사비오 칼럼

SAT Math Subject Test Level 2 시험 보는 시기

Written on August 21, 2006

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처

SAT Math Subject Test Level 2 는 Trigonometry 와 Precalculus에서 고스란히 나오고 그 위에 공간 기하 두 세문제 통계학이 한 문제 나왔다 말았다 합니다.  따라서 Trigonometry와 Precalculus 를 다 배우자 마자 시험을 보는 것이 가장 유리합니다.  그리고 Trigonometry와 Precalculus를 배우면서 이미 SAT Subject Test 책을 사서 이 문제를 풀어가며 학교 진도를 나가는 것이 가장 현명합니다.

제가 늘 이렇게 같이 배워야 한다고 추천을 하지만 저는 아직 한번도 제가 추전하는 식으로 가르쳐 본 적이 없었습니다.  그럴 기회가 없었고 그럴 여유가 없었습니다.  대개 마지막에 급하게된 준비생들을 가르치거나 학교 공부가 급한 Trigonometry 나 Precalculus 학생을 가르치게 되어 이 두가지를 연결할 기회가 드물었고 또 이 두가지를 효율적으로 합하려면 상당한 교재 준비의 시간이 소요되어야 하기 때문입니다.  한마디로 시중에 나온 문제들 다 topic 별로 구분하여 그 topic 을 가르칠 때 교재의 일부로 사용해야 하는 것인데 한 1주일 꼬박 걸릴 일이라 엄두를 내지 못했습니다.  그동안 저희 학원이 SAT Math Subject Test Level 2 에서 만점자를 많이 배출했지만 다 Trigonometry 와 Precalculus 를 어디선가 잘 배워온 학생을 준비시켜서 가능했던 것이지 이 두가지가 약한 학생은 저도 어찌할 도리가 없었습니다.

한데 다음주 부터 제가 강조해오던 이 교육 방법을 드디어 실현하게 되었습니다.  저는 이 모든 SAT ACT 시험 준비가 교과과정에 들어가 이 시험 준비를 따로 시킬 필요가 없는 test preparation이 integrated 된 교육을 해야 한다고 앞에서 큰 소리를 우선 하고 뒤돌아서는 실천에 쩔쩔매었는데 이번에 그 첫 실천의 기회가 생긴 것입니다.  사실 그 동안 가르치는 수업이 많아서 다른 생각을 실천에 옮길 기회가 없었던 것이 주 이유였는데 이제 실력있는 선생님들이 제 수업을 맡아 주어 구상했던 것을 실천할 시간이 생겼습니다.
여름 내내 앞서서 Algebra2 를 배운 학생들은 이제 가을부터 Trigonometry와 Precalculus로 진도가 들어가게 되었습니다.  이 학생들은 다 학교보다 앞서있기 때문에 학교 공부를 따라가야 하는 압력이 없습니다.  그래서 이 반을 아예 SAT Math Subject Test 준비반으로 만들어 intensive 반은 14주  regular 반은 28주 동안 시험 준비를 하도록 만들었습니다.  시험 결과가 나오면 이 방법이 얼마나 주효했는지 알려 드리겠습니다.  다들 가을에 7학년에서 9학년 사이가 될 학생 들이고 학교에서 Algebra 1이나 Geometry를 배우기 때문에 이 SAT Subject Test의 결과는 성공도 실패도 전적으로 제 책임입니다.  내년 5월에 이 만점자 수장자 리스트에 8학년 9학년이 등장하기 시작하면 성공이었고 8학년 9학년이 등장하지 않으면 뭔가 수상한 것입니다.

다시 돌아가서 기본 Trigonometry와 Precalculus가 준비되지 않은 학생들 SAT Subject Test 를 가르치는 것은 불가능합니다.  이런 학생을 맡은 선생님은 말로는 SAT Subject 를 가르치고 있다고 하더라도 (그리고 어떤 면에서는 사실이지만) 실은 Trigonometry와 Precalculus 를 가르치고 있는 것입니다.  저도 그런 수업을 수 없이 했습니다.  이렇게 준비가 덜 된 학생들 SAT Subject Test 배우겠다고 8 수업 코스 등록을 해도 제대로 배우지 못합니다.  보시다 시피 제대로 다 배우는 데 근 30 수업이 걸리니까요.  학원에서 가르치는 단기 준비 코스는 이미 내용을 다 배운 학생들을 위해 정리를 해 주고 시간 절약하는 방법을 가르쳐주고 막힌 문제를 계산기로 풀어버리는 방법을 가르쳐 주는 코스입니다.  이런 코스는 반복해서 들어봐야 실질적인 효과가 없습니다.  차라리 그 시간에 Trigonometry와 Precalculus 를 배우는 것이 건설적이고 진보적이고 효과도 더 있을 것입니다.

