사비오 칼럼

고등학교 수학에서 대학의 수학으로 가는 죽음의 길???

By James H. Choi
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National Council of Teachers of Mathematics (HCTM) (≈미국 수학 교사 협회) 의 회장이 기고한 글 입니다.

전문: http://www.nctm.org/about/content.aspx?id=28195

제목은 Endless Algebra — The Deadly Pathway from High School Mathematics to College Mathematics  (끝이  없는 알제브라 —  고등학교 수학에서 대학의 수학으로 가는 죽음의 길) 입니다.

전문을 읽어 보시면 아시겠지만 내용에 학생들이 한 없이 Algebra 만 배우고 있어서 정작 필요한 자료 분석을 제대로 못 배워 사회에 필요한 수학을 제대로 배우지 못한다는 내용입니다.

미국 수학 교사 협회의 회장이 말씀하는 “전형적인 학생의 수학 track”을 (원문에서는 track을 transition path라고 했습니다) 이렇게 표현 했습니다.

주: Intermediate Algebra 는 Algebra 1 과 2의 중간 수준이고 College Algebra 는 이름만 거창하지 내용은 Algebra 2 의 수준입니다.

제가 가르치는 학생들은 12학년에 Calculus를 배우는 것도 늦은 것으로 생각하는 학생들인데 미국수학교사협회 회장은 대학가서도 Algebra 만 하다 그만두는 학생들이 “전형적인” 학생으로 보고 있으니 같은 미국에서 같은 수학을 가르쳐도 이렇게 판이한 세계속에 살 수 있다는 것이 신기합니다.  하지만 대학생이 Algebra 만 배우고 수학을 마치는 것은 문제라는 점에 동의 합니다.
한데 그 다음이 문제입니다.  이 미국수학교사협회 회장이 제안하는 대안은 Algebra 에만 매이지 말고 자료분석을 가르치자는 것입니다.  들으면 그럴 듯 하지만 실은 죽도 밥도 안되는 교육 철학입니다.

제가 자료 분석을 가르치면서 항상 느끼는 것이 학생의 수학 실력 부족입니다.  제 자료 분석 코스에 들어오려면 Algebra 1을 마쳐야 한다고 조건을 다는데 Algebra 1도 모자라는 경우가 많습니다.  저는 그때 그 때 모자라는 점을 가르쳐서 진행하는데 제 멋대로 세상을 디자인 할 수 있다면 Calculus 를 마쳐야 자료 분석을 할 수 있다고 정하고 싶습니다.  (그래서 아무도 제게 세상 디자인을 맡기지 않습니다)

한데 이 수학교사협회의 회장의 말씀은 Algebra 를 한 없이 가르치는 대신 아예 Algebra 를 가르치는 것을 포기하고 자료 분석을 가르치자고 하니 기가 막힙니다.  저 뿐이 아니라 미국 수학자 협회의 회장도 “나는 수학교사협회 회장의 의견에 강력하게 반대를 합니다” (“I feel that I need to express my strong disagreement with him”) 라고 일부러 반대 입장을 협회지에 기고했습니다.

전문: http://maa.org/columns/launchings/launchings_03_11.html 

미국 수학 교사 협회의 회장과 미국 수학자 협회의 회장이 의견이 일치 하지 않는다고 공식적으로 천명하는 것이 흥미롭습니다.  수학의 세계와 고등학교 수학 교육의 세계가 얼마나 떨어져 있는지 보여준다고 생각합니다.

제 의견은 수학자 협회 회장의 의견과 마찬가지로 “기초가 되어 있어야 자료 분석도 할 수 있는 것이지 Algebra 도 모르면서 무슨 분석을 하겠다는 것이냐?” 입니다.  제가 수학 교사 협회 회장이었으면 한없이 Algebra 만 배우고 있는 것이 문제라고 제기하고 “Algebra 를 단번에 제대로 배워 Calculus 도 배우고 자료 분석도 배워야 한다”라고 했을 텐데 제가 보기에는 말도 안되는 “기초 배우는데 시간이 너무 오래 걸리니 기초는 포기하고 소프트웨어만 좀 다루면서 시간 때우자” (물론 그렇게 표현하지 않았지만 그런 결과가 나오게 됩니다) 라는 제안을 한 것이 기가 막힙니다.

