아카이브
대학 수학 전공에 대해
By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처
수학을 보는 견해는 크게 두가지인데 하나는 수학을 도구로 보는 것이고 다른 하나는 수학을 목표로 생각합니다.
봉 사활동으로 비교하자면 대학 가기 위한 도구로 봉사활동을 사용하는 학생이 있고 봉사활동에서 만족/기쁨을 느껴 하는 학생이 있습니다. 수학도 마찬가지로 수학을 하나의 도구로 보는 사람이 있고 (물리, 공학) 수학 자체를 학문으로 보는 사람이 있습니다(수학자). 수학을 목표로 하는 사람은 연구하는 수학이 어디에 응용되는지에 관심이 없습니다. 수학 자체가 재미 있어서 수학을 합니다. 즉, 봉사활동 기록을 어디에 사용할지, 그런 봉사가 다른 사람 눈에 어떻게 비치는지 천국가는데 도움이 되는지 등의 계산이 전혀 없이 봉사자체에 기쁨을 느끼는 사람에 해당 됩니다.
저는 수학을 도구로 보는 사람입니다. 유용하지 않으면 여유있는 사람들이 즐기는 신선노름으로 간주합니다. 따라서 제가 드리는 수학 전공에 대한 의견은 참된 수학자가 하는 조언과 아주 다를 수 있습니다. 그러니 제 말만 믿지 마시고 수학자의 의견도 반드시 듣도록 하세요.
수학은 점점 어려워집니다. 현재 대학 1학년이고 USAMO같은 경시대회에 출전한 적이 없으면 앞으로 배울 수학이 어떤 것인지 짐작도 못하고 있기 쉽습니다. 현재 Calculus를 하고 있거나 Differential Equation을 배우고 있다면 그 수학은 수학 전공이 배우는 수학이 아닙니다.
순수 수학은 점점 올라가면서 점점 추상적으로 되어가면서 어려워지고 동시에 그 어렵게 배운 지식을 사용할 곳은 점점 사라집니다. 신문에 보면 체스나 바둑 문제들 나오지 않습니까? “3수로 왕을 잡아라” 내지는 “흑이 살아나도록 해라” 같은 문제들. 마치 그런 문제 풀고 있는 기분이 되고 일상생활, 커리어에 (수학 교수가 되지 않는 한) 그 문제 정도로 실용성이 있습니다.
물론 어떤 수학이건 언젠가는 유용하게 된다고 하는데 맞는 말이지만 우리가 다 죽고 난 후에 일어날 일이니 전공 선택에 고려할 점은 아닙니다. 이런 순수 수학을 하는 사람은 마치 체스 문제 푸는 것 같은 기분의 문제를 접하고 생각하고 푸는 것 자체을 즐겨야 합니다. 그래야 대학 신입생 1000명중 100명이 대학원까지 진학 해서 10명이 박사학위 받고 1명이 교수가 되는 좁은 문을 통과할 의지와 의욕도 있어야 합니다.
응용수학은 더 용도가 많은데 응용 수학을 잘 할 수 있으면 아예 전공부터 응용을 하는 것이 더 현명하다고 생각합니다. 즉, 수학을 많이 사용하는 물리나 공학을 선택하여 자신있는 수학 실력을 바탕으로 응용력까지 갖추는 것이 유리하다고 생각합니다. 순수 수학은 AIME도 아닌 USAMO의 문제를 접하는 것을 즐기는 학생이 해야 가장 유익하고 커리어도 잘 전개될 가능성이 있습니다. 지금이라도 USAMO 기출 문제를 보고 이런 문제를 접하는 것을 커리어로 정하고 싶은가 생각해 보라고 하세요.
