사비오 칼럼

고등학교 수학에서 대학의 수학으로 가는 죽음의 길???

By James H. Choi
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National Council of Teachers of Mathematics (HCTM) (≈미국 수학 교사 협회) 의 회장이 기고한 글 입니다.

전문: http://www.nctm.org/about/content.aspx?id=28195

제목은 Endless Algebra — The Deadly Pathway from High School Mathematics to College Mathematics  (끝이  없는 알제브라 —  고등학교 수학에서 대학의 수학으로 가는 죽음의 길) 입니다.

전문을 읽어 보시면 아시겠지만 내용에 학생들이 한 없이 Algebra 만 배우고 있어서 정작 필요한 자료 분석을 제대로 못 배워 사회에 필요한 수학을 제대로 배우지 못한다는 내용입니다.

미국 수학 교사 협회의 회장이 말씀하는 “전형적인 학생의 수학 track”을 (원문에서는 track을 transition path라고 했습니다) 이렇게 표현 했습니다.

주: Intermediate Algebra 는 Algebra 1 과 2의 중간 수준이고 College Algebra 는 이름만 거창하지 내용은 Algebra 2 의 수준입니다.

제가 가르치는 학생들은 12학년에 Calculus를 배우는 것도 늦은 것으로 생각하는 학생들인데 미국수학교사협회 회장은 대학가서도 Algebra 만 하다 그만두는 학생들이 “전형적인” 학생으로 보고 있으니 같은 미국에서 같은 수학을 가르쳐도 이렇게 판이한 세계속에 살 수 있다는 것이 신기합니다.  하지만 대학생이 Algebra 만 배우고 수학을 마치는 것은 문제라는 점에 동의 합니다.

한데 그 다음이 문제입니다.  이 미국수학교사협회 회장이 제안하는 대안은 Algebra 에만 매이지 말고 자료분석을 가르치자는 것입니다.  들으면 그럴 듯 하지만 실은 죽도 밥도 안되는 교육 철학입니다.
제가 자료 분석을 가르치면서 항상 느끼는 것이 학생의 수학 실력 부족입니다.  제 자료 분석 코스에 들어오려면 Algebra 1을 마쳐야 한다고 조건을 다는데 Algebra 1도 모자라는 경우가 많습니다.  저는 그때 그 때 모자라는 점을 가르쳐서 진행하는데 제 멋대로 세상을 디자인 할 수 있다면 Calculus 를 마쳐야 자료 분석을 할 수 있다고 정하고 싶습니다.  (그래서 아무도 제게 세상 디자인을 맡기지 않습니다)

한데 이 수학교사협회의 회장의 말씀은 Algebra 를 한 없이 가르치는 대신 아예 Algebra 를 가르치는 것을 포기하고 자료 분석을 가르치자고 하니 기가 막힙니다.  저 뿐이 아니라 미국 수학자 협회의 회장도 “나는 수학교사협회 회장의 의견에 강력하게 반대를 합니다” (“I feel that I need to express my strong disagreement with him”) 라고 일부러 반대 입장을 협회지에 기고했습니다.

전문: http://maa.org/columns/launchings/launchings_03_11.html 

미국 수학 교사 협회의 회장과 미국 수학자 협회의 회장이 의견이 일치 하지 않는다고 공식적으로 천명하는 것이 흥미롭습니다.  수학의 세계와 고등학교 수학 교육의 세계가 얼마나 떨어져 있는지 보여준다고 생각합니다.

제 의견은 수학자 협회 회장의 의견과 마찬가지로 “기초가 되어 있어야 자료 분석도 할 수 있는 것이지 Algebra 도 모르면서 무슨 분석을 하겠다는 것이냐?” 입니다.  제가 수학 교사 협회 회장이었으면 한없이 Algebra 만 배우고 있는 것이 문제라고 제기하고 “Algebra 를 단번에 제대로 배워 Calculus 도 배우고 자료 분석도 배워야 한다”라고 했을 텐데 제가 보기에는 말도 안되는 “기초 배우는데 시간이 너무 오래 걸리니 기초는 포기하고 소프트웨어만 좀 다루면서 시간 때우자” (물론 그렇게 표현하지 않았지만 그런 결과가 나오게 됩니다) 라는 제안을 한 것이 기가 막힙니다.

