사비오 칼럼

학생들이 해마다 부딪히는 물리와 기하의 장벽

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
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기하와 물리:  반복이 되더라도 미리 배워야 하는 과목

중간고사가 다가올 때쯤 학원을 찾아오는 학생들은 발등에 불이 떨어진 학생들입니다.  여태까지 한번도 학원에 간 적이 없다는 학생도 이때 찾아오게 되는데 이 학생들을 절망시키는 근원은 주로 물리와 기하입니다.

물리와 기하는 학생들을 극과 극으로 나눕니다.   단번에 이해하는 학생이 있는가 하면 한참 설명을 해 주어도 도저히 모르겠다고 하는 학생이 있습니다.  그 동안 공부를 못 해온 학생이 물리에서도 고전을 한다면 놀라울 일은 없는데 늘 A 받아오던 학생이 예상치 않게 외다리에서 물리를 만나는 경우가 많습니다.

물리에 대해서

일단 물리가 어렵다는 것을 뒤 늦게 깨닫고 도움을 청해오는 학생이 A 를 받고 끝날 확률이 30%정도 입니다.   AP Physics 에서 5점을 받을 확률은 더 낮습니다.  이런 학생은 결국 스트레스 속에 살며 바둥거리다가 A를 놓치고 끝내기 쉽습니다.

이런 학생은 방학 내내 미리 예습을 했어야 합니다.  방학 내내 한다고 A 를 받는 보장을 절대로 없습니다.  하지만 전혀 준비를 안 한 것 보다는 훨씬 수월하게 해낼 수가 있죠.  하지만 우등생들이 방학동안 예습을 하지 않는 것은 이해할만합니다.  여태까지 공부 잘 해오던 학생이 갑자기 물리에서 이렇게 고전을 할 줄은 본인도 몰랐죠.  간단하게 A 를 받고 5점을 받을 수 있다고 생각하는데 “혹시” 라는 기분 하나로 그 귀한 여름 방학을 물리 공부하느라 시간과 돈을 낭비하는 것도 무모해 보입니다.  사실 혼자 잘 해 낼 학생이 방학 때 예습하는 것은 낭비입니다.

그렇다면 물리를 미리 공부해야 하는지 그럴 필요가 없는지 어떻게 알 수 있을까요?

여름 방학 때 하는 1주나 2주 정도의 물리 적성 측정을 코스가 답인 것 같습니다.  그 코스를 해 보고 잘 해내면 걱정할 것 없고 고전할 것이 예측되면 방학 동안 배워두도록 하는 것이지요.  물론 저 같이 학원을 하는 사람은 일부러 장사속으로 어렵게 가르쳐 코스를 하도록 만들 수도 있으니 학부형님은 덮어놓고 믿지 마시고 날카로운 눈으로 공정성을 가려야 하겠습니다.

물리를 잘 해내리라는 보장의 지표는 찾기 어렵지만 물리를 어려워 할 것이라는 지표는 간단히 알 수 있습니다.  수학에 약한 학생은 물리에서 고전을 합니다.  수학은 물리의 언어이기 때문입니다.  삼각함수 (trigonometry) 를 배우지 않고 물리 시작하는 학생은 틀림없이 고전합니다.  제가 가르치는 학군에서는 학생들이 Algebra 2와 동시에 물리를 그것도 AP Physics 를 하도록 하는데 이는 고전을 보장하게 되고 그런 학생의 반 정도는 중도 하차할 것이 명약관화한 방침입니다.  Algebra 2를 끝내고 Physics 를 해야지 Algebra 2와 AP Physics를 병형 하게 되었으면 물리에서 고전할 것을 기정 사실로 보셔도 됩니다.

수학이 앞서 있으면 물리도 쉬워지는 것이 수학 트랙을 앞서 나가야 하는 많은 이유 중에 하나입니다.  (제 올해의 교육 실험은 수학이 앞서있는 학생들에게 AP Physics C Mechanics 를 가르쳐 시헝을 보도록 하는 것입니다.  Calculus 를 알면 Physics Mechnics 는 저절로 이해하게 된다는 제 이론을 실험해 보는 것이지요.)

물리를 여름 동안 공부해서 앞서 나가는 것이 효과가 있습니다.  여름 동안 미리 해 예습해 놓은 학생이 중도 하차하는 경우는 없었습니다.  여러가지 사정으로 예습을 못한 학생은 잘 하기도 하고 drop 을 해야 하기도 합니다.