저는 대학 진학시 수학을 전공할 생각이 없었습니다. 학자금은 4년동안 나오게 되어 있었는데 제 물리전공은 3년만에 끝나 졸업을 하게 되었습니다.. 남은 1년분의 학자금을 사용하지 않고 반환하여 다른 학생이 혜택을 받은 것을 생각하니 배가 아파서 참을 수가 없어서 잔머리 굴려 수학도 전공한다고 나서서 수학 학위도 받게 되는 바람에 1년 더 공부하며 수학 학위도 생겼습니다. 조금만 더 해서 두배의 성과로 부풀려 보일 수 있다는 판단에서 선택한 것입니다. 대학에서 물리에 필요한 수학만 해도 수학 전공을 위해 필수 과목의 근 80%는 끝나게 되는데 1년동안 수학 학위받기 위해 팔자에 없던 Analysis나 Modern Algebra를 수강하며 느낀 것은 “수학이 아니라 멋대로 규정을 정하고 그 규정하에 어떤 것이 가능한가를 연구하는 즉 무슨 체스같은 게임 배우는 것 같다”였습니다. 저는 그런 과정을 즐기지 않았습니다. 마치 요상한 경제와 정치제도를 가진 먼 나라의 선거에 출마한 후보가 그 나라의 요상한 투표자의 관심을 얻기 위해 열띤 공방을 벌리고 있는 것을 보는 느낌이었습니다. 제 개인 적으로는 그런 수학 문제의 해결 방법이 궁금하지도 않고 문제를 풀어도 기분이 덤덤했습니다. 물리는 그에 따른 결과를 보거나 상상할 수 있어서 희열을 느꼈는데 말이죠. 그래서 수학은 너무 추상적이라 더 이상 공부하고 싶지 않았고 물리는 좋아하지만 제 두뇌가 석사학위 수준의 물리를 감당 못하겠다고 판단이 되어서 Electrical Engineering & Computer Science 로 대학원에 진학 했습니다.
제가 조언 한다면 USAMO 문제를 푸는 것을 즐기면 수학을 전공하고 그렇지는 않으면서 수학을 잘 한다면 전기공학, 기계공학, 물리를 추천하겠습니다. 아니면 통계학을 추천하겠습니다.
아주 간략한 수학과학 경시대회 총정리
By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처
수학경시대회
AMC 10/12 -> AIME -> USAMO 경시대회만 중요합니다. 국제 수학대회에서 미국 대표를 뽑는 경시대회는 이것 뿐입니다. 나머지 여러가지 수학경시대회는 AMC/AIME 준비를 하면 저절로 준비가 되니 따로 신경쓰시지 않아도 되고 출전하라고 하면 가서 시험보고 오면 됩니다.
과학경시대회
Intel STS, Intel ISEF, Siemens 만 중요합니다. 이 세가지라고 하여 세가지 준비를 하는 것이 아닙니다. 같은 연구로 재탕하여 세군데서 다 수상할 수 있고 다른 과학 경시대회에도 같은 연구를 포장하여 제출하면 됩니다.
Google Science Fair 입상자 소개
By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처
이 비디오는 Google Science Fair의 입상자들이 자신의 연구를 설명하는 장면입니다.
두가지 유의하여 보실 것은
1. 세명 중에 한명도 불필요한 “like”를 사용하지 않는다는 것입니다. 어떤 인터뷰에 가서나 “like”를 남발하면 멍청하게 보여 감점을 받습니다. 이런 식으로 말하는 것이 전형적인 like를 남발하는 좋은 예 입니다.
한데 “like” 사용하지 말라고 주의를 주이 효과를 얻지 못하는 것이 학생들 사이에서는 심지어는 학교의 선생님조차 이 “like”의 감점 효과를 모르고 있습니다. 제가 parents night 에 갔다가 선생님들이 like를 남발하는 것을 보고 “아, 선생님부터가 이렇게 말하는구나”하고 깨달았습니다. 큰 문제는 한번 이런 식으로 말투를 배우고 나면 나중에 고치기가 어려워지는 것이죠.
2. 학생이 연구하고 싶은 주제가 있어 주위의 200여군데 실험실에 email을 보냈더니 한군데서 답이 왔다고 합니다. “역시 뜻이 있는길에 수가 생기는구나”하고 생각하실지 모르지만 이들은 실험실에서 답이 하나라도 왔기 때문에 여기에 출연한 것이고 대부분의 경우는 하나의 답도 오지 않았고 물론 출천할 기회도 오지 않았습니다. 그러니 이런 비디오를 보시면서 “하늘이 무너져도 솟아날 구멍이 있구나” 하시며 근거없는 자신감을 가지실 것이 아니라 (복권 담청자 보면서 “나도 할 수 있다”라고 주먹을 불끈 쥐는 것과 다를 바가 없습니다) “몇 천명이 기회를 못 찾아 묻히고 말았는데 내 아이는 어떻게 하면 몇 천분의 일 기회가 오도록 할 수 있을까?”하고 생각하셔야 합니다.