ISEF 과학경시대회 출전의 제도적 난관

By James H. Choi
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제가 지난 5월에 ISEF에 가서 심사를 할 때 미 전국 그리고 전 세계에서 온 천여명의 학생들을 보면서, 그리고 제게 지정된 12개의 연구발표를 심사하면서 제가 하고 있던 생각은 “내 학생들도 여기에 출전 시켜야 하겠다”하는 다짐이었습니다.

이제 겨울 방학이 되면서 학생들에게 내년에 ISEF 나갈 준비 시작 하기 위해 거주 지역의 science fair와 마감일을 확인 하라고 email 보내었는데 정작 출전 하려는 학생들은 제도가 어떻게 돌아가는지 잘 모르는 소리를 하는 질문의 email을 보내 왔습니다.  그래서 제 거주 지역의 상황이 어떤가 보기로 하고 원장 선생님이 나서셔서 (저는 일을 시작만 해 놓고 수습은 다 원장 선생님이 하십니다) 알아봤더니 제가 출전 시키려는 학생이 (MIT에 합격한 학생. 인텔에 제출한 논문을 ISEF에도 제출할 계획이었습니다) 재학중인 고등학교는 이런 science fair에 참가한 적이 없고 또 올해는 시간이 촉박하고 여력이 없어 참가하지 않겠다고 통지를 해 왔습니다.  그리고 이런 대회가 있는 것을 알려 주어서 감사하다는 인사도 잊지 않았습니다.

“아니 미국에 있는 수십년된 고등학교가 미국의 수십년된 science fair를 모르고 있다가 내가 알려 주어야 눈을 뜬다는 말인가?” 라고 생각하니 기가 막힙니다.  더 기가 막히는 것은 이 학생들 (같은 학교 학생 두명이 각자 논문을 썼습니다)이 ISEF의 예선에 조차 시도도 못하는 상황이라는 것입니다.  하나는 이미 제1선택의 대학에서 입학 통지를 받았으니 다행이지 만약 11학년 학생들이 자신의 특별활동 기록으로 이 대회에서 빛을 낼 준비를 해 왔었더라면 논문다 써놓고 참가할 기회조차 없어 피눈물이 날 순간입니다.

그래서 제 학원은 저희 학생들을 위해 지역의 science fair를 총 주관하는 state fair의 책임자에게 가서 이 학생들이 다른 학교 이름으로 출전하도록 해 주거나 아니면 제 학원을 공식 참가 기관으로 승인해 달라고 신청해 놓은 상태입니다.  이것도 안된다고 하면 제 학생들 ISEF 못 나갑니다.

그러니 이번에 ISEF에 출전할 계획인 학생들 과연 재학중인 학교가 출전을 허락하는지 부터 알아 보셔야 합니다.  학교 과학 선생님이 ISEF가 뭐냐고 반문하시면 AMC가 뭐냐고 반문하는 수학 선생님과 했던 대화가 all over again 재현되는 순간이니 심호흡 깊이 하시고 화사한 표정을 절대로 잃지 않는 고도의 표정관리 모드로 몰입하셔서 이야기를 시작 하세요. 그리고 학교가 이번 지역 예선에 참가하도록 온유한 압력을 넣으세요.  그것이 통하지 않으면 학생의 ISEF 출전의 꿈은 끝입니다.  대신 Siemens나 Intel STS를 해야 하는데 Intel STS는 과학 선생님의 추천서 외에는 학교의 협조가 필요 없다는 것을 아는데 Siemens는 아직 출전 안 해봐서 확실히 모르겠습니다.  선배중에 이런 대회에 출전한 학생이 있으면 안심할 수 있는 것이고 출전 기록이 전혀 없고 과학 선생님이 ISEF가 무엇인지조차 모르면 전망이 어둡습니다.
학교의 큰 조직이 이런 새로운 행사를 받아들여 참가하기에는 시간이 걸리기 때문에 지금 8학년인 학생도 9학년에 참가하려면 1년 6개월이 남아 있지만 지금부터 진학할 고등학교에 관심을 가지고 봐야 하고 만약 고등학교가 참가하지 않고 있다면 지금부터 이야기 하여 거대하고 육중한 변화의 바퀴가 서서히 삐걱 삐걱 굴르기 시작하도록 은근학 압력을 넣어야 학생이 1년 후 출전을 하려고 할 쯤에는 모든 절차가 마침내 다 마쳐질 가능성이 있을까 말까 합니다.

