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Archive for the ‘계산기 calculator’ Category

SAT 1 과 계산기

SAT 1 과 계산기

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
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(질문이 있으시면 여기에 올려 주세요)

질문:

7학년 딸이 SAT시험을 보는데 수학문제 계산기 사용하지 않고 볼 수 있을 까요?  계산기 사용방법을 따로 배우지 않아서요. Sabio e-leaning에 계산기 (TI89) 배우는 강의는 SAT2 를 준비하는 학생에 도움이 되는 강의 같고, 제 딸아인 아직 수학의 깊이가 없는데 계산기 사용법 배우라고 등록하기도 좀 이상하고, 어떻게 해야 하나요?

답:

말씀하신대로 제 계산기 사용 코스는 SAT 2에 응시하는 고등학생에게만 유효합니다.  하지만 어떤 수준으로 사용할 줄 알건 SAT 시험에 계산기를 들고 가야 합니다.
https://i1.wp.com/dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gifACT 와 달라서 SAT 는 훈련이 되어 있으면 계산기가 없어도 한눈에 풀리는 수치를 즐겨 사용하는데 (예: 32×16) 그런 준비가 안 되어 있으면 계산기로라도 푸는 것이 손으로 푸느라 막혀 있는 것 보다 현명합니다.

계산기는 사용하던 것을 가져가는 것이 가장 무난하지만 혹시 삼각함수나 로가리즘 문제가 나올지 모르니 scientific calculator를 사용해야 합니다.   SAT 2와 달라 SAT 1에는 수학을 몰라도 계산기로 답을 맞출 수 있는 문제가 많지 않습니다.  즉, 계산기의 사용법을 알고 모르고가 수십점을 좌우하지 않습니다.

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SAT 2 Math 의 TI89/Nspire 계산기 허용제도의 모순

SAT 2 Math 의 TI89/Nspire 계산기 허용제도의 모순

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
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주1: 다음 글은 제가 다년간의 AMC의 기출 문제 해설 강의를 만들고 SAT 2 (Subject Test)를 20번 직접 응시하면 직접 체험한 점에 근거한 의견입니다. 20번을 응시하면 문제 은행에서 같은 문제가 재출제 되는 것까지 보게 되어 시험의 경향을 완전히 알게 되었습니다..

주2: 아래 글의 TI89를 TI-Nspire로 간주하셔도 됩니다

시험에 계산기 사용을 허락해도 계산기를 무용지물로 만드는 문제를 출제하여 학생의 수학 능력을 측정할 수 있는 방법은 얼마든지 있었다.  한데 계산기 테크놀로지의 눈부신 발전으로 계산기가 풀 수 없는 문제를 출제하는 것이 점점 어려워져 몇년전 부터 AMC(미국수학경시대회)는 백기를 들고 계산기 사용을 금지해 버렸다.  주 이유는 계산기로 프로그램 할 수 있게 되었기 때문이다.  연산을 위해 계산을 하는 학생에게는 계산기로 풀 수 없는 문제를 출제하는 것이 쉬운데 프로그램을 할 줄 아는 학생은 여차하면 brute force로 문제를 풀어버리기 때문에 그들을 당해내는 것이 거의 불가능하다.  예를 들어

1에서 1,000,000까지의 수 중에 제곱수는 몇 개가 있습니까?

라는 문제를 출제하면 수학을 이해하는 학생은 단번에 1,000 이라고 답을 내다.  하지만 계산기 프로그램할 줄 아는학생들은 원리를 이해 못해도 1,000,000개의 수의 제곱근을 일일이 계산하여 몇 경우에 정수가 나오는지를 센다.  이런 식으로 계산기가 답을 알아서 찾아내도록 시키는 학생에게는 계산기가 고생하는 문제가 있을 뿐 어려운 문제란 존재할 수 없다.  물론 이런 긴 계산은 계산기로도 몇 분이 걸리는데 계산기가 답을 찾고 있는 동안 학생은 다음 문제를 풀고 있으니 이런 학생의 정답은 수학능력이었는지 프로그래밍 능력이었는지 구별이 불가능하다.  AMC가 계산기 사용을 금지 시키면서 발표한 공식 설명도 계산기의 프로그램 능력이고 이를 사용할 줄 아는 일부 학생을이 누리는 특혜의 불공평이었다.

