미국 수학 과정의 다양한 트랙

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처

미국의 중고교 수학과정 Part 1 트랙

미국의 중고교 수학과정 Part 2 정규과정 수학의 순서

미국의 중고교 수학과정 Part 3 수학경시대회

수학 각 과목의 자세한 설명

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처

미국 고등학교에서 여러가지 트랙으로 다양한 수준의 수학을 가르친다는 점을 전 글에 설명했다.

많은 학부형님들이 그 도표를 보고 자녀님이 배우는 과목이 나와있지 않거나 순서가 틀린 점을 발견하셨을 것이다. 

우선 순서의 차이로 기하 (geometry)를 가르치는 순서가 다를 수 있다.  대부분 Algebra 1과 Algebra 2 중간에 가르치는데 학교에 따라서는 Algebra 2 가 끝나고 나서 Geometry를 하고 그 다음에 Precalculus로 들어간다.  미국 교육에서는 수학을 중단하고 기하를 배우기 때문에 어는 순서로 배우던지 수학의 흐름이 깨지고 1년동안 사용부족으로 잊기는 마찬가지이다.

다른 학부형님들은 내 도표에 trigonometry가 나와있지 않은 것을 눈치채었을 것이다.  또 다른 학부형님은 자녀님의 수학 과정에 Precalculus가 없는 것을 발견했을 것이다.  Trigonometry는 학교에 따라 Algebra 2 에 넣기도 하고 Precalculus에 넣기도 하고 따로 과목을 만들기도 한다.  따로 trigonometry라는 과목이 있으면 Precalculus가 Algebra 2와 Trigonometry에 흡수되어 따로 없기 쉽다.  다 어느 과목을 대표로 내세웠나 차이지 가르치는 내용은 마친가지이다.  위의 도표에 Algebra 2, Trigonometry, Precalculus의 교과서 과정이 겹치는 범위를 나타내보았다.

위에 없는 Advanced Algebra, College Algebra, Algebra 3 등등 다른 이름도 등장하는데 대부분 Precalculus을 칭하는 이름들이다

위의 그림에 겹친 부분은 배우는 교과서에 나오는 내용이 중복 된다는 뜻이다.  결국 전혀 새로운 과목은 Geometry와 Calculus 뿐으로 나머지 과목들은 교과서 대로 나간다면 지난 내용을 복습하는데 상당한 시간을 보낸다.  Algebra 1과 Algebra 2 사이에 Geometry가 1년 동안 들어오기 때문에 대부분의 Algebra 2 수업은 학기 초를 상당 시간을 Algebra 1 복습에 보낸다.  그렇기 때문에 중간에 공백 없이 Algebra 1과 2 를 지속해서 배우면 18개월이 아닌 15개월 내에 끝난다.  그것도 학교에서 숙제 안 해온 학생 더딘 것 기다리는 시간, 잔소리 하는 시간, 말썽 꾸러기 야단치는 시간 없애면 더 빨라질 수도 있는 것이다.
Algebra 2와 Precalculus도 교과서 과정에 상당한 중복이 있다.  아니 중복이 대부분이다.  교과서 차례를 들여다 보면 거의 다 같고 한 두 chapter만 다르다 (주로 Polar coordinate, Vector 와 Limit).  그러니 Algebra 2 일년 하고 Precalculus 일년을 한다고 하면 그 안에 Trigonometry가 들어가 있어도 내 생각에는 시간이 너무 길다.  일년을 보내며 배울 양이 아니라고 생각된다.  하지만 단위가 1년이고 복습이 필요한 학생도 많고 중간에 Calculus 시작할 수도 없고 해서 고스란히 일년을 보내고 만다는 느낌이 든다.  내 생각에는 잘하는 학생에게는 시간 낭비가 크다고 생각된다.

교과서 대로 따라 중복되는 부분을 다 배우는 정상 코스라 하면 (여름방학 공부 한 하는 것 가정) 다음과 같은 4년의 시간이 걸린다.  (Geometry 포함하면 5년)

중복을 피해 배울 수 있다면
(여름방학 공부를 안 하면) 다음과 같은 2년 반의 시간이 걸린다. (Geometry 포함하면 3년 반)

중복을 피해 시간을 배우는 시간을 단축하는 방법은 (즉 진도를 빨리 나가는 방법은) 모든 학생에게 적용될 수 없다.  거의 모든 학생들이 다 배운 것을 쉽게 잊기 때문에 복습을 시켜야 하고 배운 것을 소화시킬 시간을 주어야 한다.  전국 고등학생 대부분에게 중복되는 교육방식이 가장 적합한 방법이다.