지금 물리를 잘 하고 있는 학생은 잊지 마시고 SAT 2 준비를 동시에 시켜 일석이조의 효과를 보도록 하세요.
기하 (geometry) 에 대해서

수학을 잘 해오던 학생도 기하에서 고전을 하는 경우가 많습니다.  특히 증명 (proof) 에서 고전을 하는 경우가 많습니다.  누가 기하를 잘 할지 고전할지는 예측을 불허해서 저도 제가 제 학생에 대해 확답을 할 수 없습니다.  어려서 lego 를 많이 한 학생, 지도를 잘 보는 학생이 기하를 잘 한다고 생각해 보고 여태까지 주위에 학생을 보면 연관이 있어 보이지만 과학적인 자료는 아닙니다.  그러니 다음 해에 기하를 학생도 한번 증명을 배워 보고 수월해 보이면 그만두고 어려워 보이면 여름 동안 예습을 해 두는 것이 가장 현명하다고 생각 합니다.

지금 물리와 기하를 하고 있는 학생에게는 너무 늦은 이야기 이지만 내년에 물라나 기하를 할 학생을 두신 학부형님은 여름 학기 시작할 때 자녀님의 이 두 과목의 적성을 잘 측정 하셔서 개학하고 뒤 늦게 당황하는 일이 없도록 미리 준비해 두시기 바랍니다.

기하와 물리: 반복이 되더라도 미리 배워야 하는 과목

By James H. Choi
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저는 선행학습을 하여 두 번 배우는 것을 반대합니다.

하지만 Geometry와 Physics는 미리 예습을 하여 자신의 소질을 확인하고 가야 한다고 생각합니다.

이 유는 유독 이 두가지 과목만 똑똑한 학생들이 수렁에 빠져 헤어나지 못하는 경우가 자주있기 때문입니다.  제가 오래 가르쳐왔지만 아직도 누가 이 두 과목에 발목이 잡힐지 미리 알아보지 못합니다.  통계는 없는데 여학생에게 더 자주 있어나는 것으로 기억됩니다.  특히 모범적이고 숙제도 잘하고 모든 과목에서 A 를 받던 학생이 이 두 과목을 배우게 되면 좌절을 할 정도로 고전을 하게 되는 경우가 발생합니다.
그러면 그제서 보충 수업을 듣고 당분간 성적을 만회하기 위해 스트레스 속에 살게 되는데 그렇게 따로 수업을 받고 도움을 청해야 한다면 이런 상황이 벌어지기 전에 미리 예습을 하는데 돈과 시간을 쓴 것이 더 현명했을 텐데 하고 항상 외양간을 고치며 생각합니다.

그러니 내년에 이 두 과목을 배우게 되어 있는 학생은 방학동안 몇 Chapter라도 미리 공부하여 자신의 적성을 미리 알아보는 것이 현명합니다.  Geometry의 경우에는 적어도 4 chapter 는 배워야 본격적인 내용을 구경해 본 것이 되고 Physics의 경우는 적어도 Energy까지 배워봐야 뻔한 소리하고 있는 과목인지 도무지 이해할 수 없는 과목인지 알아볼 수가 있습니다.

쉽다는 것이 판정되면 그 때는 안심하고 예습을 중단하고 방학을 즐길 수 있습니다.  어렵게 느껴지면 지속해서 방학동안 배우는 데까지 다 배우고 개학하고 나서도 그 진도를 학교와 병행해서 나가면서 앞서가야 합니다.  제가 적극 피하라고 강조하는 두번 배우는 양상이 되지만 이 두 과목에 유난히 적성이 없으면 어차피 두번 세번 배우게 됩니다.  미리 선수쳐서 성적도 지키고 스트레스도 줄이는 것이 전형적인 뒤늦게 알아 집안 시끄러워지는 방식보다 현명합니다.  그리고 뒤늦게 도움이 필요한 것을 깨닫고 학원 찾아가면 여러 학교의 여러 반의 여러 학생이 여러가지 챕터를 배우고 있어서 내게 당장 필요한 것을 제때 배우지 못하는 경우가 자주 있습니다.  어차피 도움을 받아야 할 것이라면 미리 준비하는 것이 절대적으로 열 배 효과적입니다.

