사비오 칼럼

어떻게 하면 아이가 수학에 자신감을 가질까요?

By James H. Choi
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질문:

어떻게 하면 아이가 수학에 자신감을 가질까요?

답:

자신감은 실력발휘의 결과야 합니다. 전 세계 학생들을 대상으로 실력측정을 하는 PISA Test 의 결과를 보면 미국 학생들은 거의 모든 과목에서 하위권에 속하지만 자신감 하나만은 상위입니다. 제가 보기에는 항상 칭찬으로 격려로 가르치는 미국의 교육 방법의 결과입니다. 실력이 있는 것 보다 학생이 행복한 것에 비중을 두기 때문에 비록 성적은 하위권이지만 자신감 충만한 학생을 양성해 내고 있습니다.

그러니 “자신감 가져!”라고 욱박질러서 자신감이 생길 것도 아니지만 만약 생기더라도 “나 이미 잘났는데 뭘 또 하라는 거야?” 라는 자세를 가진, 뿔이 엉뚱한데 난 송아지 모습이 됩니다.

제가 가르치는 학생들 중에도 근거없는 자신감과 우월감을 가진 학생들이 있습니다. 이들은 “내가 제일 잘 하는데 더 올라갈 곳이 있는가?”라는 의심이 있고 제가 돈벌기 위해 그들을 필요 없이 볶는다고 확신합니다. 그런 우물안 개구리들은 자신감을 길러 주기는 커녕 바다의 상어를 보여 주어 겁에 질리게 해야 합니다. 그 방법 중에 하나가 수학경시대회에 나가는 것입니다. 학교에서 자신이 최고인줄 알다가 동네연못에만 나와도 입상을 못하는 것을 깨닫게 되지요.

수학에 자신을 가지는 가장 현명한 방법은 수학을 배우고 연습하여 그 실력에 상응하는 결과를 얻는 것입니다. 즉, 자신감을 가지기 위한 수학 교육과 수학을 배우기 위한 수학 교육은 차이가 없습니다. 단, 여러명이 보는 앞에 나가 수상을 하는 경시대회등에 나가는 활동을 할 수 있지요. 또한 학생이 자연 속도로 발전하도록 하지 마시고 한 여름방학에 집중적으로 한 경시대회를 위한 준비를 하여 그 경시대회에서 반짝 하도록 할 수 있습니다.
계단을 만들면 올라가지 못 할 높이가 없습니다. 아무려 어려운 관문도 준비 과정을 단계로 하여 올라가면 누구다 반드시 목적에 도달할 수 있습니다. 모든 과정에서 학생이 어디에 있고 어디로 가고싶은가를 알아 그 두 장소를 연결해주는 계단을 만들면 학생이 지속해서 할 수 있고 뒤 돌아보면 까마득히 높이 올라왔다는 것을 볼 수 있기 때문에 흥미도 유지하게 되어 결국에는 본인도 상상 못하던 아찔한 경지까지 올라가게 됩니다. 그쯤 되면 주위에서도 “수학 잘 하는 학생”으로 인정하기 때문에 그 brand를 잃지 않기 위해서라도 더 열심히 하게 됩니다.

그 계단은 학생마다 다릅니다. 허망하게 쉬운 코스에 들어가도 안되고 눈이 캄캄하게 어려운 코스도 안되고 학생이 무리없이 딛고 올라갈 수 있는 높이의 계단에 해당하는 코스를 배워 점점 향상해 가면 될 것입니다.

수학경시대회에 나갈 수준이 되려면 어떻게 그리고 얼마 동안 준비해야 하나요?

By James H. Choi
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질문:

수학경시대회에 나갈 수준이 되려면 어떻게 그리고 얼마 동안 준비해야 하나요?

답:

우선 학교 수학을 아주 잘 해야 합니다. 튜터를 받건 자습을 하건 무슨 방법을 동원 해서도 학교 수학을 잘 할 수 있어야 합니다. 그 단계를 해 내지 못하면 경시대회 수학을 접할 준비가 되이 있지 않습니다.

6학년이거나 그 이상이 되면 그리고 수학 경시대회에서 입상을 목표로 한다면 수학 경시대회 유형의 문제를 푸는 방법을 배워야 합니다. 즉, 학교 교과서에 나오는 문제는 가장 어려운 것까지 다 풀 수 있어도 경시대회 문제를 푸는 준비가 되지 않을만큼 학교 수학과 경시대회 수학은 다릅니다.