한데 SAT, ACT 그리고 SAT 2 수학 시험은 지금도 계산기를 허용한다.  수학의 도사를 대상으로 하는 시험도 아니고 일반 학생들을 대상으로 하는데 워낙 저학년부터 수학=계산기 라는 방정식 속에 수학을 배워온 학생들에게 대입의 문턱에서 갑자기 계산기 사용을 금지 시키면 이는 잔혹하게 뒤통수 치는 교육이 될 수 있고 또 학교의 수학 교수방법만 믿고 배워온 학생들을 탈락시키는 부조리한 제도로 낙인이 찍힐 수 있다.  따라서 현재의 교육 제도상 대중이 응시하는 수학 시험에서는 계산기를 허용하는 수 밖에 없다고 생각된다.

SAT, ACT, SAT2 시험 중 특히 SAT 2 수학 시험은 (SAT Subject Test) 수학 시험이 아닌 무슨 엔지니어링 시험처럼 모든 답을 소수로 답하게 하고 있다.  즉 x2=17라는 문제가 있으면 답은  가 아니라 ±4.12로 나온다.  그 뿐이 아니라 다른 답들은 ±4.24,  ±4.05 처럼 아주 근소한 차이를 보이는 수들을 열거하여 계산기로 두째자리 수 까지 계산해내지 않으면 안전하게 답을 구할 수가 없게 출제된다.  아무리 보아도 학생의 수학 능력을 측정하는 시험이 아니라 계산기 사용 능력을 측정하는 시험이다. 그리고 문제의 깊이도 얕아 거의 다 단번에 풀리는 문제만 출제된다.
https://i1.wp.com/dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gif그런 시험이 TI89 계산기의 사용을 허용하는 것이 터무니 없고 말도 되지 않는다.  Absurd 이다.  내가 이 시험의 경향을 완전히 파악하기 위해 20번 정도 직접 응시했는데 시험을 볼 때마다 “이 문제를 왜 머리를 사용해서 풀어 시간을 낭비해야 하나?  계산기가 더 빨리 푸는데?  어차피 머리를 사용해서 풀어도 또다시 계산기에 입력하여 소숫점 수치를 계산해내도록 만드는데 아예 처음부터 다 계산기로 해 버리는 것이 빠르지?”하는 의문이 점점 강해져 점점 더 계산기로 풀기 시작하다 결국에는 50문제중 25문제 정도는 아무런 생각없이 계산기에 문제를 입력하여 답을 내게 되었다.  SAT 2 Math에서 25문제를 맞추면 그것만으로 이미 800점 만점에 640점 정도가 된다.

이렇게 계산기로 무너지는 문제들을 우선 싹 쓸어 버리고 나머지 시간에 생각을 요하는 문제를 풀면 덜 지치고 성적도 올라가는 것이 당연한 일이다.  또한 계산기로 풀어버리는 문제가 다 머리로 풀 수 있었던 쉬운 문제들이 아니다.  학생이 풀 줄 모르는 어려운 문제였어도, 배운 적이 없는 개념이어도 방정식만 성립되면 계산기가 알아서 해 주니까 방정식만 성립하면 되는 것이고 대부분의 문제는 아예 방정식 자체를 문제에서 주니 그 방정식을 입력하는 노고만 감수하면 정답을 얻는 보람찬 시험 응시가 되는 것이다.  그 방정식이 로그였는지 코사인었는지 2차 방정식이었는지 개의치 않아도 되는 것이 absurdity이다.  수학 시험이 아니라 계산기 문제 입력 능력 시험이다.