위의 두가지 해결을 할 수 있는데
1번의 경우는 학생 자신이 like를 사용하는 것에 대해 수치스럽게 생각해야 합니다. 하지만 이미 친구, 선생님 모두 다 like 를 애용하는 사람 속에 굳건한 뿌리를 내리고 있고 가르치는 선생님 중에 아무도 지적해 주지 않으면 수정될 가능성은 희박합니다. 이런 큰 상을 받은 학생들이 발표할 때 주의해서 보면 한결같이 다 조리있고 like가 없는 연설을 하는 것은 1. 이정도 수준으로 지도를 해 주는 사람이 옆에 있으면 그들이 말하는 방법도 멘토해 주었기 때문이거나 2. Like 남발하는 학생은 심사절차에서 멍청하게 보여 낙방했기 때문입니다. 어느쪽인지 모르겠는데 Intel, Siemens등 입상자 인터뷰를 보세요. 어찌나 똘똘하고 조리가 있는지 미국에 몇명 없는 like를 사용하지 않는 학생을 모아 놓은 인상을 줍니다. 이들이 심사를 위해 대사를 외워서가 아닙니다. 경시대회 때 심사를 해 보아도 like 한번도 사용하지 않고 모든 질문을 다 답하는 학생이 있습니다.
2번의 경우는 준비를 아예 다르게 해야 합니다. 실험주제 정해놓고 그제서야 받아줄 실험실을 찾는 것은 무모한 일이고 미리 처음부터 치밀한 계획으로 승산을 올려야 합니다. 예를 들어 박군은 고등학교 10학년 학생인데 Stanford의 실험실 세군데 intern 하고 싶다고 email을 보냈더니 세군데서 모두 당장 답이와서 인터뷰를 했을 뿐 아니라 인터뷰 마다 마지막 질문이 “언제 시작할 수 있냐?”였어서 세군데 중 자신이 원하는 곳을 선택해서 갔습니다. 지금 박군은 대우와 연구 조건과 자신의 관심이 가장 잘 연결되는 실험실을 선택하여 교수의 지도하에 자신의 실험을 진행하고 있고 이 실험의 결과가 나오면 과학경시대회는 물론 연구논문에도 이름을 올릴 수 있는 위치에 있습니다. 어떻게 하면 200군데 보내도 답이 하나 올까 말까하는 학생이 되고 어떻게 하면 Stanford 대학 연구실마다 환영하는 고등학생 10학년이 될까요? 박군의 준비 과정을 조만간 여러분께 뉴스레터로 상세한 이야기를 보내드리겠습니다.
다시 Google Science Fair로 돌아가서
저는 이 대회의 심사를 한 것도 아니어서 내부 내용을 전혀 모릅니다. 한데 입상자의 논문을 보니 “Google이라 좀 다를까?”하고 기대했던 것은 어긋나고 역시 든든한 “빽”이 있어야 가능한 석사/박사 논문 수준의 연구를 입상자로 선택 했네요. 그러니 모든 과학 경시대회에서 고등학생이 아무의 도움도 없이 기발난 아이디어과 비상한 두뇌만으로 하는 연구는 3, 4등에 입상은 할 수 있어도 최고상은 할 수 없다는 아무데도 써 있지 않은 심사기준이 그대로 적용되는 느낌입니다.
어린 학생용 무료 9×9 바둑 프로그램
By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처
전에 어린 학생에게 수학을 가르치려면 산수 뿐이 아니라 바둑을 가르쳐서 논리를 가르치겠다는 글을 쓴 적이 있다. 한데 그 글을 읽고 어디서 누구와 바둑을 두도록 하냐는 질문을 하신 분에게 내게 할 말이 없었다. 대체 어디서 바둑 두는 사람을 찾는다는 말인가? 무슨 구름 잡는 소리인가?