하지만 수학에 소질과 재능이 있는 학생은 다르다.  제대로 된 설명을 한번 들으면 이해를 하고 기억을 한다.  이런 학생의 입장에서 보면 수업시간에 전에 배웠던 것 또 나오는데 클래스메이트들은 생전 처음 보는 얼굴을 하고 힘들어 하니 답답하다.   다 아는 것 자꾸 하고 있자니 지루하고 재미가 없다.

이런 학생은 한 과목을 건너뛰어 넘어갈 수 있다.  보시다시피 뛰어 넘어가도 다음 과정에서 건너뛴 부분과 중복되는 내용이 나오기 때문에 약점이 있더라도 만회할 기회가 주어진다.  쉽게 느껴지는 수학 과목을 건너뛰어 버린다는 것은 더 도전이 되는 재미있는 수학을 배우게 된다는 외에도 트랙을 바꾸는 결과를 가져오기 때문에 능력이 있는 학생은 반드시 시도를 해야 한다.  대입에 아주 중요한 학교 등수 (ranking) 을 올리기 위해서도 높은 트랙으로 올라가는 것이 절대 필요하다.  낮은 트랙에서는 A 가 3점이지만 높은 트랙에서는 5점도 된다.  높은 트랙에서 B 받는 것이 낮은 트랙에서 A 받는 것 보다 유리하다.

뛰어나게 A 를 받으나 간신히 A 를 받으나 그 트랙에서 A 를 받은 것은 달라 보이지 않기 때문에 자신의 실력을 알리기 위해서는 적어도 더 큰 우물, 가급적이면 호수 정도는 가서 거기에서도 가장 큰 개구리라는 것을 보여주어 바다로 갈 자질이 있음을 보여야 한다.  물론 그렇게 트랙을 바꾸어서 고전을 하기 시작한다면 괜히 일만 문제만 일으킨 것이니 만반의 준비가 다 되어있는지를 확인 하고 시작할 일이다.  아주 뛰어나지 않아도 성실한 공부 자세가 되어있고 성취욕에 불타는 부지런한 학생은 평소 예습해 나가다 여름방학동안 집중해서 준비를 하면 한 과목을 뛸 수가 있다.  올라가서 처음에 고전을 하더라도 도움을 받으면 괘도를 찾아 독립할 수 있다.  그러면 트랙이 바뀌게 되어 대입진학이 한결 더 유리해지는 것이다. 

나의 주판 교육 경험 & 계산자

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처

내가 가르치는 학원에서 주판을 가르치려 해 보았다.

주판을 산 것은 물론 (한국 지방 문방구의 재고를 다 구입했다.) 교사용 대형 주판도 구입했다.  교실 앞에 놓여있는 대형 주판을 보는 것에 익숙해 있는 내 학생들은 개인용 주판을 보면 “so small!” 이라고 한다.  교사용 대형 주판이 원 사이즈이고 진짜 주판은 무슨 소형 장난감 모형으로 보이나 보다.

주판 교육의 책자도 다 구입했다.

이 좋은 결과가 보장된 주판 교육을 실행 하는데 문제는 다음과 같다.

1. 선생님 찾기가 쉽지 않다.  주판을 잘 두는 것과 주판을 잘 가르치는 것에 차이가 있다.

2. 주판을 잘 가르칠 수 있는 선생님은 주로 중국, 한국 선생님인데 그 중 유창한 언어로 학생을 사로 잡으며 주판을 가르칠 선생님이 드물다.

3. 한국 학부형님 및 다른 나라 학부형님들은 왜 이 정보시대에 석기시대의 계산방법을 가르치는지 이해를 못하신다.  계산기가 있는데 주판의 등장이 무슨 시대에 맞지 않는 소리냐는 자세이시다.  내가 워낙 테크놀지의 첨단을 달리니까 학부형님들이 함부로 나를 무시하지 못하시지만 그래도 어째서 이 초 현대 교육방식을 추구하는 선생이 난데없이 구닥다리 계산 도구를 들고 나오는지 어이가 없다는 표정이시다.

이런 이유로 내 학원에서도 주판 교육이 중단돼있는 상태이다.  위 세가지 난관을 극복 하실 수 있는 학부형님들은, 즉, 직접 가르치실 수 있는 분들은 반드시 저학년 때 자녀님들에게 주판을 가르치셔야 한다.  모든 숫자가 주판의 구슬 위치로 보이게 될 때까지.  모든 덧셈 뺄셈이 주판 구슬의 움직임으로 보이게될 때까지.  그 경지에 도달으면 사실 주판이 필요 없다.  암산을 하면서도 머리 속에서 주판을 사용하고 있게 된다.  이것이 계산기와 다른 점이기도 하다.

