사비오 칼럼

수학 경시대회의 문제 유형, SAT, 대입 준비 관계

Written on June 5, 2007

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처

수학 경시대회의 문제의 유형들은 학교의 수학 문제들과 전혀 달라 보입니다.  하지만 이것이 기호나 스타일의 차이가 아니라 깊이의 차이 입니다.  전문가들이 출제하는 Math Kangaroo 나 AMC같은 수학 경시대회에 나오는 문제를 풀지 못한다는 것은 암기 공부방식의 한계에 다달했다는 것입니다.  수학 경시대회의 다른 점은 두가지로 구분 될 수 있습니다.

1. 한가지 다른 유형은 관점을 다르게 묻는 문제입니다.

아주 극심한 비교를 하자면 위의 그림에 나오는 두 스푼입니다.  왼쪽의 스푼은 익숙해 있어서 누구나 노련하게 사용할 줄 알지만 수학적으로 오른쪽에 해당되는 스푼을 주면 “이것으로 어떻게 먹을 수 있지?” 하고 막히는 학생이 있는 것입니다.  수학 경시대회에 나오는 문제들은 학생들이 이렇게 익숙해 있는 개념도 다른 방법으로 물어보고 생각없이 기계적으로 손을 놀려 식사하던 학생들을 막히게 만듭니다.

수학적으로 제가 로그 문제를 간단하게 꼬아 보면 이렇게 됩니다.  자녀님중에 Algebra 2 를 끝낸 학생은 이 문제를 할 수 있어야 합니다.  못하더라도 실망하지 마세요.  학교 문제는 절대로 이렇게 안 나옵니다.  로그를 제대로 못 배운 학생은 이 문제 계산기를 사용하라고 해도 막힙니다.

x 명이 10kg의 아이스 크림을 균일한 크기로 나누어 먹으면 한명당 y kg 씩 돌아간다.      log (x) 가 0.477 이라면 log (y) 는 무엇인가?  log 는 base 10을 사용할 것.  계산기 사용 못함.  (If x people shared 10 pounds of ice cream equally, each one would get y pounds.  if log (x) equals 0.477, then what is log (y)?  Assume base 10 and you may not use a calculator.)

간단한 곱셈 문제도 경시대회 식으로 하지면 다음 문제와 같이 꼬아 집니다.  곱셈을 이해한다면 한눈에 답이 나오지만 기계적으로 배운 학생은 곱셈을 시작 합니다.

계산기 없이 다음 중의 어떤 수가 1,000,000 보다 작은가 찾으시오. 정답은 하나 뿐입니다.  (Without using a calculator, find which of the following numbers is less than a million?  There is only one correct answer.)

A 99 x 98 x 110   B 105 x 23 x 420   C 501 x 25 x 98    D 207 x 101 x 49   E 98 x 75 x 96

곱셈 문제 한가지 더 설명 하자면 Algebra 1 배운 학생이라면 ( x + y ) ( x – y ) = x² – y² 정도는 다 알아야 하고 이 문제를 한눈에 풀어야 합니다.  하지만 막히는 경우가 대부분입니다.

217×217 = 47089 이다.  계산기를 사용하지 말고 216×218을 구하라.

Knowing that 217×217 = 47089, find 216×218 without a calculator

수학에 소질이 있는 학생은 이 유형을 따로 배우지 않아도 혼자 터득해서 풀 수 있습니다.  아무준비 없이 경시대회에 나가 좋은 성적을 거두는 학생들은 이 유형을 풀어낸 것입니다.  이런 능력을 타고 나지 않았더라도 이런 유형의 문제를 보는 방법은 배울 수 있습니다.  제가 위에 즉흥 출제한 문제들 푸는 방법을 설명해 주면 모든 학생들이 다 한결같이 “아하!” 합니다.  (예를 들어 100x100x100=1,000,000 이니 세 숫자가 다 100보다 작으면 답은 자연히 1,000,000 보다 작습니다.  그래서 답은 E 입니다.  답은 하나뿐이라고 했기 때문에 나머지는 해 볼 필요도 없습니다.)  그리고 그 다음부터는 같은 유형은 척척 해낼 뿐 아니라 이런 스푼을 뒤집는 방법을 찾기 시작합니다.  그래서 훈련을 받으면 성적이 올라갑니다.