한 가지 짚고 넘어가야 하는 것이 범위에는 있지만 별로 나오지 않는 통계와 공간 기하 입니다.  많아봐야 다 합해서 3문제 이상 나오지 않기 때문에 딴 것 다 맞고 이것만 다 틀리면 그래도 800점 만점을 받습니다.  공간기하나 통계학이나 방대한 내용이지만 이 시험에 나오는 내용은 극히 기본적이기 때문에 이 시험 수준에 맞도록 단기 공부를 할 수 있기는 한데 이는 다른 모든 것을 다 터득하고 시간이 남은 경우이고 아직도 Trigonometry와 Precalculus 가 확실치 않은 학생은 이 두가지를 정복하는데 주력을 하는 것이 더 현명합니다.

수학 경시대회의 문제 유형, SAT, 대입 준비 관계

Written on June 5, 2007

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처

수학 경시대회의 문제의 유형들은 학교의 수학 문제들과 전혀 달라 보입니다.  하지만 이것이 기호나 스타일의 차이가 아니라 깊이의 차이 입니다.  전문가들이 출제하는 Math Kangaroo 나 AMC같은 수학 경시대회에 나오는 문제를 풀지 못한다는 것은 암기 공부방식의 한계에 다달했다는 것입니다.  수학 경시대회의 다른 점은 두가지로 구분 될 수 있습니다.

1. 한가지 다른 유형은 관점을 다르게 묻는 문제입니다.

아주 극심한 비교를 하자면 위의 그림에 나오는 두 스푼입니다.  왼쪽의 스푼은 익숙해 있어서 누구나 노련하게 사용할 줄 알지만 수학적으로 오른쪽에 해당되는 스푼을 주면 “이것으로 어떻게 먹을 수 있지?” 하고 막히는 학생이 있는 것입니다.  수학 경시대회에 나오는 문제들은 학생들이 이렇게 익숙해 있는 개념도 다른 방법으로 물어보고 생각없이 기계적으로 손을 놀려 식사하던 학생들을 막히게 만듭니다.

수학적으로 제가 로그 문제를 간단하게 꼬아 보면 이렇게 됩니다.  자녀님중에 Algebra 2 를 끝낸 학생은 이 문제를 할 수 있어야 합니다.  못하더라도 실망하지 마세요.  학교 문제는 절대로 이렇게 안 나옵니다.  로그를 제대로 못 배운 학생은 이 문제 계산기를 사용하라고 해도 막힙니다.

x 명이 10kg의 아이스 크림을 균일한 크기로 나누어 먹으면 한명당 y kg 씩 돌아간다.      log (x) 가 0.477 이라면 log (y) 는 무엇인가?  log 는 base 10을 사용할 것.  계산기 사용 못함.  (If x people shared 10 pounds of ice cream equally, each one would get y pounds.  if log (x) equals 0.477, then what is log (y)?  Assume base 10 and you may not use a calculator.)

간단한 곱셈 문제도 경시대회 식으로 하지면 다음 문제와 같이 꼬아 집니다.  곱셈을 이해한다면 한눈에 답이 나오지만 기계적으로 배운 학생은 곱셈을 시작 합니다.

계산기 없이 다음 중의 어떤 수가 1,000,000 보다 작은가 찾으시오. 정답은 하나 뿐입니다.  (Without using a calculator, find which of the following numbers is less than a million?  There is only one correct answer.)

A 99 x 98 x 110   B 105 x 23 x 420   C 501 x 25 x 98    D 207 x 101 x 49   E 98 x 75 x 96

곱셈 문제 한가지 더 설명 하자면 Algebra 1 배운 학생이라면 ( x + y ) ( x – y ) = x² – y² 정도는 다 알아야 하고 이 문제를 한눈에 풀어야 합니다.  하지만 막히는 경우가 대부분입니다.