앞으로 배울 내용이 미리 나와서가 아닙니다. 엔지니어링, 물리학 박사들도 수학에 자신있다고 하지만 고등학교 수학 경시대회 문제를 가지고 쩔쩔 맵니다. 심지어는 수학 박사도 자신의 분야가 아니면 AIME, USAMO, ARML 문제를 제 시간에 풀어내지 못합니다. 이는 경시대회에 출제되는 문제가 수학이기는 수학이지만 경시대회 수학이라고 불릴 만큼 특별한 분야에서 경시대회 문제들이 출제 됩니다.

학교에서 가르치지 않지만 경시대회에서 많이 나오는 문제가 두가지 있습니다. 하나는 Number Theory이고 다른 하나는 Counting and Probability (=Combinatorics)입니다. 이 두가지는 비상한 두뇌의 학생들은 따로 배우지 않아도 직감적으로 답을 구하는 유형의 문제들인데 (122의 300승의 마지막 자리 숫자가 무엇인가? 30명이 만나면 악수가 몇번 있는가?) AMC 8 정도에서는 아무런 준비 없이 재능만으로 고득점을 할 수 있지만 그 다음 부터는 재능있는 학생들도 준비해서 오기 때문에 시간내에 풀어낼 수가 없습니다. 시간이 충분하면 혼자 패턴을 찾겠지만 시간 제한이 있는 수학 경시대회에서는 기본 지식을 이미 알고 있어야 그 연장을 들고 문제가 꼬아 놓은 부분에 집중할 수 있습니다. 한데 이 두 과목을 제대로 배우기 위해서는 최소한 Pre-Algebra를 끝냈어야 하고 Algebra 1 을 끝냈으면 더 쉽게 배울 수 있습니다.
그리고 학교에서 가르치는 것과 많은 중복이 되지만 경시대회에서 더 높은 수준으로 묻는 것이 기하 (Geometry) 입니다. 고등학교 수준의 경시대회에서 고득점을 받기 위해서는 학교 기하를 배우고 나서 경시대회 문제 수준의 기하를 배워야 합니다. 학교 책에 나오지 않는 여러가지 theorem 들이 있는데 (예: Ptolemy’s Theorem) HMMT, AIME같은 수준의 경시대회에 서슴없이 나타납니다.

이 세가지 (Number Theory, Counting and Probability, Geometry) 를 배우고 나서 기출 문제를 풀어보기 시작하면 이 개념들이 어떻게 서로 얽히고 섥혀 나오는지 보이게 되고 그런 문제를 풀어나가는 능력을 갖추기 시작하게 됩니다.

준비기간은 목표가 무엇인지 학생이 얼마나 시간이 있는지 의욕이 있는지 선천적인 이해력이 있는지에 따라 크게 좌우됩니다. 예를 들어 6~8학년 학생이 AMC 8에서 20점을 받는 것이 목적이라면 짧게는 한 여름방학, 길게는 1년이 걸릴 것이고 무관심으로 무장한 학생은 2년도 걸릴 수 있습니다.

미국 8학년의 반 이상이 Algebra 1 수강

By James H. Choi
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Brookings 의 2008년 Brown Center Report on American Education의 보고서를 보면 다음과 같은 글이 나온다.

Algebra in eighth grade was once reserved for the mathematically gifted student. In 1990, very few eighth graders, about one out of six, were enrolled in an algebra course.

8학년이 Algebra 를 수강 하는 것은 수학에 재능이 있는 학생에게만 가능한 일이었다.  1990년에는 8학년 학생 6명중 1명이 Algebra 를 수강했다.

<중략>

Today more U.S. eighth graders take algebra than any other math course.  In July 2008, the State of California decided to adopt an algebra test as its eighth-grade assessment of student proficiency. The policy in effect mandates that all eighth graders will be enrolled in algebra by 2011.

오늘은 8학년 학생의 반 이상이 Algebra를 배우고 있다.   2008년7월 California는 Algebra 를 8학년 실력 측정 시험으로 책정했다.  이 정책은 2011년까지 모든 8학년이 Algebra 를 배우도록 규정하고 있다

이 것은 내가 봐 온 변화와도 일치한다.  1980년대에는 내가 가르친 학생 중 고등학교에서 AP Calculus를 수강하는 학생이 드물었고 수강하지 않아도 일류 대학에 다 합격하고는 했다.  1990년대에 들어와 변화가 시작이 되었고 2000년대에 가속화가 되더니 2010년대에는 불꽃이 튀는 치열한 경쟁이 되었다.