ISEF에서 제가 만난 천여명의 학생들 다 아무리 재주가 있어도 이런 학생을 출전시키는 제도가 되어 있는 학교에 다녀야만 출전이 가능했던 것이었습니다.   그들은 똑똑한 학생들이기도 하지만 운도 좋은 복받은 학생들이었다는 것을 새삼 깨닫습니다.

제 칼럼의 독자님들 덕분에 미 전국에 AMC가 무엇인지 알게 되고 개최하기 시작한 학교가 상당수가 되어 가고 있습니다.  이제는 ISEF 과학 경시대회도 독자님들 덕분에 미국 고등학교에 널리 알려질지 모르겠습니다.  이민온 한국인 학부모님들이 기존 미국 학교에게 기존 미국의 교육 행사를 알려주어 미국의 전체의 교육의 질을 높여가고 있는 양상입니다.  이민자들이 사회에 활동력을 불어 넣는다는 말이 새삼 다시 느껴집니다.  이런 “치마바람”은 모두에게 유익하고 모두의 수준을 올리는 고무적인 커뮤니티를 위한 활동이라고 생각합니다.

저는 이런 대회를 “접수”해서 겉으로는 마치 전국에서 학생들이 모여 경쟁하는 것 처럼 보이지만 실은 다 전국에서 온 제 학생들끼리 경쟁하고 있는 대회로 만드는 것이 저의 음흉한 야심입니다.

AMC 8 점수 읽는 법

By James H. Choi
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AMC 점수 읽는 법  (한국어)

AMC 8 점수 읽는 법 Part 1

AMC 8 점수 읽는 법 Part 2

AMC 8 점수 읽는 법 Part 3

과학경시대회의 심사의 문제점 Part 2

By James H. Choi
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어제 Science Fair에서 느낀 심사의 문제에 대한 글을 썼는데 오늘 바로 그 내용으로 email을 받아 다시 생각하게 되었다.  내가 일하는 학원의 원장님이 이 지역의 Science Fair의 co-chair 이시기 때문인지 어제 있던 Science Fair의 판정에 대한 항의 편지가 온 것이다.  원장 선생님은 심사위원 선정이나 심사에 아무런 관계가 없는데 Science Fair 관계자 전원에게 다 보낸 것 같다.

학생을 준비 시켜 출전 시킨 과학 선생님이 쓴 email 이데 다른 학교의 모든 과학 선생님들로부터  칭찬을 받은 우수한 연구 작품이 “갓난아기 데리고 와서 심사를 한 부인의” 말도 안되는 비평을 받고 예선도 통과하지 못했다는 것이다.  잘못된 점을 지적한 것이 전혀 과학을 모르는 사람이 쓴 것이고 연구와는 해당이 되지 않는 소리라는 것이라는 것이다.   이 선생님이 학창 시절의 과학 선생님도 이 Science Fair가 엉터리라 혹평하며 참가 하지 않았었는데 이제는 그 스승의 마음을 이해하게 되었다는 것이다.