217×217 = 47089 이다.  계산기를 사용하지 말고 216×218을 구하라.

Knowing that 217×217 = 47089, find 216×218 without a calculator

수학에 소질이 있는 학생은 이 유형을 따로 배우지 않아도 혼자 터득해서 풀 수 있습니다.  아무준비 없이 경시대회에 나가 좋은 성적을 거두는 학생들은 이 유형을 풀어낸 것입니다.  이런 능력을 타고 나지 않았더라도 이런 유형의 문제를 보는 방법은 배울 수 있습니다.  제가 위에 즉흥 출제한 문제들 푸는 방법을 설명해 주면 모든 학생들이 다 한결같이 “아하!” 합니다.  (예를 들어 100x100x100=1,000,000 이니 세 숫자가 다 100보다 작으면 답은 자연히 1,000,000 보다 작습니다.  그래서 답은 E 입니다.  답은 하나뿐이라고 했기 때문에 나머지는 해 볼 필요도 없습니다.)  그리고 그 다음부터는 같은 유형은 척척 해낼 뿐 아니라 이런 스푼을 뒤집는 방법을 찾기 시작합니다.  그래서 훈련을 받으면 성적이 올라갑니다.

2. 또 한가지 다른 유형은 학교에서 가르치지 않는 수의 성질에 대한 지식을 사용하는 문제입니다.  예를 들어 다음의 문제는 power 2 의 성질을 알고 있으면 단번에 답이 나오고 모르면 일일이 다 더하는 수 밖에 없습니다.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 =

이는 관찰력이 있는 학생이면 보았을 수도 있는데 대개의 경우 무심코 넘어가고 맙니다.  어느 차를 사려고 관심을 가지면 그 때부터 길이 그 차로 가득찬 것 같이 보이듯 일단 이런 수의 성질을 배우고 나면 갑자기 그에 관한 문제가 많이 나타나기 시작 합니다.   그리고 그 때 부터는 같은 수의 성질에 관한 문제는 쉽게 풀수 있게 됩니다.  이런 수의 성질은 많지만 무한대는 아닙니다.  높은 수준의 수학 경시대회 준비를 배우게 되면 이런 수의 성질과 이론을 많이 배우게 되고 그 다음에는 그 이론을 어떻게 사용하게 되는가를 배우게 됩니다.  하지만 이론이 한 없이 있는 것이 아니기 때문에 어려운 문제는 여러 이론을 동시에 적용하여 난이도를 높인 문제가 됩니다.  이런 이론은 학교에서 가르치지 않습니다.  엔지니어링 쪽으로 수학을 공부하는 사람은 대학에 가도 이런 수의 성질을 배우지 않습니다.  그래서 이런 경시대회 훈련을 받아야지 대학교, 대학원 수학을 했다고 경시대회의 성적이 올라가지 않습니다.

경시대회에서 이런 유형의 문제를 출제 하는 것은 학생들의 문제를 푸는 능력을 보는 것이 아니라 문제의 주제를 파악하는 능력을 보기 때문입니다.  경시 대회 문제는 일단 패턴을 파악하고 나면 허무하게 무너집니다.  과장해서 비교하자면 대학원 수학 시험은 한시간동안 세 페이지 가득 풀어서 답을 내게 되지만 경시대회 문제는 한 시간 노려보다 세줄에 풀게 됩니다.

SAT 의 유형

SAT 시험은 희석된 수학 경시대회 문제라고 볼 수 있습니다.  위의 두가지 유형이 다 나오는데 수학 경시대회처럼 만점을 받지 못하도록 만든 시험이 아니기 때문에 훨씬 쉽습니다.  AMC 시험은 문제가 뒤로가며 점점 어려워 지는데 SAT 의 수준은 AMC의 전반에 나오는 쉬운 문제에 해당됩니다.  AMC 같은 시험에서 고득점 하는 학생들은 물론 SAT 수학 만점을 받습니다.   11학년에 되어서야 그 동안 A 만 받아온 학교 수학이 모자랐다는 것을 깨닫고 효과가 있는지 없는지도 모르는 강행군 반에 들어가 고생해서 수학을 싫어하게 만드느니 어려서부터 이 경시대회에 참여하여 경쟁해가며 SAT ACT 만점 보장 받고 동시에 참된 수학적 두뇌를 개발 시키는 것이 전략적으로나 교육적으로나 최선의 방법입니다.
ACT 는 수학 경시대회 문제 보다는 학교의 수학 문제에 가깝게 출제가 됩니다.  따라서 SAT 와 같은 “사용할 수없는 스푼을 주었다!” 라는 악명이 없는 것입니다.수학 경시대회로 두각을 나타내는 법