학생들의 email주소 선택에 대해

By James H. Choi
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학생들의 email 주소를 보면 다양하면서도 공통점이 보인다.  한국계 여학생들의 경우는 천사와 발음이 같은 1004를 즐겨 사용한다.  남학생이나 여학생이나 동양인이라는 뜻의 azn을 email주소에 포함시킨다.  azn 처럼 많지는 않지만 korea라는 단어를 어디엔가 넣는 학생도 간혹 있다.  주소 외에도 발신인의 이름이 들어가게 되는데 거기에 한글로만 표기를 하는 학생들이 상당 수가 있다.

우선 발신인의 이름을 한글로만 표기하는 것은 한글을 읽을 수 없는 사람들은 자신의 email을 읽지 않아도 개의치 않는다는 뜻이다.  수신자가 한국인어도 한글이 설치되지 않은 컴퓨터에서는 발신인의 이름이 다 깨져 나와 읽을 수가 없게 된다.  email 이 많이 쌓이는 사람에게는 “내가 보낸 mail을 나중에 찾아야 하면 검색하지 마시고 포기하시오”라는 뜻이다.  내가 운영하는 학원에서도 선생님들이 학생의 이름을 읽을 수 없어 어느 학생이 보낸 email인지 구별을 못하는 번거로움을 초래한다.  나 자신도 청구서를 보내야 하거나 내가 필요한 일이면 깨진 글씨의 이름이라도 주소를 찾아내지만 내게 호의를 베푸는 일이라면 깨진 글씨 읽는 것을 포기한다.

그리고 이런 순 한글로만 되어 있는 이름을 사용한다는 것은 거의 모든 email교류가 한국인으로 국한되어 있는 즉 사회 생활도 한국사회로 국한이 되어 있는 생활 문화 범위를 널리 알리는 신호이기도 하다.  즉 한글로만 자신의 이름을 표기하는 것은 상대방의 불편이나 항의를 무시할 수 있는 우월한 위치에 있을 때나 사용할 정체성의 표현이지 남에게 잘 보여야 할 때, 즉 미국 대학에 대입 원서를 보낼 때, 미국회사에 구직 resume를 보낼 때 사용 해서는 조금도 도움이 안 되는 자세이다.

그리고 주소에 azn, korea 등을 사용하는 것도 입장을 바꾸어 보고 생각할 점이다.  인간이 자신을 보는 것은 어렵기 때문에 다른 사람을 보고 미루어 짐작하는 것이 가장 정확하다.  다른 인종이 보낸 자신의 자부심을 나타내는 email주소를 받아 볼 때 어떻게 느낄 것인가를 생각해 보자.  예를 들어 백인이라는 자부심을 나타내는 주소, 흑인의 긍지를 표현하는 주소에서 온 email 이 무엇인가를 부탁할 때 그들의 확고한 정체성을 높이 평가하여 호의를 더 쉽게 베풀 것인가?  아니면 거부감을 느낄 것인가?  학생들은 그 대답에 따라 자신의 email을 정할 일이다.
물론 자신의 이름을 사용하는 james.choi@whatever.com  같은 email 주소는 평범하기 짝이 없어 그런 스타일을 거부하고 자신의 특징과 긍지를 나타내는 asian_power@whatever.com 같은 email을 사용하고 싶은 것은 당연한 일이다.  단 그에 따른 댓가를 치러야 하는 것을 깨닫고 그 정도의 비용을 지불할 능력/의향이 있는지를 숙고한 후에 사용을 결정해야 한다.

1004 라는 번호가 들어가면 어떤 수호가 있고 혜택이 있는지는 모르겠다.  하지만 한국어를 할 줄 모르는 인류의 대부분에게는 이 수치가 6124와 다를 바 없는 네자리 수이고 email이 길어져 기억하는데 장애밖에 되지 않고 손으로 입력을 할 경우 오타의 확률만 올라가게 만든다.  그러니 이런 불필요한 수치의 사용 역시 천사의 수호에서 오는 혜택과 수신자의 불편에서 오는 불이익을 꼼꼼히 비교해 보고 정할 일이다.