나는 왜 그 심사 위원이 그런 질문을 하고 그런 비평을 썼는지 안다.  Science Fair 시작 한 시간 전 심사위원 트레이닝 할 때 “연구 내용을 전혀 모르겠으면 이런이런 것을 물어보아 이렇게 이렇게 평가를 쓰세요”라고 가르치는 지침을 그대로 실천한 것이다.  이 단순한 평가 방법은 전형적인 경우에만 해당될까 말까 하지 연구가 조금만 독창적이면 전혀 통하지 않게 되다.  예를 들어 컴퓨터로 Number Theory를 연구하는데 “측정에 오차가 얼마나 되었는가?”  “실험을 몇 번 실행했으며 결과의 차이는 얼마나 났는가?”  모든 단위는 metric으로 되었는가 같은 것은 전혀 해당되지 않는 질문이다.  컴퓨터로 1+1을 백만번 해 봐야 답은 2가 나오기 때문에 “몇 번 해보았는가?”라고 묻는 것 자체가 웃기는 것이다.  하지만 이런 내용을 이해 못하는 심사위원에게 걸리면 “실험을 반복하지 않았다”라고 감점을 받는다.

나도 내 학생의 연구가 인터넷에서 copy-and-paste 한 학생의 연구와 같은 점수를 받은 기가막힌 상황을 나도 겪어서 이 선생님이 분개하는 것을 잘 이해 한다.  만약 내 학생이 State로 나가지 못하고 인터넷에서 copy-and-paste 해서 출전한 배짱 좋은 친구의 연구가 State로 갔다면 나도 심히 분개했을 것이다.
한편으로는 이렇게라도 해마다 Science Fair를 조직하느라 봉사하는 임원들이 감사하고 다른 편으로는 뺑뺑이 돌리는 것과 별 다를 것이 없는 심사결과에 심한 회의를 느끼고 그동안 내가 Science Fair에 아예 참가조차 안하는 학교의 자세가 한심하다고 생각 했던 것을 다시 생각해게 된다.  그들의 Science Fair 에 대한 문관심이 “게으름”이라 생각했었는데 어쩌면 “현명함”일지 모른다는 생각도 든다.

하지만 내 입장에서는 선택의 여지가 없다.  MIT 로 진학하기 원하는 학생들을 위한 가장 확고하고 바람직하고 교육적이고 재미있고 신나는 준비는 과학 경시대회에서 입상하는 경력을 쌓는 것이고 그 첫 관문은 이 Regional Science Fair이기 때문에 밉던 곱던 이 제도에 적응을 해서 통과를 해야 한다.  그러니 돌아설 수 없고 비정상적인 평가 제도를 파악하여 그에 따른 비과학적인 발표를 준비 시키는 지경까지 가더라도 이 첫 관문을 통과하여 Intel ISEF에 가서 제대로 과학의 내용으로 승부를 가르게 만들어야 하는 것이다.

이 Science Fair에 관심을 가지신 학부모님들은 지금부터 재학중인 자제분의 학교가 Regional Science Fair에 참가하는지 알아 보셔야 한다.  내가 가르치는 지역의 대부분 공립 고등학교는 참가하지 않기 때문에 내 학원을 참가 학교로 등록시켜 내 학생들에게 참가의 기회를 열어 주어야 했다.  기가막히게 부조리 하고 불공평 한 것으로 느껴지시겠지만 Regional Science Fair에 참가하지 않는 학교에 재학중인 학생들은 아무리 아인스타인이어도 첫 단계가 막혔기 때문에 ISEF에 출전할 방법이 없다.  단 Intel STS (유학생도 가능 12학년만 출전)나 Siemens(영주권, 시민권자만 가능 9학년부터 출전 가능) 에 출전할 수 있는데 Science Fair 도 안하는 학교가 과연 유난을 떠는 학생들을 위해 얼마나 도움을 줄지는 미지수이다.