Physics에 대한 학생의 반응은 극과 극입니다.  일부 학생에게는 어려운 과목이지만 다른 일부에게는 아주 쉽습니다.  Physics 가 쉬운 것을 확인한 학생은 학생의  경우는 예습을 그만두고 방학을 즐길 수도 있지만 차라리 SAT Physics 를 다 배워버리고 학교에서는 AP Physics B 로 들어갈 수 있습니다.  Physics 가 쉬운 학생은 Physics가 재미있기도 하기 때문에 이 아이디어에 대해 거부감을 보이지 않을 것입니다.  그리고 이런 식으로 앞서지 않으면 Physics에 소질이 있다는 표시가 전혀 나지 않는 평범한 성적표가 됩니다.  방학 끝나고 SAT Physics 시험 하나를 보아 치워놓겠다고 목표로 하고 공부하면 목표도 있고 도전 의식도 생기고 대입시 기록으로도 보기 좋습니다.

기하를 잘 하는 법

By James H. Choi
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기하 증명을 배우는 것은 작문을 배우는 것과 비슷한 점이 있습니다.  선생님이 가르치는 것을 들으며 고개 끄떡끄떡 한다고 해서 터득하는 것이 아니라 증명을 직접 하고 그것을 채점을 받아야 배워집니다.
이해는 잘 했는데 시험에서 못하다는 것은 제대로 이해를 못했다는 것입니다.  이해는 잘 하는데 유난히 시험에 약하다는 학생들은 시험만이 이해의 정도를 측정하는 유일한 도구인 것을 인정하고 자신의 이해도에 터무니 없이 후한 점수를 주는 일을 중단해야 합니다.  자신의 부족함을 깨닫고 인정할 때 발전이 시작 됩니다.  제가 가르치는 학생들도 “나는 실력은 있는데 시험을 잘 못 봐”라고 하는 학생들이 있는데 그들에게는 “시험 점수가 너의 실력이다”라고 못 박아서 변명할 구실을 막아버립니다.

개인 지도를 받으면서도 성적이 오르지 않으면 두가지 경우가 있습니다.  하나는 학생이 제대로 배우지 않는 경우고 다른 하나는 선생님이 제대로 가르치지 못하는 경우입니다.  어느 경우인지 판단하는 것은 간단치 않으나 선생님을 바꾸는 것은 간단합니다.  여러 선생님에게 직접 배워보지 않고서는 누가 잘 가르치는지 알기 어렵습니다.  먼저 선생님을 해고 하지 마시고 학생을 새로운 선생님에게 따로 배우도록 해 보세요.  잠시 두 선생님에게 배우다가 더 잘 가르치는 선생님을 선택하세요.

잘 가르치는 선생님이란 개념을 잘 전달할 뿐 아니라 학교의 시험 성향도 파악에 거기에 맞도록 가르칠 수 있는 것입니다.  혹시 개인 교사 선생님이 “시험 성적을 올리는 것이 중요한 것이 아니라 제대로 배우는 것이 중요하다” 라는 식으로 나올 수 있으나 그런 말은 다 빈말입니다.  “제대로 배우는 것이 성적 향상에 연결이 안 된다면 제대로 배운 것이 아니라” 라고 대답하시면 되겠습니다.

선생님의 실력도 중요하지만 학생과 “죽”이 많는 것도 아주 중요합니다.  학생이 호감을 가지고 잘 배울 수 있는 선생님을 선택하시면 변화가 있은 수 있습니다.  하지만 결국에는 성적을 올려 놓는 것이 목적이니 그 점을 선생님들에게도 확실히 하세요.  저에게 배우는 학생들 중에도 저 대신 다른 선생님에게 배우면 더 효과가 날 경우가 있을 것입니다.  한 선생님이 모든 학생을 다 최고로 가르치는 것은 불가능합니다.

그리고 한가지 좋은 소식은 증명은 아마도 첫 semester 로 끝날 것입니다.  다음 semester에서는 계산 기하가 시작되기 쉽습니다.  지금은 증명으로 고전을 하고 있을 수 있지만 다음 학기에는 계산으로 점수를 만회할 기회가 오는 것이죠.

기하를 가르치는 교사의 심정

By James H. Choi
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기하에서 배우는 내용을 두가지로 분류 됩니다.  하나는 증명이고 다른 하나는 계산입니다.

증명 기하 자체는 기하를 배울 때만 사용하지 다른 시험에 나오지 않습니다.  계산 기하는 SAT, ACT 시험에 적어도 25%의 비중을 차지하고 나옵니다.

학생들이 기하에서 어려워 하는 것은 증명입니다.  기하의 증명은 흑과 백이 아주 분명한 가상의 세계에서 이루어지는 완전 흑백의 대화라고 할 수 있습니다.