천사의 수호, 정체성 표현, 인종의 긍지 같은 것을 잠깐 접어두고 미국에서 사회생활을 하면서 가장 유용한 email주소는 모든 사람이 한번 들으면 기억할 수 있는 주소이다.  어떤 학생의 주소는 외우기는 고사하고 받아 써도 오타를 피하기가 어려운 문자와 수자의 조합인데 email을 받는 것을 회피하는데는 적격이지만 상대방에게 연락을 받고 싶다면 현명치 못한 email이다.  그리고 전문인이 되면 또는 전문인으로 보이고 싶으면 email이 그에 맞아야 한다.  미국의 신문 기자의 주소를 보면 알겠지만 그 주소는 바로 자신의 이름을 사용해 만든 주소이다.

한국 신문을 읽어보면 기자들도 email에 온갖 단어들을 사용하는데 미국의 주류사회에서는 그런 식의 귀여운 email은 그 사람을 전문인으로 보게 하지 않고 귀엽게 보여 점수 따려는 사람으로 보도록 만든다.  간단명료하게 자신의 이름을 기억하는 사람은 누구나 기억할 수 있는 중립적으로 만든 email을 사용하는 것이 가장 합리적이고 무난하다.  모든 개성의 표현이 그렇듯, email 주소 선택을 통한 개성의 표현은 댓가를 치르게 될 가능성이 높다.  특히 전문인들의 세계에 (대학 입시 사정관, 직장 인사과) 자신을 보여야 할 때는 기회를 포기할 정신적, 재정적 여유가 있는 학생만 독특한 email을 사용해야 한다.

과학경시대회와 수학경시대회의 차이

By James H. Choi
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수학경시대회는 대부분 정해진 시간에 문제를 풀어야 하는 시험으로 실력을 가늠한다.  다른 정보를 찾을 수도 없이 맨손으로 맨 머리로 답을 찾아내야 하는 스트레스가 심한 시험의 연속이 된다.

연구원이 하는 일은 그런식이 아니다.  해결해야 할 문제를 위해 이런 저런 자료를 찾고, 이사람 저사람에게 묻고 며칠, 몇달에 걸쳐 이렇게 저렇게 해 보면서 점차적으로 해답에 가까워져간다.

인 텔이나 시멘스 같은 유명한 과학경시대회는 자신이 한 연구 결과를 제출하여 평가를 받게 되어있다.  연구자체는 1년이 걸렸건 10년이 걸렸건 관계가 없다.  어떤 결과를 내었는가가 중요하지 얼마나 빨리 진행했는가는 중요하지 않다.  오히려 장시간에 걸쳐 한 연구가 학생의 인내와 집중력 그리고 열정을 더 돋보이게 하기도 한다.

그 리고 또 한가지 큰 차이는 모순으로 들리지만 결과가 중요하지 않다.  수학경시대회에 참가하여 저조한 성적을 받으면 내세울 것이 없지만 연구 결과로 경쟁하는 과학경시대회는 “독창적인 연구는 대부분 실패한다”는 진리 때문에 3년 연구한 결과가 아무것도 나오지 않아도 3년 연구한 과정 자체를 자신의 기록으로 내 세울 수가 있는 것이다.  이 과학 경시대회에서 “결과” 보다 “과정”이 더 중요하다는 이론은 나의 발상이 아니라 내가 지난 주 Harvard-MIT 수학 경시대회를 직접 보기 위해서 MIT를 방문했을 때 입학 사정관과 개인적으로 대화를 하며 들은 이야기이다.  “독창적인 연구는 대부분 실패하기 때문에 과학경시대회에서 우승했다는 것 보다 과학 경시대회에 출전한 수준의 연구를 한 것이 내게는 더 중요하다” 라고 내게 알려 주었다.
그 의 조언은 그동안 내가 궁금해 했던 의문점을 하나 해결 해 주었다.  인텔의 우승자 발표가 2월인데 지원 원서 마감일은 물론  대학 입학 발표조차도 그 전에 다 끝나는 경우가 많다는 점이다.  어떻게 우승을 할 줄 알고 학생들을 MIT 에 합격 시키는가가 나의 궁금점이었는데 결국 우승 학생을 합격시킨 것이 아니라 출전 학생을 합격시킨 것이다.

학 생들이 목표로 삼고 정진할만한 미국의 가장 유명하고 대표적인 과학경시대회는 다음과 같이 세가지가 있다.  그 준비 과정에서 나오는 중간 결과로 각 지역의 Science Fair나 과학경시대회에 참가할 수도 있다.  특히 학생의 지망 분야가 과학쪽이면 이런 경험은 최고의 활동 기록이 되는 동시에 학생의 실력도 길러주게 된다.

