사비오 칼럼

기하를 가르치는 교사의 심정

By James H. Choi
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기하에서 배우는 내용을 두가지로 분류 됩니다.  하나는 증명이고 다른 하나는 계산입니다.

증명 기하 자체는 기하를 배울 때만 사용하지 다른 시험에 나오지 않습니다.  계산 기하는 SAT, ACT 시험에 적어도 25%의 비중을 차지하고 나옵니다.

학생들이 기하에서 어려워 하는 것은 증명입니다.  기하의 증명은 흑과 백이 아주 분명한 가상의 세계에서 이루어지는 완전 흑백의 대화라고 할 수 있습니다.

인간 생활에 이렇게 흑백논리가 성립되는 경우는 없습니다.  현실의 논리는 항상 예외가 있고 참작해야 할 점이 있고 이해해야 할 부분이 있고 의견차이를 존중해주어야 합니다.  하지만 이렇게 현실이 두루뭉실하다고 해서 그에 대한 훈련도 두루뭉실해서는 안 됩니다.  원색이 극단적으로 분명하게 구분일 될 때 그 세가지를 섞어 모든 중간색을 자유자재로 나타내는 것이지 회색만 가지고는 다른 색을 낼 수 없습니다.  그래서 기하는 그 실용적인 용도 외에서 우리의 마음을 수련하기 위해서 2400년 전 그리스에서부터 오늘까지 가르쳐 왔습니다.  소크라테스, 플라토, 아리스토틀이 오늘 미국의 고등학교 수업에 들어간다면 그들이 알아볼 과목은 기하 뿐입니다.  그렇게 긴 세월 동안 오직 기하만 변하지 않고 전수되어 오는 것을 보면 기하가 얼마나 시대와 사상을 초월한 깊은 진리를 가르치는 것을 알 수 있습니다.

이렇게 오래되고 이렇게 기본적인 학문임에도 불구하고 고등학생들은 유클리드의 기하가 완성 된지 2400년이 지난 오늘도 줄기차게 고전을 합니다.  제 학생들도 고전을 합니다.  제가 교사로서 가장 어려운 점은 누가 증명을 어려워할지 예측하기가 어렵다는 점입니다.  누가 고전을 할지 미리 예측할 수 있으면 미리 예습을 시키겠는데 이 기하 증명은 어느 학생이 고전을 할지 예측을 불허합니다.  수학을 잘 해오던 학생이 갑자기 기하가 어렵다고 합니다.  제가 수학을 가르쳐 오던 학생이 기하가 어렵다고 하면 한 50%는 뒤통수 맞는 기분입니다.  한데 제가 화들짝 놀라서 붙잡고 상세히 설명을 해 주어도 성적에 올라가지 않습니다.  어떤 학생은 제 학원에서 여름 내내 미리 기하를 미리 배우고 학교 수업에 임했는데도 A 를 받기 어려워 고전을 합니다.

학교 선생님들은 맡은 학생들에게 A 에서 F 까지 골고루 분배하는 것이 의무이지만 저 같은 경우에는 제 학생이 A 를 못 받으면 당장 생계에 위협을 받습니다.  어떻게 해서든 A 를 받도록 해 주어야 하는데 그것이 쉽지 않습니다.

증명을 어려워 하는 학생을 가르치는 것이 참 어렵습니다.  제게 너무나도 뻔히 보이는 것이 그들에게는 보이지 않는 것입니다.  기하를 가르치는 사람은 기하를 잘 한 사람들입니다.  기하의 증명이 쉬운 사람이 고전하는 사람을 가르치는 자체가 모순일지도 모릅니다.  2+2 가 4가 되는 것을 설명하는 것 같이 어렵게 느껴집니다.  너무나도 당연한 것을 어떻게 설명해야 할지 몰라 망막한 것입니다.  물론 돌 네개를 사용해서 보여주고 결과를 외워 버리게 할 수 있지만 숫자란 무한대로 많고 그 모든 덧셈을 다 돌로 보여주고 다 외울 수는 없기 때문에 문제입니다.  즉 증명이 어려워 하는 학생들은 2 + 2 = 4 를 배우고 나서도 2 + 3 을 어려워 하는 셈입니다.  증명이 어려운 학생은 틀림없이 어떤 생각하는 사고방식이 있고 그 사고방식에서 어떤 오류가 있기 때문에 문제의 의도가 보이지 않는 것입니다.