특히 수학을 잘 하는 학생, 수학을 즐기는 학생, 과학이나 엔지니어링 쪽으로 나가려는 학생은 학교에서 수학 A 받는 것만으로는 무의미 하고 AMC10이나 12를 잘 보아 최소한  AIME 에 초청을 받은 기록을 만들어야 사정관들의 눈에 띄게 됩니다.  AIME를 잘 보아 USAMO 까지 들어가면 지나가던 지원서를 훑어보던 사정관들의 눈이 다시 돌아와 확인을 할 것입니다.  USAMO에 참여했다는 것은 미 전국의 top 500 의 학생에 속했다는 뜻이니까 “나는 수학을 잘 한다”고 언급할 필요도 없습니다.  MIT 나 Caltech 같이 지원생의 대부분이 SAT 수학 만점을 들고 오는 공대는 AMC, AIME 성적을 기록 하도록 해 영재사이에서 수재를 가려 냅니다.

AMC 8은 2007년 11월 13일에  AMC 10과 12는 2008년 2월 12일에 개최 됩니다.  2007년 ~ 2008 년 AMC 정보  학 교의 수학 팀에 들어가 훈련을 받고 그 지역의 Math League에 참여 해서 많은 문제를 풀어보며 6학년 때부터 매년 응시해 점점 좋은 결과를 내시기 바랍니다.  학교 수학 팀에서 활약하며 경시대회에 참여하는 것이 무료로 SAT (1과 2 둘다) 수학 만점 보장하는 것입니다.

시카고 지역에서는 학교에서 이 경시대회를 볼 수 없는 학생들을 위해 제 학원이 AMC 8, AMC 10, AMC 12를 개최할 것입니다.  저희 학원에서 주최하는 AMC 는 모의 고사가 아닌 공식 시험으로 성적도 공식으로 인정 받습니다.

SAT 대신 ACT 를 보는 학생들의 유의점

Written on July 14, 2007

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처

SAT 대신에 ACT 만 보려는 학생은 다음의 점을 유의해야 합니다.

SAT 는 두가지 시험이 있습니다.   SAT Reasoning Test (SAT 1) 과 SAT Subject Test (SAT 2) 입니다.

ACT 는 SAT 1 (SAT Reasoning Test) 에 해당되어 SAT 1 대신 보는 시험입니다.  SAT Subject Test에 해당되는 ACT 시험은 없습니다.

• SAT Biology, Physics, Math Level 2 등 SAT Subject Test를 대학에서 요구하면 SAT Subject Test 를 보아야 합니다.  ACT 로 대치될 수 없습니다. 대학측에서 요구하지는 않고 권하기만 해도 선망의 대학입학에서는 경쟁자들이 다 이 성적을 들고 올 가능성이 높기 때문에 결국 좋은 성적을 얻어야 승산이 있습니다.
• Score Choice를 하는 대학이 아니면 SAT Subject Test (SAT 2) 성적을 보낼 따 SAT 1점수가 따라갑니다.  SAT 1 과 SAT 2 의 점수를 따로 구별해 보낼 방법이 없습니다.   따라서 SAT 1 시도하다 ACT 로 돌렸더라도 SAT 2 성적을 보낼 때 SAT 1 점수가 고스란히 노출 됩니다.  Score Choice가 아닌 대학에 지원하는 학생이 SAT 2 성적을 보내며 SAT 1 성적을 노출 시키지 않는 유일한 방법은 응시한 적이 없는 것입니다.
• 점수 남기지 않고 실지 SAT 1의 점수를 알고 싶으면 Real SAT 시험지를 구입하여 시간에 맞추어 시험을 보도록 하고 아니면 PSAT 를 보도록 합니다.  PSAT는 학교에서는 11학년 학생이 보도록 하지만 10학년 9학년도 신청하면 보도록 해 줍니다.  9학년에 이 시험을 보면 유난스러운 학생이 되는데 유난스러운 대학에 진학하려는 목표를 가진 학생은 유난스러운 학창생활에 일찌감치 익숙해지는 것이 유리합니다.
• 어느 대학에서 어떤 SAT 점수를 요구하는지는 이 리스트에 나와 있습니다.