내 생각에도 고등학생은 이미 늦었고 저학년에게 가르쳐야 최대한의 효과가 나지 않을까 하는 생각도 있어 더 이상 주판 가르친다는 주장을 하고 있지 않다.  대신 NextMath를 사용하여 학생 각자 주판에 해당되는 숫자의 표기를 개발하여 짧은 시간에 정확한 답을 하도록 만들고 있다.  학생들이 짧은 시간에 정확한 답을 낸다면 그들의 계산 방식을 내가 간섭할 일이 아니라는 것이 나의 자세다.  한데 암산 서투른 학생은 주판도 피하고 NextMath도 피한다.  암산을 하지 않아 남은 에너지를 암산 피하는데 사용하는 것 같다.
또 한가지 내가 가르지고 싶은 것은 계산자 (slide rule) 이다.   수입 제한으로 계산기가 비쌌던 시절 브라질에서 고등학교를 나온 이유로 나는 나이에 어울리지 않게 계산자를 사용할 줄 안다.  나는 고등학교 시절 매년 두과목씩 배운 물리 문제를 다 계산자로 풀었다.  주판은 덧셈 뺄셈에 유용하지만 계산자는 곱셈, 나눗셈, 로그, 제곱근의 삼각함수의 계산 개념을 터득하는데 아주 도움이 된다.  계산자를 사용하면 자리 수를 내가 알아서 지키고 있어야 한다.  즉 43×23  4.3×23, 4300×0.23, 0.043×23 계산자에서는 다 똑같은 계산이고 내가 알아서 맞는 자리에 소수점을 찍어야 한다.  세자리 이상 정확한 숫자를 계산 할 수 없지만 significant digit 이 무엇인지 order of magnitude의 개념이 무엇인지 배우는데 더 이상 좋은 방법이 없다.
계산자에 익숙해 있던 나는 scientific calculator를 처음 사용해 보았을 때 계산기가 곱셈 하는 것은 알겠는데 소수점 위치를 알아서 찍어준다는 것이 신기했던 기억이 있다.

계산자 역시 주판처럼 일단 통달하고 나면 계산자가 없어도 머리속에서 계산자를 사용할 수 있게된다.  3자리까지 구하는 정확성은 떨어지지만 한자리는 항상 알고 조건이 맞으면 두 자리정도 짐작할 수가 있다.

내가 교실 앞에 서서 학생들 들고 온 처음 보는 문제를 풀 때 답을 두 자리 까지 암산으로 계산해 학생들 혀 내두르게 하는 것은 내가 계산이 빨라서가 절대로 아니다.  내 머리 속에 주판과 계산자가 움직이고 있기 때문이다.  주판이나 계산자나 더 이상 생산이 되지 않는 지난 시대의 유물이라 찾기가 수월치 않았지만 언젠가는 가르치고 싶어 계산자도 구입을 해 두었다.  언젠가 학교 성적 올리는데 급급하지 않고 SAT 시험 성적에 매이지 않고 수학의 묘미를 가르칠 수 있는 시간적 여유가 생기면 이 계산자를 가르치고 싶다.

이렇게 말하면 나는 석기시대를 못 벗어난 수학선생 같은 인상을 줄 것 같은데 전혀 그렇지 않다.  내가 가르치는 학원에는 책상마다 컴퓨터가 있고 컴퓨터 마다 Mathematica 소프트웨어가 깔려 있다.  학생마다 집에 Mathematica 를 설치하도록 Wolfram Research 와 계약을 맺어 내게 배우는 학생은 다 집에 Mathematica 를 설치하고 있다.  (한데 대부분 사용을 안하고 있어 내 혈압을 올린다.)

내가 이렇게 여러가지 수학을 배우는 도구를 사용하려는 것은 내가 다 직접 사용해 보아 효과를 알기 때문이다.  나 같은 수학 교사가 드문 것은 나와 같은 시간과 공간을 여행한 인간이 드물기 때문이다.  나는 내 자신을 시대 변천의 사이에 본의 아니게 새우등 터진 수학 선생으로 자평한다.  나는 한국에서 초등학교를 다녀 주판을 배웠고 브라질에서 고등학교를 다녀 계산자를 배웠고 미국에서 대학을 다녀 컴퓨터를 배운 다국의 과도기에 다양한 수학을 보는 방법을 배운 학생인 것이다.  이제는 한국의 초등학교도 주판을 가르치지 않고 브라질의 고등학교도 계산자를 사용하지 않는다.  계산자는 브라질에서도 내가 마지막 세대였다.  내 다음 세대부터는 계산기를 사용하기 시작했는데 물론 그들의 계산 실력은 내 세대보다 떨어진다.