이렇게 말도 안되는 absurd한 시험제도보다 한층 더 absurd 한 것이 있는데 그것은 학생들이 TI89을 수험장에 들고 와서도 제대로 사용할 줄 모른다는 것이다.  TI89을 23×24를 계산하는 도구, sin(35°)를 계산하는 도구 정도로 사용하고 있지

 

같은 문제를 단번에 풀어버리는 컴퓨터로는 사용할 줄 모른다는 것이다.   또 하나의 기가막히면서도 당연한 현실은 수학을 못하는 학생은 계산기 사용도 제대로 못하는 것이다.  그래서 이 TI89 사용 허용은 결국 수학 점수를 뒤집어 놓거나 평준화 시키는 것이 아니라 점수의 양극화를 초래하고 만다.  어차피 잘 하는 학생은 모르는/어려운 문제까지도 계산기로 풀어버려 800점에 몰려있고 잘 못하는 학생은 이런 방법도 사용할 줄 몰라 저조한 점수에서 빠져나오지 못하고 있는 것이다.

누가 이 TI89 계산기 사용법 강의를 만들면 어떻게 될까?  TI89으로 SAT 2 Math문제를 푸는 방법을 설명한 책은 나와 있지만 그 책은 내가 읽어도 따라하기가 힘들어 도움이 되지 않는 공부 방법이다.  만약 누구나 보고 따라하며 배울 수 있는 강의가 나타난다면 그 때는 이 SAT 2 Math라는 시험이 변별력을 잃어버릴 것이라 생각된다.  그 때는 SAT 2 Math의 문제의 출제 방법을 바꾸거나 AMC 처럼 계산기를 사용하지 못하게 하거나 아니면 최소한 이 TI89이라는 막강한 기능의 계산기 사용을 금지시키게 될 것이라 생각된다.  어쩌면 이 TI89의 사용을 금지시키는 가장 신속한 방법은 이렇게 앉아서 불평하고 있는 것이 아니라 많은 학생들에게 사용 방법을 가르쳐 대부분의 응시자가 고득점하여 하루빨리 SAT 2 Math가 변별력을 잃도록 하는 것라고 생각한다.

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카테고리:계산기 calculator

어떤 계산기를 사용할 것인가?

어떤 계산기를 사용할 것인가?

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
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미국에서는 수학 교육에 계산기를 사용한다.  계산기를 사용하는 데서 오는 효과/부작용에 대한 의견은 전문가 사이에서도 팽팽하게 맞서고 있는데 나는 저학년 연산과정에서는 계산기 사용을 반대하고 고학년 개념을 이해하는 데는 제한적인 계산기로 답답하게 배울 것이 아니라 아예 Mathematica를 사용 해야 한다고 믿기 때문에 내 교육 이념 속에는 계산기가 들어갈 자리가 없다.

하지만 시험 중에 계산기를 사용해야 하는 시험이 있고 (SAT Subject Test, AP Calculus, AP Statistics) 학교 수업 중에도 계산기가 요구 사항이라면 사용하며 참여해야 한다.

내 개인적인 생각으로는TI (Texas Instruments) 사의계산기 보다 HP의 RPN Logic 계산기가 더 우월하다고 생각하는데 무슨 이유에서인지 미국의 모든 학교가TI를 선택하니 학생도 나도 꼼짝없이 지정하는 계산기를 사용해야 한다.

학교에서 사용하는데 가장 적절한 계산기는 당연히 선생님이 지정한 계산기 이다.  하지만 계산기를 선택할 수 있다면 TI Nspire CAS($127.98) 를 추천한다.  CX라는 호칭이 추가로 이름이 붙은 모델은 color 로 보여주는 기능을 가진 것인데 ($145.00) 나는color로 봐서 더 도움이 될 것은 하나도 없다는 의견이라 추천하지 않는다.   단, 가격 18불 차이이니 학생이 간절히 원하면 color로 구입 해도 해로울 것은 없다.

그 외에 여러 종류의 계산기를 접할 수 있는데 TI 84($108.08), TI 89 ($199.99), TI 89 Titanium ($135.30) 등은 학교에서 요구하는 경우에만 구입해야지 하야지 그렇지 않으면 한물간 technology를 더 비싸게 구입하는 결과가 될 수 있다.