“인간의 몸으로는 불가능하다”는 올림픽 기록이 한번 깨지고 나면 속속 그 기록을 초과하는 선수들이 등장하듯 1980년대에는 한 고등학생의 몸과 두뇌로는 불가능하다고 모두 동의했던 수준의 수학 과학을 오늘 많은 고등학생들이 멀쩡하게 해 내고 있다.  모든 명문대학 입학생 수의 몇 십배에 해당되는 학생이 해내고 있으니 이 상대평가의 잣대 앞에서 “1980년대” 운운 해 봐야 초라한 변명을 둘러대는 모습밖에 되지 않고 두 팔 걷어 붙이고 달려 들을 수 밖에 없다.

내가 온라인으로 가기전에 가르쳐온 이 지역의 Illinois 211학군의 학생들 중에 8학년 때 Algebra 1 하고 9학년 때 Geometry를 한 학생이 많다.  그 이유는 이 지역의 중학교에서 Geometry를 가르치지 않았고 버스로 고등학교 갈 수 있다는 사실은 “학부모에게 감추고 있다”는 인상을 받을 정도로 함구하고 있었기 때문이다.  그리고 그런 가능성이 열려 있다는 것을 알았어도 “친구 관계”를 더 중요시 하는 학생/학부모님은 기회를 pass하고 즐거운 중학교 학창생활에 집중했기 때문이다.

8학년에 Algebra 1한 학생 중에도 Harvard, MIT 등에 합격한 학생이 나오는데 지금 생각해 보니 다들 중간에 따로 AP 시험을 준비 했거나 다른 수학에 재능이 있음을 과시했기 때문이다.  유명대학에 합격한 학생 중 학교에서 시키는 대로 수학, 과학 과정을 얌전히 따라간 학생은 없었다.   불과 5년 전의 기억이라 나는 아직도 “8학년에 Algebra 1 을 해도 충분히 만회할 수 있다”는 느낌을 가지고 있었는데 이 리포트를 오늘 보니 변해가는 현실이 좀더 선명하게 초점이 맞아오기 시작한다.

California의 모든 8학년과 같은 수준의 진도를 배우고 있다는 것은 전혀 두각을 나타낼 수가 없게 된 것이다.  물론 같은 과목을 해도 잘하고 못하고가 있는데 워낙 A를 후하게 주는 곳이 많아 A를 받는 것은 당연하게 되어 경쟁력이 없고 B 를 받는 것이 낙인이 찍히게 된 상황이다.  이제는 수학에서 A를 받는 것만으로는 의미가 없다.  주위에 “우리 아이 수학에서 A받아어요”라고 자랑하시는 분의 수만 봐도 얼마나 흔한지 짐작할 수 있다.

이제 학생이 수학을 잘 한다는 것을 보이려면 어떤 과목에서 A를 받는가, 어떤 수학경시대회에서 고득점을 했는가를 알아야 짐작을 할 수 있다.

MIT의 대입 사정관도 설명회에서 “학교보다 수학을 더 빨리 나가려 애쓸 필요 없이 주어진 과정을 잘 하면  됩니다”라고 말씀 하시더니 몇 문장 후에 하시는 말씀 “고등학생이 대학에 가서 높은 수준의 수학을 수강한 기록을 높이 삽니다.”

두가지가 동시에 진실일 수 없다.  학교보다 빨리 나가지 않은 학생이 무슨수로 대학수학을 수강한다는 말인가?  뱁새를 부상시키지 않으면서 황새를 격려하려는 상반된 목적 때문에 입학 사정관은 항상 이런 모순된 이야기를 하고 학생/학부모는 이 말들을 잘 해독해서 읽어야 자신의 잠재력을 최대한으로 발휘할 수 있다.  즉, 부상을 입지 않는 정도록 가장 높이 나는 수준에 도달해야 하는데 이는 학생마다 다름으로 각자 실험하여 각자 발견해야 한다.

특히 미국에서 고등학교 졸업하신 학부모님 “나는 이렇게 하고도 충분히 성공했다”라고 직접살아본 인생에서 배운 굳건한 신념을 가지고 계시는데 인생의 다른 분야에서는 사실일지 모르지만 교육에서는 규칙이 바뀌어 20년은 물론 10년된 전략도 이미 더 이상 통하지 않는다.  굳건한 신념은 굳건한 실패로 연결된다는 것을 파악하시어야 한다.  (미국 주류 사회 학부형의 대입 무감각 참고)

P.S. 이 Brookings 리포트의 원 의도는 모든 8학년에게 Algebra 를 배우게 한데서 오는 부작용에 대한 글인데 이는 전체 학생에게 해당되는 이야기이지 top 1%, top 0.1%를 노리고 있는 독자분에게는 해당되는 내용이 아니라 생각하여 다루지 않았다.