(이는 의견 차이가 아니라 오류 error 입 니다.  기하의 모든 증명은 현실에서 재생해 내어 측정해서 보일 수 있기 때문에 아무리 사고방식이 다른 학생이라도 결과에 그리고 그 결과에 도달하는 해결 과정에 동의할 수 밖에 없습니다.  2+2 = 4 라는 것과 마찬가지 입니다.)

하지만 저는 그들이 어떤 식으로 생각하기에 이렇게 막히는가를 찾아내지 못하고 있습니다.  어쩌면 정답은 하나이지만 오답은 무한대로 많듯이 이들의 오류는 증명에 고전하는 학생의 수 만큼 다양할지 모릅니다.  저는 수학을 가르칠 때 학생이 왜 틀렸는지를 대개 압니다.  문제를 풀다가 학생의 펜이 어느 부분에서 잠깐 주저하는 것만으로도 약점을 파악합니다.  잘 가르치는 교사란 옳은 방법을 가르치는 것이 아니라 학생이 어떤 생각을 하고 있는지 알고 그 생각의 오류를 지적해주는 사람입니다.  오류 자체를 없애야 그 다음 문제를 풀 때 제대로 생각을 할 수 있기 때문입니다.  학생이 무엇을 잘 못 생각하고 있는지를 파악할 수 있으면 답을 이야기 해 주지 않아도 질문만 해서 답을 유도해낼 수 있습니다.  수학의 세계를 탐험하는 지도의 틀린 부분을 수정해 믿을 수 있는 지도로 만들어 주는 것이죠.
단 저는 기하 증명을 가르칠 때만은 학생들의 생각을 읽지 못합니다.  증명을 어려워 하는 학생들에게서 제가 읽을 수 있는 것이란 잘 못된 지도가 아니라 한치 앞도 안 보이는 안개입니다.  어떤 생각의 오류로 길을 잘 못 선택하는 것이 아니라 앞이 하나도 안 보이는 상태에서 나가자니 계속 헛짚는 것입니다.  그러니 헛짚은 부분에 의미를 줄 수도 없습니다. 

학원을 시작하면서 기하 가르치는 것 만은 미룰 수 있을 때까지 미루었습니다.  가르치고 싶지 않았습니다.  기하를 가르치는 애로를 잘 알고 결과가 일정치 않을 것을 알고 있었기 때문입니다.  하지만 수요가 너무 커서 결국 가르치기 시작 했지만 결과는 예상대로 만족하지 못합니다.  이쯤 되면 제가 실력 없는 교사라는 것은 자인하고 물러나야 할 것 같습니다.

한데 문제는 제가 가르치는 학생의 반 이상이 기하를 잘 합니다.  제가 한마디 설명을 하면 척 알아 듣고 아무리 개념을 꼬아 놓아도 척척 풀어 냅니다.  9개월 배우는 기하 과정을 몇 주 만에 간단히 끝냅니다.  이런 학생을 가르치면 제가 기하를 가르치는데 비범한 능력을 가진 사람으로 착각할 지경입니다.

기하 증명을 가르치는 것은 이렇게 교사부터 극과 극에서 강팡질팡하게 됩니다.  학교는 이런 고전을 생략하고 아예 증명을 가르치지 않는 기하 과정을 만들어 문제를 원천봉쇄하고 교사의 불면증과 수명 단축을 예방하고 있습니다.  학생들도 기하 증명을 가르치지 않는 쉬운 코스를 선택해서 증명을 피하는 것이 한 방법이기는 그리고 많은 학생이 그런 트랙을 하고 있지만 그러면 honor course 가 되지 않아 높은 트랙에서 탈락 되는 것이 문제입니다.  정상을 노리는 학생은 증명도 해낼 수 있어야 하니까요.