Physics B 와 C 의 선택

By James H. Choi
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주:  2014년부터 AP 물리 과정이 바뀝니다.  새로 바뀌는 AP Physics 1 과 2에 대해를 참고 하세요.

(여기에 질문을 올려 주세요)
질문:

드디어 내년 스케쥴을 짜야 하는 상황이 왔는데요, 수학은 AP Cal BC로 결정이 되었는데 문제는 AP Physics B가 시간표상으로 어렵다는 카운셀러의 얘기를 들었습니다.

Cal BC 듣는 아이들이 Physics C와 시간표가 맞춰져 있다는 겁니다.

Physics B는 시간표상으로 안된다고 왜 Physics C를 안듣냐고 했다고 하는군요.  Physics B 듣고 SAT Physics 보려고 계획 중인데 어떻게 해야 할지요?

Cal AB로 낮춰서 Physics B가 시간이 맞는다면 그리 해야 할지, 아니면 무리해서 Cal BC와 Physics C를 들어야 할지, 만약 그렇다면 SAT Physics 준비에 어려움은 없는지 궁금합니다.

답:

자제분은 잘 해온 학생이니까, 그리고 학교에서 올라가라고 추천을 하고 있으니 굴러온 행운을 거머잡는 것을 추천합니다.

단 여름방학동안 제 SAT Physics 코스를 수강 해서 물리란 직감적으로 느끼는 것을 수학으로 표현 하는 것이라는 것을 배우게 하시면 그 다음에는 B를 하지 않고 Physics C 로 바로 들어가도 수학만 받쳐주면 재미있게 배울 수 있습니다.

학교에 Calculus AB와 BC가 따로 있는지요?  Calculus BC라고 이름을 걸어놓고 A 부터 가르치는 학교도 있어서 이름만 가지고는 알 수가 없습니다.  만약 정말 BC 부터 가르치기 시작하는 학교라면 방학동안 Calculus A 를 배우도록 하세요.  가능하면 B 도 앞 부분까지 하고.  B의 앞 부분 조금만 하고 나면 Physics C 에 나오는 수학은 준비가 된 것입니다.  Physics C 에 나오는 Calculus는 문제를 setup 할 줄 하는 것이 더 중요하지 정작 풀어야 하는 Calculus 문제는 아주 기본적인 수준입니다.

이 글을 보시면

https://korean.sabioacademy.com/2011/10/24/ap-physics-sat-physics/

AP Physics의 범위와 SAT Physics의 범위 비교가 나옵니다.  보시듯 AP Physics C 를 하고 나면 SAT Physics의 준비에 구멍이 많습니다.  하지만 제가 추천해 드린대로 제 SAT Physics 코스를 배우고 나면 제가 SAT 에 출제되는 주제만 골라 설명을 했기 때문에 SAT준비는 다 될 것입니다.

올해 첫 ISEF로 진출한 학생

By James H. Choi
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이제 2012년 Regional Science Fair의 시즌이 되었습니다.  지역마다 다른 시일에 개최하는데 제가 직접 mentoring 한 학생이 오늘 ISEF로 진출확정이 되었다고 연락해왔습니다.

그리하여 저는 졸지에 작년부터 매년 학생을 ISEF로 출전 시키는 경력을 가지게 되었습니다.  학생을 훈련 시킨 것이 작년부터이니 so far so good 입니다.
작년에는 고등학생 한명, 중학생 한명을 가르쳐서 고등학생을 ISEF로 보냈고 중학생은 일리노이주의 최고상을 받았습니다.  올해는 여러명을 ISEF로 보내기 위해 mentoring하고 있어서 이제부터 Regional Science Fair를 개최하여 심판이 시작되면 제 100% 성공률을 유지하기 어려울 것입니다.

ISEF의 심사는 기준이 일정하기 때문에, 또 제가 여러번 경험해 보았기 때문에 각 지역 예선의 심사보다 결과를 예측하기가 쉽습니다.  작년에 제가 지도하여 출전한 학생은 ISEF에서도 4등을 했고 오늘 연락한 학생도 틀림없이 ISEF에서 입상할 것으로 예상됩니다.

앞으로 남은 몇 주 동안 제 성공률 100%의 짧았지만 즐거웠던 시절을 오래 기억하도록 잘 음미하고 있겠습니다.