인간 생활에 이렇게 흑백논리가 성립되는 경우는 없습니다.  현실의 논리는 항상 예외가 있고 참작해야 할 점이 있고 이해해야 할 부분이 있고 의견차이를 존중해주어야 합니다.  하지만 이렇게 현실이 두루뭉실하다고 해서 그에 대한 훈련도 두루뭉실해서는 안 됩니다.  원색이 극단적으로 분명하게 구분일 될 때 그 세가지를 섞어 모든 중간색을 자유자재로 나타내는 것이지 회색만 가지고는 다른 색을 낼 수 없습니다.  그래서 기하는 그 실용적인 용도 외에서 우리의 마음을 수련하기 위해서 2400년 전 그리스에서부터 오늘까지 가르쳐 왔습니다.  소크라테스, 플라토, 아리스토틀이 오늘 미국의 고등학교 수업에 들어간다면 그들이 알아볼 과목은 기하 뿐입니다.  그렇게 긴 세월 동안 오직 기하만 변하지 않고 전수되어 오는 것을 보면 기하가 얼마나 시대와 사상을 초월한 깊은 진리를 가르치는 것을 알 수 있습니다.

이렇게 오래되고 이렇게 기본적인 학문임에도 불구하고 고등학생들은 유클리드의 기하가 완성 된지 2400년이 지난 오늘도 줄기차게 고전을 합니다.  제 학생들도 고전을 합니다.  제가 교사로서 가장 어려운 점은 누가 증명을 어려워할지 예측하기가 어렵다는 점입니다.  누가 고전을 할지 미리 예측할 수 있으면 미리 예습을 시키겠는데 이 기하 증명은 어느 학생이 고전을 할지 예측을 불허합니다.  수학을 잘 해오던 학생이 갑자기 기하가 어렵다고 합니다.  제가 수학을 가르쳐 오던 학생이 기하가 어렵다고 하면 한 50%는 뒤통수 맞는 기분입니다.  한데 제가 화들짝 놀라서 붙잡고 상세히 설명을 해 주어도 성적에 올라가지 않습니다.  어떤 학생은 제 학원에서 여름 내내 미리 기하를 미리 배우고 학교 수업에 임했는데도 A 를 받기 어려워 고전을 합니다.

학교 선생님들은 맡은 학생들에게 A 에서 F 까지 골고루 분배하는 것이 의무이지만 저 같은 경우에는 제 학생이 A 를 못 받으면 당장 생계에 위협을 받습니다.  어떻게 해서든 A 를 받도록 해 주어야 하는데 그것이 쉽지 않습니다.

증명을 어려워 하는 학생을 가르치는 것이 참 어렵습니다.  제게 너무나도 뻔히 보이는 것이 그들에게는 보이지 않는 것입니다.  기하를 가르치는 사람은 기하를 잘 한 사람들입니다.  기하의 증명이 쉬운 사람이 고전하는 사람을 가르치는 자체가 모순일지도 모릅니다.  2+2 가 4가 되는 것을 설명하는 것 같이 어렵게 느껴집니다.  너무나도 당연한 것을 어떻게 설명해야 할지 몰라 망막한 것입니다.  물론 돌 네개를 사용해서 보여주고 결과를 외워 버리게 할 수 있지만 숫자란 무한대로 많고 그 모든 덧셈을 다 돌로 보여주고 다 외울 수는 없기 때문에 문제입니다.  즉 증명이 어려워 하는 학생들은 2 + 2 = 4 를 배우고 나서도 2 + 3 을 어려워 하는 셈입니다.  증명이 어려운 학생은 틀림없이 어떤 생각하는 사고방식이 있고 그 사고방식에서 어떤 오류가 있기 때문에 문제의 의도가 보이지 않는 것입니다.

(이는 의견 차이가 아니라 오류 error 입 니다.  기하의 모든 증명은 현실에서 재생해 내어 측정해서 보일 수 있기 때문에 아무리 사고방식이 다른 학생이라도 결과에 그리고 그 결과에 도달하는 해결 과정에 동의할 수 밖에 없습니다.  2+2 = 4 라는 것과 마찬가지 입니다.)