기하 증명을 가르친다는 것은 불가항력으로 보이는 문제로 보이지만 저는 아직 항복하지는 않습니다.  저는 전형적인 남자 엔지니어 타이프로 문제를 보면 당장 해결하려고 합니다.   이 기하는 반드시 누구나 이치를 깨닫게 하는 방법이 있다고 생각합니다.  무슨 믿음이 필요한 것도 아니고 누구나 2+2=4 라는 것을 이해할 수 있듯 기하도 제대로 원리를 보여주면 다들 공감을 하는 것이니 그 지극히 당연한 이치를 깨달을 수 있다고 생각합니다.  특히 기하는 모든 면이 시각적으로 표현될 수 있기 때문에 그림만 제대로 만들어 주면 누구나 다 이해를 할 수 있습니다.  단 한가지 확실한 것은 지금까지 가르치던 대로 지속하면 지금까지의 결과를 지속적으로 얻을 것이라는 것이죠.

그래서 이 Geometer Sketchpad 를 사서 새로운 가르치는 법을 연구 중입니다.  많은 학교들이 이 software 를 사용하지만 저는 그 보다 더 효율적인 방법으로 학생들에게서 “아하!” 를 유도해 낼 수 있다고 생각합니다.  이 software 를 사용하면 도형을 잡아 흔들고 찌그러트릴 수 있기 때문에 추상적으로 보였던 도형들이 만지는 느낌이 들 정도로 구체적이 될 수 있습니다.  2007년 내로 기하 증명 전 과정을 e-Learning으로 완성할 것입니다. (Algebra에서 Calculus까지의 수학 과정을 먼저 개발 하고 그 다음에 Geometry를 할 것입니다)  이 새 시각적인 교육 방법이 모든 학생들에게 기하 증명을 터득하도록 할지는 미지수 이지만 다른 어떤 기존 방법보다 효율적이 되리라 생각됩니다.

기하의 증명이 왜 어려운가?

By James H. Choi
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많은 학생들이 기하 (geometry) 의 증명 (proof) 에 애로를 겪는다.

좀더 정확히 말하면 애로는 처음부터 있었지만 이번 어려움은 극복이 안되고 가중만 되고 있다는 것을 깨닫는 시기다.  한 챕터가 지나고 그 다음 챕터가 되어도 증명이 끝나기는 커녕 점점 복잡해지기만 한다.  교과서 끝쪽으로 넘겨봐도 그림은 점점 복잡해지면서 계속 증명하라는 소리는 끝나지를 않는다.

앞이 캄캄해진다. 

더욱이 무서운 것은 다른 학생은 다 척척 해내고 있는 것이다.  어떻게 하냐고 물어봐도 한결 같이 “쉽잖아? 뭐가 어려운데?” 하고 반문을 한다.  용기를 내서 어려운 문제를 물어보면 척척 풀어버리고는 왜 이런 간단한 것도 몰르냐는 표정으로 쳐다본다.  풀은 것은 이해를 하겠는데 어떻게 그 길은 선택했는지를 아무리 보아도 모르겠다.  혼자 바보가 되는 느낌을 평생 처음 겪어본다.  절망이다.

왜 수학을 잘 해오던 학생에게 이런 어려움이 닥칠 수가 있는가?

기하의 증명은 수학의 다른 부분과 전혀 다른 개념이다.  이는 공간 개념을 많이 사용하며 동시에 논리및 추리력을 요구한다.  앞으로 두뇌 연구가 발달하면 밝혀지겠지만 이 기하 증명하는 두뇌의 부분은 알제브라 하는 부분과 다르리라고 믿는다.  아마도 바둑둘 때 앞 수를 내다볼 때 사용하는 두뇌 부분과 더 가까우리라 믿는다.

