geometry) 의 증명 (proof) 에 애로를 겪는다.

좀더 정확히 말하면 애로는 처음부터 있었지만 이번 어려움은 극복이 안되고 가중만 되고 있다는 것을 깨닫는 시기다.  한 챕터가 지나고 그 다음 챕터가 되어도 증명이 끝나기는 커녕 점점 복잡해지기만 한다.  교과서 끝쪽으로 넘겨봐도 그림은 점점 복잡해지면서 계속 증명하라는 소리는 끝나지를 않는다.

앞이 캄캄해진다. 

더욱이 무서운 것은 다른 학생은 다 척척 해내고 있는 것이다.  어떻게 하냐고 물어봐도 한결 같이 “쉽잖아? 뭐가 어려운데?” 하고 반문을 한다.  용기를 내서 어려운 문제를 물어보면 척척 풀어버리고는 왜 이런 간단한 것도 몰르냐는 표정으로 쳐다본다.  풀은 것은 이해를 하겠는데 어떻게 그 길은 선택했는지를 아무리 보아도 모르겠다.  혼자 바보가 되는 느낌을 평생 처음 겪어본다.  절망이다.

왜 수학을 잘 해오던 학생에게 이런 어려움이 닥칠 수가 있는가?

기하의 증명은 수학의 다른 부분과 전혀 다른 개념이다.  이는 공간 개념을 많이 사용하며 동시에 논리및 추리력을 요구한다.  앞으로 두뇌 연구가 발달하면 밝혀지겠지만 이 기하 증명하는 두뇌의 부분은 알제브라 하는 부분과 다르리라고 믿는다.  아마도 바둑둘 때 앞 수를 내다볼 때 사용하는 두뇌 부분과 더 가까우리라 믿는다.

간단히 말하면 증명이란 답을 구하는 것이 아니고 답을 알고 있으면서 왜 그 답이 맞는지를 주장하는 것이다.  많은 학생이 문제를 보고서는 증명의 결과가 당연한 소리라는 것을 전혀 느끼지도 못한 채 증명을 시작하려고 하는데 그래서 증명이 어려운 것이다.  예를 들어 정사각형을 대각선을 따라 자르면 똑같은 삼각형이 두개가 되는 것을 증명하라고 할 때 그 두 삼각형이 같은 모양이 될 수 밖에 없는 것이 지극히 당연하여 언급할 가치가 없다고 느낌이 와야 한다.  그래서 그 뻔한 소리가 왜 뻔한지 보여주는 것이 증명이다.

증명 능력에는 선천적이 요소가 아주 크게 작용한다.  어떤 학생은 기하 책 한 권을 몇 주 만에 끝낼 수 있다.  어떤 학생은 끝까지 이해를 못하고 만다.  그래서 한 반에서 기하를 가르치려면 아주 큰 실력 분포도가 당장에 생긴다.  시간이 갈수록 반은 뻔한소리 또 반복한다는 얼굴로 듣고 나머지 반은 무슨 소리인지 몰라 어리둥절하다.  여름 방학 때 같이 기하가 여러 반인 경우에는 이해하는 수준에 따라 반을 나누고 나누면 결국에 가장 이해를 못했던 반은 학기말 시험에 방학 동안 배운 것이 없었다는 것을 보여주고 만다.  가르친 사람으로는 뒤통수를 맞는 느낌이다.

이렇게 수업 결과에 흥망이 좌우되는 사설 학원도 제대로 못 가르치는 기하 증명을 학교에서는 어떻게 가르치나?  내가 있는 학군에서는 track 4 나 이하에는 증명을 거의 안 가르친다.  그냥 길이 각도 면적 같은 것 구하는 것 가르치고 증명은 조금 개념만 보이다 끝난다.  기하에 증명을 가르치지 않는다는 것이 내게는 충격적인 말이었는데 몇 번 손들고 나니까 이해가 간다.

이렇게 일부 학생에게는 쉽기만 하고 일부 학생에게는 어렵기만한 기하 증명을 어떻게 배우면 되는가?
혼자 배우는 것은 무리다.  작문과 마찬가지로 누군가가 읽어주고 틀린 부분을 고쳐 주어야 한다.  책과는 다른 방법으로 증명하더라도 논리가 맞으면 맞았다고 해 주는 사람이 필요하다.  학생이 틀린 논리를 제시하면 어디가 틀렸는지 지적해주는 사람이 있어야 한다.

그러니 기하 증명에 애로를 호소하는 학생이 있으면 기다리고 볼 일이 아니다.  즉시로 가정교사를 찾아 도움을 주어야 한다.  증명은 시간이 가면서 점점 어려워지기만 하고 제대로 못 배우고 넘어간 부분은 계속 등장해서 끝까지 학생을 괴롭힌다.  선생님을 구할 때도 수학 선생님을 구하지 말고 기하 증명을 가르칠 사람을 구한다고 해야 한다.   내 학원에 수학 선생님 중에도 기하 증명은 못 가르치겠다는 선생님이 있다.

상당이 앞날이 암담한 그림을 그렸는데 한가지 희망적인 면도 있다.  일단 증명이 무엇이라는 것을 한번 깨닫게 되면 갑자기 모든 문제가 쉬워지게 된다.  똑 같은 논리로 모든 증명을 하기 때문에 한번만 이해하면 기하의 모든 문제에 똑같이 적용이 되는 것이다. 

지금 기하를 배우는 학생에게는 너무 늦었지만 앞으로 배울 학생의 학부형님은 방학동안 조금이라도 미리 배워보도록 하여 증명을 쉽게 할 것인지 어려워 할 것인지를 알아보는 것이 안전하다.  쉽다면 여름을 즐기고 어렵다면 여름내 공부를 해 두는 것이 나중에 앞이 캄캄해지는 경우를 예방할 수 있다.