SAT 일본어 수학 물리 Subject Test 결과

Written November 11, 2005

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처

오늘 내 학생에게서 email이 왔다.  SAT Subject Test 결과가 나왔다며 드럼 소리효과까지 내가면서 서두를 시작하더니 800점을 (만점) 받았다고 알려왔다.  시험준비 시킨 사람에게는 학생이 시험을 잘 보았다는 말보다 더 반가운 소식이 없다.

가만히 생각해보니 바로 내가 본 11월5일의 시험성적이었다.  “어? 나는 통지표가 아직 안 왔는데?” 하고 생각해보니 아마도 online으로 성적을 본 것 같아 나도 collegeboard.com에 들어가 내 점수를 확인해 보았다.

맞는 답이 두 개 있는 것같아 개운치 않은 문제가 있었어 물리 시험에서 하나 틀릴지도 모른다는 우려가 있었는데 점수는 800점 (만점) 으로 나왔다.  수학도 만점으로 나왔고.  한데 일본어가 780점에 머물렀다.  대답 못한 문제 하나가 있었는데 그것이 결국 점수를 끌어내렸나보다.  “일본어 시험도 native speaker들이 많이 보아 하나만 틀려도 20점 내려가는구나” 하는 식으로 내 실력 부족 인정은 회피하고 책임전가를 했다.  일본어 선생하기는 틀렸구나 하는 생각도 했다.

이 시험은 신청 시에 두 과목 본다고 했다가 당일에 세 개를 본 시험이다.  Credit card 에 과연 한 과목 더 본 금액을 받았는지, 얼마나 charge했는지 모르겠다.  전에는 두과목 본다고 했다가 하나만 보고 나왔고 그 전에는 몸살 관계로 아예 가지 않은 적도 있다.  신청비는 날렸지만 성적표에는 내가 신청해 놓고 보지 않은 시험에 대해서는 언급이 전혀 없다.  이 SAT Subject Test의 경우에는 어떻게 될지 모르겠으면 한 과목만 신청 해 놓고 시험 당일날 변덕 부리는 것도 괜찮은 방법이 아닌가 싶다.
지난 3월에 처음 고등학생들과 함께 시험을 치루었을 때는 엄청난 심리적 부담감을 느꼈었다.  4시간 동안 바늘 방석에 앉아있다 온 기분이었는데 그 후 자꾸 해 버릇 하니까 면피강화현상이 일어나 요즘은 수염도 안 나려고 한다.  내 학원에서 일하는 수학 선생님들은 다 시험을 보아서 실력증명이야 다 되었지만 이제는 실력증명이 문제가 아니라 시험 출제 경향파악이 더 중요하게 되었다.  그래서 내가 일하는 학원은 선생님들에게 지속적으로 가르치는 테스트 시험을 보도록 시작했다.  “산 넘어 산 학원”으로 이름을 바꿔야 할 지경이다.

이제는 SAT Subject Test 수학과 물리 시험마다 출제된 부분 출제되지 않은 부분을 기록해서 시중에 나온 참고서 이상으로 정확한 경향분석을 하려고 한다.  이제는 번번이 또 한 선생님과 둘이서 같이 시험을 볼 계획이라 더 정확한 정보가 수집이 되겠다.  현재 내가 가르치는 시험준비 하는 학생들 숫자를 보면 지나친 투자가 되지만 앞으로 전 세계에서 e-Learning으로 배울 학생들을 감안하면, 또한 이런 자료를 다 수집하고 정리하는데 몇 년이 걸리는 것을 감안하면 아직 기운이 있을 때 토요일 꼭두새벽에 눈비비고 있어나 수면부족의 얼굴로 동네방네 고등학교를 누비고 다닐 가치가 있다고 판단이 된다.