2. 또 한가지 다른 유형은 학교에서 가르치지 않는 수의 성질에 대한 지식을 사용하는 문제입니다.  예를 들어 다음의 문제는 power 2 의 성질을 알고 있으면 단번에 답이 나오고 모르면 일일이 다 더하는 수 밖에 없습니다.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 =

이는 관찰력이 있는 학생이면 보았을 수도 있는데 대개의 경우 무심코 넘어가고 맙니다.  어느 차를 사려고 관심을 가지면 그 때부터 길이 그 차로 가득찬 것 같이 보이듯 일단 이런 수의 성질을 배우고 나면 갑자기 그에 관한 문제가 많이 나타나기 시작 합니다.   그리고 그 때 부터는 같은 수의 성질에 관한 문제는 쉽게 풀수 있게 됩니다.  이런 수의 성질은 많지만 무한대는 아닙니다.  높은 수준의 수학 경시대회 준비를 배우게 되면 이런 수의 성질과 이론을 많이 배우게 되고 그 다음에는 그 이론을 어떻게 사용하게 되는가를 배우게 됩니다.  하지만 이론이 한 없이 있는 것이 아니기 때문에 어려운 문제는 여러 이론을 동시에 적용하여 난이도를 높인 문제가 됩니다.  이런 이론은 학교에서 가르치지 않습니다.  엔지니어링 쪽으로 수학을 공부하는 사람은 대학에 가도 이런 수의 성질을 배우지 않습니다.  그래서 이런 경시대회 훈련을 받아야지 대학교, 대학원 수학을 했다고 경시대회의 성적이 올라가지 않습니다.

경시대회에서 이런 유형의 문제를 출제 하는 것은 학생들의 문제를 푸는 능력을 보는 것이 아니라 문제의 주제를 파악하는 능력을 보기 때문입니다.  경시 대회 문제는 일단 패턴을 파악하고 나면 허무하게 무너집니다.  과장해서 비교하자면 대학원 수학 시험은 한시간동안 세 페이지 가득 풀어서 답을 내게 되지만 경시대회 문제는 한 시간 노려보다 세줄에 풀게 됩니다.

SAT 의 유형

SAT 시험은 희석된 수학 경시대회 문제라고 볼 수 있습니다.  위의 두가지 유형이 다 나오는데 수학 경시대회처럼 만점을 받지 못하도록 만든 시험이 아니기 때문에 훨씬 쉽습니다.  AMC 시험은 문제가 뒤로가며 점점 어려워 지는데 SAT 의 수준은 AMC의 전반에 나오는 쉬운 문제에 해당됩니다.  AMC 같은 시험에서 고득점 하는 학생들은 물론 SAT 수학 만점을 받습니다.   11학년에 되어서야 그 동안 A 만 받아온 학교 수학이 모자랐다는 것을 깨닫고 효과가 있는지 없는지도 모르는 강행군 반에 들어가 고생해서 수학을 싫어하게 만드느니 어려서부터 이 경시대회에 참여하여 경쟁해가며 SAT ACT 만점 보장 받고 동시에 참된 수학적 두뇌를 개발 시키는 것이 전략적으로나 교육적으로나 최선의 방법입니다.
ACT 는 수학 경시대회 문제 보다는 학교의 수학 문제에 가깝게 출제가 됩니다.  따라서 SAT 와 같은 “사용할 수없는 스푼을 주었다!” 라는 악명이 없는 것입니다.수학 경시대회로 두각을 나타내는 법

특히 수학을 잘 하는 학생, 수학을 즐기는 학생, 과학이나 엔지니어링 쪽으로 나가려는 학생은 학교에서 수학 A 받는 것만으로는 무의미 하고 AMC10이나 12를 잘 보아 최소한  AIME 에 초청을 받은 기록을 만들어야 사정관들의 눈에 띄게 됩니다.  AIME를 잘 보아 USAMO 까지 들어가면 지나가던 지원서를 훑어보던 사정관들의 눈이 다시 돌아와 확인을 할 것입니다.  USAMO에 참여했다는 것은 미 전국의 top 500 의 학생에 속했다는 뜻이니까 “나는 수학을 잘 한다”고 언급할 필요도 없습니다.  MIT 나 Caltech 같이 지원생의 대부분이 SAT 수학 만점을 들고 오는 공대는 AMC, AIME 성적을 기록 하도록 해 영재사이에서 수재를 가려 냅니다.

AMC 8은 2007년 11월 13일에  AMC 10과 12는 2008년 2월 12일에 개최 됩니다.  2007년 ~ 2008 년 AMC 정보  학 교의 수학 팀에 들어가 훈련을 받고 그 지역의 Math League에 참여 해서 많은 문제를 풀어보며 6학년 때부터 매년 응시해 점점 좋은 결과를 내시기 바랍니다.  학교 수학 팀에서 활약하며 경시대회에 참여하는 것이 무료로 SAT (1과 2 둘다) 수학 만점 보장하는 것입니다.

시카고 지역에서는 학교에서 이 경시대회를 볼 수 없는 학생들을 위해 제 학원이 AMC 8, AMC 10, AMC 12를 개최할 것입니다.  저희 학원에서 주최하는 AMC 는 모의 고사가 아닌 공식 시험으로 성적도 공식으로 인정 받습니다.