Nspire 중에서도 CAS (Computer Algebra System) 기능이 없는 모델이 있는데 CAS는 고등 수학에 아주 유용한 필수 기능이기 때문에 반드시CAS가 이름에 등장하는지를 확인해야 한다.  단 CAS 를 사용하면 허무하게 풀려버리는 수학 문제가 대부분인지라 학교측에서 사용을 금지를 시킬 수도 있다.  그런 경우에는 학교측의 지침을 따라야 한다.

위에 열거한 모든 계산기SAT (1 and 2) 와 AP (Calculus, Statistics, Physics)에 사용할 있다.   SAT (1 and 2) 는 계산기 사용에 가장 관대한 시험이다.  ACT 는 약간 제한적이어서 TI 89과 Nspire를 사용할 수 없다.  한데 “여러시험 다 볼 수 있는 계산기로 하나만 선택하지” 하고 TI84를 구입하면 오산이다.  Nspire CAS 의 기능의 유용성을 고려하면 ACT시험 응시 이유 하나로 다른 계산기를 선택해서는 안된다.  Nspire CAS를 사용하다 ACT 시험 보는 날만 계산기를 하나 빌려 가는 것이 더 현명하다.

https://i1.wp.com/dl.dropbox.com/u/6378458/Column/Info/Korean/SpecialEvents/SpecialEvents.gifAMC나 AIME등 수학 경시대회에서는 어떤 계산기도 사용할 수 없다.  Nspire CAS 같은 계산기가 풀 수 있는 문제가 늘었기 때문이다.  계산기 사용이 가능한 유일한 수학경시대회는 USAMTS뿐이다.

여러 시험 중 Nspire CAS 계산기 사용 실력으로만 점수가 가장 크게 좌우될 수 있는 시험이 SAT Subject Test Math 이다.  기출 문제가 공개되지 않는 이 시험을 내가 이 시험을 20회 정도 직접 응시하며 분석했는데 문제를 이해 못해도 Nspire CAS에 문제를 고스란히 입력만 시키면 풀리는 문제가 30%정도였다.  Nspire CAS 사용이 합법이라는 사실이 믿어지지 않는다.

한데 계산기로 인해 SAT 2 Math의 성적이 부풀러 오르거나 학생의 순위가 바꾸지 않는 이유는 계산기 사용 실력에도 마태효과가 현상을 보이고 있기 때문이다.  즉 수학을 잘 하는 학생은 계산기도 잘 다루어 성적을 더 올리고 수학에 약한 학생은 계산기 사용도 서투르기 때문에 Nspire CAS는 학생간의 차이를 더 벌려놓을 뿐 서열을 바꾸지는 않는다.

SAT 2 Math 시험이 며칠 앞으로 닥친 학생은 수학을 배우는 것 보다 Nspire CAS에 수학 문제 입력을 배우는 것이 더 유리하지 않을까 하고 생각할 수 있는데 맞는 결론이다.  나도 그렇게 생각해 계산기 사용법 코스를 만들어 가르쳐 보았는데 예상대로 어떤 단기 수학 수업보다 효과적이다.  이런 시험 부정에 필적하는 성적 향상 법이 합법이라는 것이 이해가 가지 않는데 점수 올리기 위해 애쓰는 학생들이 Nspire CAS 십분 활용하는 방법에는 무관심 한 것이 더 이해가 가지 않는 일이다.

수학을 모르더라도 계산기로 풀 수 있는 SAT Subject Test의 문제 유형을 여기에 모았다.  학생이 이 문제를 모두 계산기로 푸는 방법을 아직 모른다면 이 코스가 큰 도움이 될 것이다.

(이 코스는 아직 Nspire 버젼을 만들지 못했습니다.  뉴스레터에 SAT Subject Test Math를 관심분야로 표기해 주시면 완성되는 대로 연락 드리겠습니다.)

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