참고:
Intel STS 는 Science Fair 같은 첫 관문 없이 직통으로 연구 결과를 보낼 수 있다.   그리고 ISEF보다 더 권위가 있는 대회이다.  하지만 이 대회는 12학년만이 출전할 수 있다.  설사 Science Fair에서 해마다 억울하게 선택을 받지 못하는 불운이 겹치더라도 해마다 그 수준으로 준비를 한 장단이 있어야 나중에 Intel STS 수준을 연구할 수 있지 심사가 엉터리라는 이유로 연구에 손을 놓고 있다가는 12학년 되어 갑자기 할 수 있는 일이 아니다.

Siemens는 미국의 영주권자와 시민권자로 참가 자격을 제한하는데 개인전은 12학년만 출전할 수 있지만 팀 (3명까지) 대회는 9학년부터 참가가 가능하다.

Intel STS 나 Siemens에서 승산이 있으려면 Mentor의 가이드를 받아야 한다.  Mentor의 역할은 두가지.  연구의 방향을 제시해 주고 해봐야 시간 낭비인 일을 예방해준다.  학생 혼자 좌우 충돌을 하며 익히는 것은 바람직하지만 막다른 골목마다 다 들어가다 보면 시간 내로 연구의 결과를 얻을 수가 없다.

과학경시대회의 심사의 문제점 Part 1

By James H. Choi
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Intel ISEF (International Science and Engineering Fair)에서 심사를 하는 것과 Illinois Regional Science Fair에서 심사를 하는 것은 일일이 다 열거할 수 없을 정도로 전혀 다른 경험이다.  (다른 주도 비슷하리라 예상한다)  예를 들어 ISEF에서는 학생의 연구에서 미흡한 점을 찾아내어 막상막하의 출전 학생중에 참된 우수한 연구를 변별하는 것이 목적인데 Regional Science Fair에서는 웬만하면 점수를 후하게 주고 격려의 말을 넉넉히 하여 학생들이 과학경시대회에 관심을 잃지 않도록 하는 것이 목적이다.

그리고 또 하나 차이가 있다면 심사위원의 과학지식 수준이다.  ISEF는 주로 박사를 우선으로 선발하고 박사학위가 없더라도 그 분야에서 6년인가 근무한 사람을 심사위원의 자격으로 정한다.  Regional Science Fair에서는 자원 봉사자로 심사위원을 채운다.

항상 심사위원의 수가 모자라서 학생을 출전 시키는 학교에서는 일정 수의 심사위원을 의무적으로 참가시켜야 하고 만약에 그 학교에서 하나도 심사 위원을 보내지 않았으면 그 학교의 학생은 ISEF 출전 자격을 자동으로 잃는 제도를 운영하고 있다.   그만큼 심사위원을 확보하는 것이 어려운 것이다.

그래서 상당 수의 심사위원은 학부모님이거나 반 타의로 끌려온 자원 봉사자이다.  심사위원 수를 채우기도 힘드니 자격을 따질 여유는 없다.  그래서 과학을 전혀 모르는 과학경시대회 심사위원이 등장한다.  등장하는 정도가 아니라 대부분이 과학을 잘 모르는 심사위원이다.  심사위원 훈련 시간에 “과학에 대해 전혀 몰라도 됩니다”라고 선언하여 자원 봉사자들을 안심시킨다.

나는 1차, 2차, 3차 심사위원을 다 해 보았지만 1차는 물론 2차에도 과학을 모르는 심사위원이 반 이상이다.  3차에서도 100% 과학을 아는 사람들이 아니다.  그래서 과학을 하는 몇 사람의 의견이 지배하고 그 소수의 과학을 아는 사람의 마음에 드는 연구가 수상을 하게 된다.