나와 같은 나이더라도 나처럼 여러 나라에서 교육을 받지 않았으면 이 세가지 다 터득하지 못했고 이제는 어느 나라를 돌아 다녀도 더 이상 주판, 계산자, 컴퓨터를 자유자재로 사용하는 학생을 아무데서도 배출할 수 없다.  결국 나는 본의 아니게 나는 세상에 드문 주판, 계산자, 컴퓨터에 똑같이 능한 수학 선생이 되었다.

이 나의 희소가치를 최대한으로 이용해 제자를 배출하고 싶다.  수학을 주판과 계산자와 컴퓨터를 동시에 사용해 가르치는 전통을 만들고 싶다.  언제가 내 이상적인 수학 교육을 마음껏 펼쳐보는 기회를 기다리며 산다.

9학년 10 학년 학생과 PSAT

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처

9학년 10 학년 학생들은 PSAT를 꼭 보아야 한다

고등학교 다니면서 대입준비 위해 치러야 하는 수 많은 시험 중에 “밑져야 본전“인 시험이 단 하나가 있는데 그 것이 PSAT 이다.

시험 일자 안내 http://www.collegeboard.com/student/testing/psat/reg/dates.html

이 시험을 잘 보면 시험 점수는 직접 대학으로 가지 않지만 National Merit Scholarship의 명단에 올라간 경력이 생겨 대입이 유리하게 된다.  아주 잘하면 장학금도 나온다.

이런 중요한 시험을 완전히 망치면?  시험 등록비 $12 날린 것 외에는 아무런 악영향이 없다.

등록비와 시험일 http://www.collegeboard.com/student/testing/psat/reg/dates.html

11학년은 이 시험을 의무적으로 보도록 되어 있다.  하지만 10학년도 신청을 하면 보도록 해 준다.  10 학년 때부터 이 시험을 보아두는 장점은

1. >$12불 비용 외에는 위험이 없다
2. 유일하게 흔적 남기지 않고 공식 SAT 성적을 미리 알게 되는 기회이다
3. 이런 큰 시험을 보는 것이 어떤 것인지 일찍 배우게 된다.  실전 시험 경험이 있는 것 하나만으로도 두번째 시험에 성적이 올라간다.
4. 어디가 약한지 미리 알아 1년 동안 준비해서 11학년에 National Merit Scholarship을 노리고 시험을 볼 수 있다.
5. 학교에서는 straight A 를 받아도 이런 시험에 약한 학생들이 있다.  이런 약점을 가지고 있는 것은 일찍 알 수록 만회할 기회가 많아진다.

단 10학년은 아무리 잘 보아도 National Merit Scholarship 리스트에 들 수 없다.  11학년 때 다시 봐야 한다.
이 시험은 다른 SAT와 달라 College Board에 등록하는 것이 아니라 반드시 재학중인 고등학교에서 신청을 하여 학교 내에서 보게 된다.  시험 결과는 12월에 학교로 직접 배달이 되어 학교에서 성적표를 받게 된다.  SAT 는 각 과목마다 최하 200 에서 최고 800 점으로 점수가 나오지만 PSAT는 20 점에서 80 점이다.

시험 내용은 역시 SAT와 마찬가지로 Critical Reading(독해), Math(수학), Writing Skill(작문)이 나온다.  수학은 SAT와 달리 Algebra 2 내용은 나오지 않고 Algebra 1 과 Geometry에서 출제가 되며 확률, 통계, 자료분석등이 출제된다.