간단히 말하면 증명이란 답을 구하는 것이 아니고 답을 알고 있으면서 왜 그 답이 맞는지를 주장하는 것이다.  많은 학생이 문제를 보고서는 증명의 결과가 당연한 소리라는 것을 전혀 느끼지도 못한 채 증명을 시작하려고 하는데 그래서 증명이 어려운 것이다.  예를 들어 정사각형을 대각선을 따라 자르면 똑같은 삼각형이 두개가 되는 것을 증명하라고 할 때 그 두 삼각형이 같은 모양이 될 수 밖에 없는 것이 지극히 당연하여 언급할 가치가 없다고 느낌이 와야 한다.  그래서 그 뻔한 소리가 왜 뻔한지 보여주는 것이 증명이다.

증명 능력에는 선천적이 요소가 아주 크게 작용한다.  어떤 학생은 기하 책 한 권을 몇 주 만에 끝낼 수 있다.  어떤 학생은 끝까지 이해를 못하고 만다.  그래서 한 반에서 기하를 가르치려면 아주 큰 실력 분포도가 당장에 생긴다.  시간이 갈수록 반은 뻔한소리 또 반복한다는 얼굴로 듣고 나머지 반은 무슨 소리인지 몰라 어리둥절하다.  여름 방학 때 같이 기하가 여러 반인 경우에는 이해하는 수준에 따라 반을 나누고 나누면 결국에 가장 이해를 못했던 반은 학기말 시험에 방학 동안 배운 것이 없었다는 것을 보여주고 만다.  가르친 사람으로는 뒤통수를 맞는 느낌이다.

이렇게 수업 결과에 흥망이 좌우되는 사설 학원도 제대로 못 가르치는 기하 증명을 학교에서는 어떻게 가르치나?  내가 있는 학군에서는 track 4 나 이하에는 증명을 거의 안 가르친다.  그냥 길이 각도 면적 같은 것 구하는 것 가르치고 증명은 조금 개념만 보이다 끝난다.  기하에 증명을 가르치지 않는다는 것이 내게는 충격적인 말이었는데 몇 번 손들고 나니까 이해가 간다.

이렇게 일부 학생에게는 쉽기만 하고 일부 학생에게는 어렵기만한 기하 증명을 어떻게 배우면 되는가?
혼자 배우는 것은 무리다.  작문과 마찬가지로 누군가가 읽어주고 틀린 부분을 고쳐 주어야 한다.  책과는 다른 방법으로 증명하더라도 논리가 맞으면 맞았다고 해 주는 사람이 필요하다.  학생이 틀린 논리를 제시하면 어디가 틀렸는지 지적해주는 사람이 있어야 한다.

그러니 기하 증명에 애로를 호소하는 학생이 있으면 기다리고 볼 일이 아니다.  즉시로 가정교사를 찾아 도움을 주어야 한다.  증명은 시간이 가면서 점점 어려워지기만 하고 제대로 못 배우고 넘어간 부분은 계속 등장해서 끝까지 학생을 괴롭힌다.  선생님을 구할 때도 수학 선생님을 구하지 말고 기하 증명을 가르칠 사람을 구한다고 해야 한다.   내 학원에 수학 선생님 중에도 기하 증명은 못 가르치겠다는 선생님이 있다.

상당이 앞날이 암담한 그림을 그렸는데 한가지 희망적인 면도 있다.  일단 증명이 무엇이라는 것을 한번 깨닫게 되면 갑자기 모든 문제가 쉬워지게 된다.  똑 같은 논리로 모든 증명을 하기 때문에 한번만 이해하면 기하의 모든 문제에 똑같이 적용이 되는 것이다. 

지금 기하를 배우는 학생에게는 너무 늦었지만 앞으로 배울 학생의 학부형님은 방학동안 조금이라도 미리 배워보도록 하여 증명을 쉽게 할 것인지 어려워 할 것인지를 알아보는 것이 안전하다.  쉽다면 여름을 즐기고 어렵다면 여름내 공부를 해 두는 것이 나중에 앞이 캄캄해지는 경우를 예방할 수 있다.

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AP Physics와 SAT Physics의 비교

By James H. Choi
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주:  2014년부터 AP 물리 과정이 바뀝니다.  새로 바뀌는 AP Physics 1 과 2에 대해를 참고 하세요.