하지만 저는 그들이 어떤 식으로 생각하기에 이렇게 막히는가를 찾아내지 못하고 있습니다.  어쩌면 정답은 하나이지만 오답은 무한대로 많듯이 이들의 오류는 증명에 고전하는 학생의 수 만큼 다양할지 모릅니다.  저는 수학을 가르칠 때 학생이 왜 틀렸는지를 대개 압니다.  문제를 풀다가 학생의 펜이 어느 부분에서 잠깐 주저하는 것만으로도 약점을 파악합니다.  잘 가르치는 교사란 옳은 방법을 가르치는 것이 아니라 학생이 어떤 생각을 하고 있는지 알고 그 생각의 오류를 지적해주는 사람입니다.  오류 자체를 없애야 그 다음 문제를 풀 때 제대로 생각을 할 수 있기 때문입니다.  학생이 무엇을 잘 못 생각하고 있는지를 파악할 수 있으면 답을 이야기 해 주지 않아도 질문만 해서 답을 유도해낼 수 있습니다.  수학의 세계를 탐험하는 지도의 틀린 부분을 수정해 믿을 수 있는 지도로 만들어 주는 것이죠.
단 저는 기하 증명을 가르칠 때만은 학생들의 생각을 읽지 못합니다.  증명을 어려워 하는 학생들에게서 제가 읽을 수 있는 것이란 잘 못된 지도가 아니라 한치 앞도 안 보이는 안개입니다.  어떤 생각의 오류로 길을 잘 못 선택하는 것이 아니라 앞이 하나도 안 보이는 상태에서 나가자니 계속 헛짚는 것입니다.  그러니 헛짚은 부분에 의미를 줄 수도 없습니다. 

학원을 시작하면서 기하 가르치는 것 만은 미룰 수 있을 때까지 미루었습니다.  가르치고 싶지 않았습니다.  기하를 가르치는 애로를 잘 알고 결과가 일정치 않을 것을 알고 있었기 때문입니다.  하지만 수요가 너무 커서 결국 가르치기 시작 했지만 결과는 예상대로 만족하지 못합니다.  이쯤 되면 제가 실력 없는 교사라는 것은 자인하고 물러나야 할 것 같습니다.

한데 문제는 제가 가르치는 학생의 반 이상이 기하를 잘 합니다.  제가 한마디 설명을 하면 척 알아 듣고 아무리 개념을 꼬아 놓아도 척척 풀어 냅니다.  9개월 배우는 기하 과정을 몇 주 만에 간단히 끝냅니다.  이런 학생을 가르치면 제가 기하를 가르치는데 비범한 능력을 가진 사람으로 착각할 지경입니다.

기하 증명을 가르치는 것은 이렇게 교사부터 극과 극에서 강팡질팡하게 됩니다.  학교는 이런 고전을 생략하고 아예 증명을 가르치지 않는 기하 과정을 만들어 문제를 원천봉쇄하고 교사의 불면증과 수명 단축을 예방하고 있습니다.  학생들도 기하 증명을 가르치지 않는 쉬운 코스를 선택해서 증명을 피하는 것이 한 방법이기는 그리고 많은 학생이 그런 트랙을 하고 있지만 그러면 honor course 가 되지 않아 높은 트랙에서 탈락 되는 것이 문제입니다.  정상을 노리는 학생은 증명도 해낼 수 있어야 하니까요.

기하 증명을 가르친다는 것은 불가항력으로 보이는 문제로 보이지만 저는 아직 항복하지는 않습니다.  저는 전형적인 남자 엔지니어 타이프로 문제를 보면 당장 해결하려고 합니다.   이 기하는 반드시 누구나 이치를 깨닫게 하는 방법이 있다고 생각합니다.  무슨 믿음이 필요한 것도 아니고 누구나 2+2=4 라는 것을 이해할 수 있듯 기하도 제대로 원리를 보여주면 다들 공감을 하는 것이니 그 지극히 당연한 이치를 깨달을 수 있다고 생각합니다.  특히 기하는 모든 면이 시각적으로 표현될 수 있기 때문에 그림만 제대로 만들어 주면 누구나 다 이해를 할 수 있습니다.  단 한가지 확실한 것은 지금까지 가르치던 대로 지속하면 지금까지의 결과를 지속적으로 얻을 것이라는 것이죠.

그래서 이 Geometer Sketchpad 를 사서 새로운 가르치는 법을 연구 중입니다.  많은 학교들이 이 software 를 사용하지만 저는 그 보다 더 효율적인 방법으로 학생들에게서 “아하!” 를 유도해 낼 수 있다고 생각합니다.  이 software 를 사용하면 도형을 잡아 흔들고 찌그러트릴 수 있기 때문에 추상적으로 보였던 도형들이 만지는 느낌이 들 정도로 구체적이 될 수 있습니다.  2007년 내로 기하 증명 전 과정을 e-Learning으로 완성할 것입니다. (Algebra에서 Calculus까지의 수학 과정을 먼저 개발 하고 그 다음에 Geometry를 할 것입니다)  이 새 시각적인 교육 방법이 모든 학생들에게 기하 증명을 터득하도록 할지는 미지수 이지만 다른 어떤 기존 방법보다 효율적이 되리라 생각됩니다.