http://www.collegeboard.com/student/testing/psat/about/ontest.html

11학년이 이 PSAT 각 과목에서 80점을 받으면 앞으로 SAT 준비 걱정이 없는 것이고 너무 방심만 하지 않으면 SAT 공부 한다고 괜히 비싼 학원비 지출하지 않아도 잘 해내리라는 보장이 된다.  (내 학생 중에 10학년 때 수학 80점을 받은 학생이 있다.  이 학생은 SAT 수학은 더 이상 공부할 필요가 없는 것이라 영어에만 집중하고 있다.)  70점 선이면 일년간 열심히 더 준비를 해야 하는 것이고 60점대 이면 정신 차려 뭔가를 바꾸어야 할 때다.  60점 정도를 받는 것은 여태까지 공부해온 방법의 결과임으로 공부하는 스타일 내지는 라이프 스타일을 그대로 지속해 나가면 1년 지나도 성적 올라갈 이유가 없다.  학생들에게 이 성적은 네가 여태까지 이 점수를 겨냥한 공부방식과 라이프스타일을 가졌기 때문이고 계속 같은 곳을 조준한다면 계속 같은 점수를 받는 수 밖에 없다는 것을 알려 주어야 한다.  즉, 60점을 더 열심히 겨냥해 봐야 더 확실할 60점이 나온다는 것을 깨달아야 한다.  친구들과 반 놀면서 공부하는 자세, 예습을 안하고 시험 전날만 밤새우는 자세를 가진 학생들은 앞으로 분발해 더욱 열심히 친구들과 공부하고 더 열심히 밤 새워봐야 더 확고한 60점 받는 결과 뿐이다.

9 학년 학생들은 10학년 까지 기다리지 말고 9학년 때 볼 수 있는지 문의해 볼만 하다.  학교측이 허락한다면 물론 시험을 봐야 한다.  이 시험은 나중에 문제까지 다 배부가 되어 학생들이 무엇을 맞았는지 틀렸는지 볼 수도 있는 아주 좋은 실전 경험을 준다.  10학년 학생도 잘 하는 학생은 각 과목에 70점 받는다.  9학년 학생도 제대로 해 왔으면 각 과목에 65점 정도 나와야 한다.

PSAT 시험을 볼 때 9학년, 10학년 때 실전을 해가며 준비해온 학생과 11학년에 처음으로 생소한 시험을 대하는 학생과 어느 쪽이 더 유리한지는 정해진 일이다.  내가 유리한 위치에 서면 불공평이 그다지 문제로 보이지 않는다.  9학년 10학년 학생들 올 해 꼭 시도해 11학년 때 신문 사회면에 나올 정도로 (“천지 차이의 PSAT 준비 상태””) 아주 불공평한 특권을 누리시기 바란다.

USAMTS 중고등학생 수학 경시대회를 소개합니다

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처

USAMTS (USA Mathematical Talent Search  http://usamts.org) 는 미국에 거주하는 학생을 대상으로 개최하는 수학 경시대회입니다.  US Citizen and residents only라는 규정이고 예외는 없다고 공고를 했습니다.

이 시험의 특징은

1. 한 회에 다섯 문제를 한달동안 혼자 풀어 답을 제출하고
2. 4회 (round)의 시험을 보아 총점으로 계산하여 만회 역전의 기회가 있어
3. 일년 중 6개월을 이 시험문제를 생각하며 보내는 결과가 되고
4. 참가비용이 없고
5. 연령 제한이 없고 (단 만 13세 이하는 부모의 동의를 얻어야 합니다)
6. 학교와 관계없이 개인 자격으로 참가할 수 있고
7. Mathematica 가 상품으로 제공되고
8. 우승자는 자동으로 AIME에 참가할 자격을 받게 됩니다.

정해진 시간 내에 문제를 푸는 것이 어려워 AIME로 진출을 못하는 학생들은 이 한달 동안 5개의 문제를 두고 두고 생각하고 컴퓨터로 답을 확인할 수 있는 이 USAMTS가 AIME로 진출하는 지름길이 될 수 있습니다.

이 경시대회의 문제는 누구에게 묻는 것만 금지되어 있지 그 외에는 모든 책, 컴퓨터, 인터넷 다 동원해서 문제를 풀 수 있다고 규정 되어 있습니다.
그러니 수학에 흥미가 있는 학생들은 모두 다 참가하도록 권합니다.  이 어려운 문제를 한 달 동안 잡고 씨름하면 해결을 못하더라도 그 사이에 배운 지식으로 수학 실력이 비약적으로 발전할 것입니다.  게다가 참가비가 무료이니 참가하지 않을 이유가 없습니다.

오는 10월 13일까지 제출해야 하는 첫 문제는 이미 출제 되어있습니다.  http://usamts.org/Problems/U_Problems.php

예년의 기출 문제와 해설은 여기에서 보실 수 있습니다.   http://usamts.org/Problems/U_ProblemsPast.php

개인 자격으로 참가하는 경시대회이기 때문에 학생의 의지만 있으면 여기에서 등록을 하고 바로 시작할 수 있습니다.

http://usamts.org/Register/U_Register.php