시험형식 비교

시험 준비

이 세가지 시험 다 방대한 지식을 측정하는 것이기 때문에 어떤 속성 코스로 해결될 성질의 공부가 아니다.  아무리 물리에 소질이 있어도 역학, 전기, 열 등등의 다양한 물리 개념을 이해하고 응용하게 되기 까지는 적어도 6개월은 준비를 해야 한고 대부분의 학생은 1년간 준비를 해야 한다.  이미 내용을 다 배운 학생이라면 8주간 총정리 형식의 수업을 받아 복습과 시험출제 형식을 터득하는 도움을 받을 수 있다.

SAT Physics 준비하는 법

이 시험은 내가 지금까지 세 번 연속으로 직접 보면서 출제 경향을 파악하고 있다.  SAT Physics는 복잡한 문제가 나오지 않고 복잡한 계산도 나오지 않는다.  60분에 75문제를 답 해야 하니 한 문제당 48초의 시간이 주어지고 그 시간 내에 충분히 풀 수 있게 나온다.  그보다 시간이 걸리면 몰라서 답을 못하는 것이지 계산하느라 시간 걸리는 것이 아니다.

이 시험은 “계산” 보다 “개념”의 이해가 중요하다.  “만약에” 의 가정을 하면서 상상을 즐기는 학생이 잘 하도록 만들어진 시험이다.  만약에 지구 한 복판까지 파고 들어 간다면 중력이 얼마나 강해질까?  만약에 지구의 무게는 같고 반경이 반으로 준다면 중력을 어떻게 될 것인가?  두 배 높은 곳에서 떨어진 물건은 두 배의 속도로 땅을 칠 것인가?  광선 두 개가 교차하면 충돌을 하여 일부는 튀어 나가는가?  물속에서 말하면 음파가 빨리 전달되는데 그러면 주파수도 올라가는가?  움직이지 않는 자석이 전류를 형성할 수 있는가?  등등

이곳 물리 교과서를 보면 한 chapter 끝에 연습 문제가 나오는데 숫자적인 문제를 풀기 전에 개념에 대해 묻는 부분이 있다.  이 문제를 연습하는 것이 SAT Physics에 가장 중요한 준비이다.  그리고 시중에 나온 모든 SAT Physics 책을[3] 사서 문제를 다 풀어보는 것도 도움이 된다.  유능한 선생님에게 한 시간 배울 비용이면 책을 네 권 살 수 있다.  학생이 너무 바빠 짧은 시간에 배워내야 한다면 선생님을 고용해야 하지만 제대로 된 교육은 학생에게 책을 주고 학생이 혼자 실갱이를 하면서 내용을 터득하는 방식이다.  어느 분야나 대가는 다 그렇게 배운 사람들이다.

이 시험 중 5 문제에서 10 문제는 The Great Courses 강의를[4] 듣는 것으로만 대답할 수 있다.

AP Physics 준비하는 법

AP Physics는 B 와 C 두가지가 있다.  C 는 두가지로 세분이 되어 Mechanics와 E&M (Electricity and Magnetism) 으로 갈라진다.  한날 한시에 B 와 C 를 보기 때문에 한가지만 선택을 해야 하지만 C에 속해있는 Mechanics 와 E&M 은 한가지만 봐도 되고 둘 다 불 수도 있다.

B는 광범위 하면서 심도가 얕고 C 는 한정된 내용에 심도가 깊다.  Calculus 를 했어야 Physics C 를 제대로 이해할 수 있다.  그러니 Physics C 성적을 대학 입학 원서에 기록 하려면 11학년에 Physics C 를 해야 하고 그러기 위해서는 10학년에 Calculus 를 해야 한다. 그러니 9학년에 Precalculus나 Algebra 2 를 하고 었어야 한다는 말이고 결국 8학년에 Geometry가 끝나야 하며 그는 7학년에 Algebra,가 끝났다는 말이다.  즉, 6학년이면 pre-algebra 가 끝났어야 하니 그 때 대입원서의 윤곽이 벌써 정해졌다는 말이다.