구름을 잡았다. 무료 바둑 프로그램을 찾았다.
나는 어린이에게 바둑을 가르쳐본 적이 없다. 단지 내 자신이 어렸을 때 배웠을 뿐이다. 내 자신은 초등학교 3학년이나 5학년 그 때쯤 바둑을 배운 것 같다. 결코 잘 두는 것은 아닌데 그래도 바둑을 통해 너무 안전하게 살아도 너무 위험하게 살아도 이기지 못한다는 것을 일찌감치 터득했다.
바둑은 깊이 생각하고 신중하게 두면 세시간 쉽게 간다. 빨리 두어봐야 한 시간이다. 이렇게 시간이 걸리니 인내심도 늘고 여러 수를 내다보며 기억력도 사고력도 느는 것인데 어린 학생들에게 이 긴 게임을 가르치려면 약간 무리가 온다. 내 자신도 내가 어려워 하는 사촌 형들에게 배웠으니 만만한 사람이 가르쳐 주었으면 비비틀었을 것같다.
그 당시에 존재했는지 모르겠는데 요즘은 원 19줄 바둑이 아닌 9줄 바둑을 둔다. 아직 한번도 두어본 적이 없어서 어린 학생 가르치는데 도움 되지 않을까 짐작만 하고 있었는데 우연히 9줄짜리 무료 바둑 프로그램이 있는 것을 찾았다.
몇 번 (실은 수 십번) 두어 보았는데 어린 학생들 가르치기에 아주 적합하다는 결론에 도달했다. 우선 시간이 3분에서 5분 정도라 결과가 빨리 나와서 좋다. 예를 들어 초반에 포석이 안 좋으면 나중에 어떤 결과가 온다는 것이 5분 내에 알게 되니 배우는데 큰 도움이 된다. 또 한 시간 내에 여러 게임을 할 수 있기 때문에 여러 작전을 시도해 볼 수 있기도 하다. 내 자신도 게임이 빨리 끝나는 싸이클 덕분에 짧은 며칠간 참 많이 배웠다. 이제는 내가 백을 잡아도 공제 없이 이긴다. 처음에는 흑을 잡아야만 이길 수 있었는데 단 몇 시간 사이에 백으로도 이기는 수준이 된 것이다. 꼭 NextMath 로 착-착-착-착- 바둑 테크닉을 배우는 기분이다.
이 바둑 프로그램을 다운로드 하기 위해서 여기 클릭. 이 프로그램은 이 서버에서 오는 것인데 http://www.smart-games.com/igowin.html 내가 가진 Norton Anti-virus 가 문제 발견을 못한 프로그램이라 나는 안심하고 설치 했다. Windows 용이라 Mac 이나 Linux에는 사용 못한다.
19줄 바둑은 약 4.63×10170가지 게임이 가능하다고 추정된다. (자료 출처 클릭) 그에 비해 체스는 1043 게임이 가능하다 (자료 출처 클릭) 즉 체스에 비해 바둑은 일에 영이 127 개 붙어있는 숫자를 곱한 만큼 더 가능성이 많다는 결론이다. 그래서 체스는 컴퓨터가 세계 챔피언이지만 바둑은 아직도 사람이 챔피언이다. 바둑 프로그램은 아직도 단급에 도달하지 못하고 있다.
컴퓨터도 감당 못하게 복잡한 전략 게임이지만 규칙은 체스보다 훨~씬 간단하다. (바둑 규칙 클릭) 규칙 다 읽고 이해하려 하지 말고 웬만큼 알겠으면 컴퓨터의 무한대 인내심을 최대한으로 활용하서 덮어놓고 게임을 두기 시작해서 컴퓨터가 뭔가 반칙 같은 수를 두면 다시 규칙을 들여다 보면서 이해하는 것이 즐겁게 배우는 방법이 될 것 같다.
