과학경시대회를 위한 수학연구 주제 소개
By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처
(이 글의 영어 버젼)
질문: 과학경시대회에 수학분야도 있나요?
예. 모든 과학 경시대회를 보면 category중에 하나가 수학입니다. 과학경시대회에 출전하는 수학과 수학경시대회에 출전하는 수학은 다를까요? 예, 아주 다릅니다. 하지만 공통된 점도 많습니다. 수학경시대회 준비 훈련을 받은 학생들이 과학경시대회의 수학을 잘 할 가능성이 가장 높음으로 저는 수학경시대회 학생에게 과학 경시대회에 도전하는 것을 권합니다.
수학이란, 컴퓨터 사이언스나 유전자학에 비하면, 오래된 학문이고 역대로 천재들이 꼼꼼히 구석구석까지 다 연구해온 학문이라 쉬운 문제란 다 해결이 된 상태의 학문입니다. 따라서 하루 오후의 한가한 몽상으로 떠올릴 수 있는 기발난 아이디어는 이미 다 떠올랐고 교과서에 나와 있습니다.
하지만 이제는 새로운 도구가 생겼습니다. 수학에 컴퓨터를 사용하기 시작하는 것은 걸어 다니던 탐험가에게 헬리콥터를 제공하는 것과 마찬가지입니다. 전에는 엄두를 낼 수 없었던 멀고 높은 곳에 가 볼 수 있게 되지요.
질문: 실험수학이란 무엇입니까?
이런 컴퓨터의 힘으로 수의 세계를 탐험하는 수학의 새로운 분야를 실험수학이라고 부릅니다. 이 분야가 exciting한 이유는 비교적 새로운 분야이기 때문에 중고등학생도 기발난 아이디어를 생각해 내거나 프로들이 발견 못한 현상을 찾아낼 기회가 있기 때문입니다.
고등학생의 지식과 두뇌로 수학의 연구에 공헌을 한다는 것은 거의 불가능합니다. 하지만 컴퓨터를 사용하면 기존 문제를 해결하지는 못해도 새로운 문제를 창조해낼 수 있습니다. 즉, 몇 십년 몇 백년동안 답을 찾지 못한 수 많은 문제 들이 신 세대의 천재가 나타나 증명을 하여 해결해 줄 것을 기다리고 있지만 해결같은 것은 어려워서 못하고 대신 미래의 천재가 풀어야 할 문제만 더 쌓아놓는데 공헌할 수 있는 것입니다. (“내가 이런 어려운 문제를 만들어 놓지 않았다면 천재가 무슨수로 천재임을 증명했겠나… 다 내덕분에 천재도 있는거다….” 라고 주제에 큰소리 할 수 있습니다.)
상당히 수학적으로 무책임한 행동이 되는데 실은 이런 수의 성질, 수의 세계에서 일어나는 현상을 발견하는 것이 수학입니다. (식당에 팁 계산하는 것은 산수입니다.) 그래서 이런 증명 못하는 문제를 발견하는 것으로 과학경시대회에서 입상까지 하게 됩니다. 과학에서 설명을 못 하더라도 현상을 발견하고 발견한 것이 무엇인지 연구하는 것 만으로도 과학자로 추앙 받는 것과 마찬가지입니다. (마담 큐리는 방사능을 발견 했지만 왜 발생하는지 몰랐습니다.)
질문: 어떤 주제를 연구할 수 있습니까?
한데 이 연습문제는 연습문제이지 연구주제가 아닙니다. 연구주제를 찾는다면 Research Experience for All Learners 라는 책을 권합니다. 이 책의 대상은 대학생이지만 과학경시대회에 출전하는 학생은 이미 고등학교 수준의 연구를 하는 학생들이 아니라 이 수준이 적절합니다. 이 책은 제가 생각했던 모든 실험수학의 주제를 이미 다 포함하고 있을 뿐 아니라 제가 상상도 못했던 주제도 수록되어 있는 아이디어의 샘(fountain)입니다. 특히 각 주제마다 끝에 “Further Directions for Undergraduate Research”라고 된 부분에 나온 문제는 깊이 파고 들어가면 과학경시대회 수학분야의 입상감이 되는 정답은 없고 궁금증만 더 깊어지는 심오한 연구주제 입니다.
질문: 어디서 시작해야 할까요?
어떤 식으로 연구를 시작해야 할까요? Experimental Mathematics 는 반드시 컴퓨터와 컴퓨터 언어를 사용합니다. 예를 들어 원주율 π에 나오는 수 중에 더 많이 나오는 수가 있을까요? 아니면 0부터 9까지의 수가 골고루 나올까요? 같은 의문을 혼자 생각해 내어 연구를 할 수 있습니다. 어떤 컴퓨터에 어떤 언어를 사용해도 이 연구를 할 수 있습니다. 하지만 그 중 Mathematica 언어가 수학적 기능이 가장 뛰어나고 수학 분야의 모든 개념을 다 이미 이해하고 있기 때문에 가장 적절합니다.
질문: 이런 연구를 가르치는 코스도 있나요?
제가 아는 바로는 고등학교 정규과정은 없습니다. 제가 Sabio Academy Research에서 가르치는 SR100, SR110을 수료하면 Research Experience for All Learners 책에 나오는 모든 연구 주제와 각 주제 끝에 나오는 “Further Research”를 직접 시도할 수 있게 됩니다. 제가 가르치는 Mathematica 코스는 컴퓨터 프로그래머를 만드는 것이 아니라 과학연구를 실행하는 능력을 기르는데 중점을 두고 가르칩니다.
질문: 누가 이런 연구를 할 수 있을까요?
이 분야는 수학경시대회의 훈련을 받은 학생들이 과학경시대회까지 침범해 들어가 영예를 차지하는데 적격입니다. 소위 머리는 좋지만 게으른 학생에게도 이상적인 연구 주제가 됩니다. 연구소에 갈 필요도 없고, 실험도구 씻지 않아도 되고, 수퍼바이저도 없고, 장비도 필요 없고… 컴퓨터만 한대 있으면 됩니다. 그리고 학생은 좋은 아이디어를 떠오르기만 하면 되고 실제 일은 컴퓨터가 다 해 줍니다. 이보다 더 편한 활동은 없습니다.
질문: 멘토(지도교사)는 반드시 있어야 합니까?
이 런 연구는 물론 혼자 할 수 있지만 엉뚱한 방향으로 밀고가다 몇 달 시간 낭비를 하는 불상사가 없기 위해서, 그리고 학생 혼자 생각 못할 수준의 경지까지 도달하기 위해서는 멘토의 지도를 받는 것이 현명합니다. 멘토는 학생이 정한 연구 분야의 전문가야 합니다.
학생들 모두 재미있는 주제를 선택하여 좋은 결과 얻기를 기원합니다.
사비오 칼럼 