이 과학을 모르는 심사위원이 심사하는 과학 경시대회에서는 여러분이 짐작하시듯 온갖 웃지 못할 일들이 일어난다.  웬만하면 웃겠는데 학생의 장래가 좌우되고 있으니 심각한 상황이다.  내 학생의 장래까지 얽히게 되면 피눈물이 날 지경이다.
한 예로 오늘 나는 물리 심사를 하다 잠시 수학으로 출전한 내 학생의 booth에 가 보았다.  내 학생의 연구는 내가 mentor로 지도 했으니 내용을 내가 훤히 아는데 이 연구는 처음에는 간단하게 생각하고 시작 했다가 점점 내용이 깊어지고 신비로워져서 지금 나도 학생도 흥분을 느끼며 실험을 하고 있다.  (실험=Mathematica programming and running)  컴퓨터 20대를 이틀 동안 돌려 실험 결과가 나올 때마다 “어?” 하면서 놀라게 되는 진정한 (아무도 답을 모르는 문제를 풀어가는) 연구를 하고 있어 내가 말이 mentoring을 하고 있는 것이지 실은 나도 답을 모르는 채 새로운 수의 세계를 탐험하는 진정한 Number Theory 연구이다.  지금 기세로는 현재 8학년의 학생이 이 주제로만 두고 두고 9학년 10학년, 11학년에 걸쳐 점점 더 깊은 연구를 하게 될 것 같다.

내 학생 바로 옆에 있는 학생의 수학 연구 내용을 보니 기가 막혔다.   널리 알려져 있는 공식에 수치를 대입하여 답이 무엇이 나오는가를 보는 것 뿐이고 결과의 그래프도 (누구나 다 아는 유명한 그래프) 자신이 직접 만들 것이 아니라 인터넷에서 베껴와서 프린트를 한 것이 다였다.  내가 그의 연구를 보고 튀어나온 질문은 “what is new here?” (새로운 발견이 무엇이었나?) 였다.  그의 답은 어깨를 으쓱 하는 것 뿐 대답을 못했다.  그냥 복잡해 보이는 수학 공식 하나 써 놓고 인터넷에서 그래프 하나 복사해서 프린트 해 놓으면 뭔가 되리라 생각한 배짱인 셈이다.

그리고 그 학생의 배짱은 적중했다.  내 학생과 같은 점수를 받은 것이다.  이런 천지차이의 연구가 같은 점수가 되다니???

실력과 배짱이 구별되지 않는 과학경시대회가 미국의 Regional Science Fair의 현주소이다.  별 내용 없는 연구도 심사위원들 얼떨떨하게 잘 포장하면 상당히 높은 점수를 얻을 수 있는 것이다.

미국은 과학과 공학을 권장하기 위해 이렇게 과학경시대회를 개최하여 과학을 권장하고 있지만 이미 과학을 모르는 세대가 심사를 하여 학생의 연구 수준과 포상의 관계가 무의미하게 만들고 있으니 세대에 지식이 끊어진다는 것이 다음 세대의 지식 전수에 얼마나 큰 영향을 주는 것인지 실감하게 된다.

나는 심사위원이 과학과 관계 없는 자원 봉사자라는 사실을 알고 있었기 때문에 내 학생의 발표를 준비시킬 때 수학을 이해 못하는 심사위원을 위해서 수학 용어를 사용하지 않는 발표까지 연습시켰다.  덕분에인지 이 학생은 State에 진출하게 되어 기뻤지만 그 옆에 있던 학생도 State로 진출했다니 억울한 생각이 든다.

“It is not enough that we succeed.  Others must fail.”

Gore Vidal

하지만 앞으로 몇 십년간은 이 상황이 바뀌어질 수가 없다.  우리가 할 수 있는 것은 규칙을 다 준수하되 심사위원의 수준에 맞는 발표와 보고서를 준비 하는 것이 가장 승산의 확률을 높이는 방법이라 생각된다.  즉, 같은 연구의 발표를 Regional Science Fair에서 하는 발표와 (일반인 대상 발표) ISEF에서 하는 발표를 (분야 전문가의 가혹한 질문을 전제한 발표) 따로 준비해야 해야 중간에 억울하게 탈락되지 않고 제 실력만큼 올라갈 수 있게 되는 것이다.