ISEF에서 만난 학부모/심사위원
By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처
ISEF의 심사위원은 둘로 나누어지는데 하나는 Grand Judge라 하여 ISEF의 공식 입상을 정하는 심사위원이고 다른 하나는 Special Award Judge라 하여 각 회사 또는 공공기관에서 나와 자신의 사업이나 기관에 관련이 된 연구를 대상으로 자비로 상을 주고 뛰어난 연구가 있으면 학생을 인턴쉽 같은 기회를 주어 스카우트를 해 가게 됩니다.
저는 Grand Judge로 공식 입상을 심사했는데 이 Grand Judge는 화요일 오후 내내 이 대회의 원래 취지대로 입상자를 뽑도록 훈련을 받습니다. 그 훈련을 받기 위해 줄을 서 있는데 바로 앞에 서 계시는 다른 Grand Judge가 제게 말을 걸어 이런 저런 말을 나누게 되었습니다. 그 분은 정신과 의사라고 자신을 소개했고 저는 수학 선생이라고 자신을 소개했는데 타 주에서 오신 이 백인 여의사가 제 학원의 이름을 기억하는 것입니다. 이야기를 나누어 보니 아들이 제 강의를 가지고 AMC 공부를 했다는 것입니다. 세상 참 좁지요. 그래서 갑자기 제가 그분에게 믿을 만한 잘 아는 사람으로 둔갑이 되어 줄에 서 있으며 이런저런 이야기를 나누게 되었는데 그렇게 해서 그 아들은 USAMO에 진출을 했다는 것입니다. State가 작아 출전 하기가 쉬웠다고 겸손해 하셨지만 그 분의 큰 아들은 USAMO도 나갔고 인텔 과학경시대회(STS)에도 finalist가 되었었고 지금은 하버드 재학 중이라고 합니다.
이 학부모님은 미국의 수학경시대회제도 과학 경시대회제도에 대해 저만큼이나 잘 알고 계실 뿐 아니라 이런 과학 경진대회 심사까지 직접 하고 계시니 누가 이 분의 자제분들을 당하겠습니까? 세상 참 불공평하지요. 한데 이런 쟁쟁한 학부모님이 저보고 이번 여름에 타주의 학생을 받은 프로그램을 위한 과학 연구 프로그램을 할 것이냐고 지대한 관심을 보이시며 제 명함까지 받아가시니 상대방의 기분을 배려하는 외교능력이 뛰어나시거나 아니면 제가 그런 수준의 학생을 맡길 수 있는 교사로 보였든지 둘 중에 하나인 것 같습니다.
Reno에는 영재 중 영재만 가르치는 학교가 있습니다. 이 학교는 ISEF에 와서도 booth를 가지고 홍보를 하고 있었습니다. 이 학교는 Reno에 거주하는 학생들만 받는데 제 학생 중 두 명도 이 학교에 재학 중입니다. 저와 같이 computer science를 심사한 한 심사관 한분은 자제분들을 이 학교에 보내기 위해 부인은 Reno에 거주하고 자신은 다른 도시에서 일하신답니다. 즉, 미국인들도 미국 내에서 교육을 위해 기러기 가족을 하는 것입니다. (자제분이 제 강의로 공부했는지는 물어보지 않았습니다.) 그 분의 말씀에 의하면 이 학교의 학부모님 중에는 그렇게 부부가 다른 도시에서 사는 흔히 경우가 있다는 것입니다. 그렇게 해서라도 자제분들이 최고의 교육을 받도록 하며 자신이 과학자/연구원인 부모가 이런 경시대회에서 심사위원까지 하며 내용과 절차를 파악하고 있으니 인텔 과학경시대회 입상자 부모가 다 과학자, 교수인것이 더 확실히 이해가 됩니다. ISEF 에 출전한 학생들도 “아이디어를 어디에서 얻었는가?”라는 질문에 자신의 부모중 하나가 그 분야에서 일하고 있다는 경우가 흔했습니다. 다른 교수의 이름을 대는 경우도 많지만 아마도 대부분 부모의 친구나 친구의 친구들일 것입니다.
이민온 학부모님들은 자제분의 SAT 학원 선정이 교육의 관건이라고 생각하시지만 미국 주류사회에서 최고로 달리고 있는 학부모는 이렇게 차원이 다른 교육을 하고 있다는 것을 볼 수가 있었습니다.
사비오 칼럼 