미국의 많은 학교에서, 그것도 제법 수준이 높다고 내세우는 학교에서도 Physics C 를 가르치지 않는경우가 흔하다.  대학 교수 수준의 지식을 갖춘 교사 찾기도 힘들고 그런 내용을 배울 준비가 되어있는 학생의 수도 많지 않기 때문이다.  역설적으로 말하자면 그만큼 희소가치가 크다는 말이고 따라서 따로 공부해 학교 수업 없이 그냥 시험을 보아 성적을 얻는 방법으로 학생의 지적 수준을 과시하는 방법도 사용한다.

정 상적인 AP Physics 시험 준비는 학교에서 가르치는 것을 잘 따라 하며 예상문제를 많이 푸는 것이다.  예상 문제집은 [10] 아마존에서 구입할 수 있다.  학교에서 배우고 있다고 안심하지 말고 지난 해 이 선생님이 가르치는 반의 학생들 몇 명이 5점을 받았는가를 알아봐야 한다.  어떤 학교는 한해 교내 최고 AP Physics 점수가 2점이었다고 한다.  그런 환경에 처해 있다면 학교에 의존하지 않고 따로 공부하려는 것이 절대로 유난스러운 일이 아니다.

학교에서 가르치는 것이 부족할 경우에는 다른 도움을 받아야 하는데 의욕있는 학생이면 교과서의 문제를 풀어보는 방법으로 배워갈 수도 있다.   B 시험 준비 수준의 공식 추천 교과서는 AP Physics C 공식 사이트에 [5]  나와 있다.   이중 나는 Giancoli[6]와  Serway [7]책을 사용해 보았는데 Giancoli도 좋지만 Serway 를 선호한다.  이 책들의 답안지는 공식으로는 없는데 비공식으로 나도는 것이 있어 운에 좋으면 ebay 에서 살 수 있다.  C 시험 교과서는 공식 사이트 여기 [8]에 나와 있는데  나는 Halliday [9]책을 (세 번째 책) 선호한다.  이 역시 운 좋으면 ebay 에서 답안지를 살 수 있다.

물 리는 혼자 책으로 쉽게 배우는 학생이 있고 책으로는 어려워 하는 학생이 있다.  이런 교재를 다 갖추고도 학생이 고전을 하고 있으면 시간 제한이 있는 공부이기 때문에 도움을 주어야 하는데 이런 AP Physics 를 가르칠만한 자격이 있는 선생님은 큰 도시에서도 쉽게 구할 수가 없고 잘 가르치는 선생님은 더 찾기 힘들다.  물리를 잘 하는 사람이 없어서가 아니라 물리를 그만큼 알면서 학생들 가르칠 시간 여유가 있는 사람이 드물기 때문이다.  필요가 생기기 전에 미리미리 알아보아 두는 것이 현명하다.

동시 준비

AP Physics B 와 SAT Physics는 범위가 거의 같다.  이 두가지 시험은 따로 준비하지 말고 한꺼번에 하여 일석이조를 하는 것이 현명하다.  Physics C 는 좁고 깊게 들어가기 때문에 SAT Physics에 알아야 할 내용을 다 배우지 않아 SAT 준비를 따로 해야 한다.

공식 정보

AP (Advanced Placement)와 SAT 는 모두 같은 College Board 회사 에서 주관하는 시험이다.  AP Physics에 관한 공식 정보 [11]와 공SAT Physics 에 관한 공식 정보[12] 는 CollegeBoard.com 사이트에 나와 있다..

[1] SAT Physics Calendar

[2] AP Test Calendar

[3]  시중의 SAT Physics 책

[4] The Great Courses Physics

[5] AP Physics B Textbooks

[6] Giancoli Physics

[7] Serway College Physics

[8] AP Physics C Textbooks

[9] Halliday Fundamentals of Physics

[10] AP Physics Test Books on Amazon.com

[11] Official AP Physics Information

[12] Official SAT Physics Information