사비오 칼럼

고등학교 수학에서 대학의 수학으로 가는 죽음의 길???

By James H. Choi
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National Council of Teachers of Mathematics (HCTM) (≈미국 수학 교사 협회) 의 회장이 기고한 글 입니다.

전문: http://www.nctm.org/about/content.aspx?id=28195

제목은 Endless Algebra — The Deadly Pathway from High School Mathematics to College Mathematics  (끝이  없는 알제브라 —  고등학교 수학에서 대학의 수학으로 가는 죽음의 길) 입니다.

전문을 읽어 보시면 아시겠지만 내용에 학생들이 한 없이 Algebra 만 배우고 있어서 정작 필요한 자료 분석을 제대로 못 배워 사회에 필요한 수학을 제대로 배우지 못한다는 내용입니다.

미국 수학 교사 협회의 회장이 말씀하는 “전형적인 학생의 수학 track”을 (원문에서는 track을 transition path라고 했습니다) 이렇게 표현 했습니다.

주: Intermediate Algebra 는 Algebra 1 과 2의 중간 수준이고 College Algebra 는 이름만 거창하지 내용은 Algebra 2 의 수준입니다.

제가 가르치는 학생들은 12학년에 Calculus를 배우는 것도 늦은 것으로 생각하는 학생들인데 미국수학교사협회 회장은 대학가서도 Algebra 만 하다 그만두는 학생들이 “전형적인” 학생으로 보고 있으니 같은 미국에서 같은 수학을 가르쳐도 이렇게 판이한 세계속에 살 수 있다는 것이 신기합니다.  하지만 대학생이 Algebra 만 배우고 수학을 마치는 것은 문제라는 점에 동의 합니다.
한데 그 다음이 문제입니다.  이 미국수학교사협회 회장이 제안하는 대안은 Algebra 에만 매이지 말고 자료분석을 가르치자는 것입니다.  들으면 그럴 듯 하지만 실은 죽도 밥도 안되는 교육 철학입니다.

제가 자료 분석을 가르치면서 항상 느끼는 것이 학생의 수학 실력 부족입니다.  제 자료 분석 코스에 들어오려면 Algebra 1을 마쳐야 한다고 조건을 다는데 Algebra 1도 모자라는 경우가 많습니다.  저는 그때 그 때 모자라는 점을 가르쳐서 진행하는데 제 멋대로 세상을 디자인 할 수 있다면 Calculus 를 마쳐야 자료 분석을 할 수 있다고 정하고 싶습니다.  (그래서 아무도 제게 세상 디자인을 맡기지 않습니다)

한데 이 수학교사협회의 회장의 말씀은 Algebra 를 한 없이 가르치는 대신 아예 Algebra 를 가르치는 것을 포기하고 자료 분석을 가르치자고 하니 기가 막힙니다.  저 뿐이 아니라 미국 수학자 협회의 회장도 “나는 수학교사협회 회장의 의견에 강력하게 반대를 합니다” (“I feel that I need to express my strong disagreement with him”) 라고 일부러 반대 입장을 협회지에 기고했습니다.

전문: http://maa.org/columns/launchings/launchings_03_11.html 

미국 수학 교사 협회의 회장과 미국 수학자 협회의 회장이 의견이 일치 하지 않는다고 공식적으로 천명하는 것이 흥미롭습니다.  수학의 세계와 고등학교 수학 교육의 세계가 얼마나 떨어져 있는지 보여준다고 생각합니다.

제 의견은 수학자 협회 회장의 의견과 마찬가지로 “기초가 되어 있어야 자료 분석도 할 수 있는 것이지 Algebra 도 모르면서 무슨 분석을 하겠다는 것이냐?” 입니다.  제가 수학 교사 협회 회장이었으면 한없이 Algebra 만 배우고 있는 것이 문제라고 제기하고 “Algebra 를 단번에 제대로 배워 Calculus 도 배우고 자료 분석도 배워야 한다”라고 했을 텐데 제가 보기에는 말도 안되는 “기초 배우는데 시간이 너무 오래 걸리니 기초는 포기하고 소프트웨어만 좀 다루면서 시간 때우자” (물론 그렇게 표현하지 않았지만 그런 결과가 나오게 됩니다) 라는 제안을 한 것이 기가 막힙니다.

학생들의 email주소 선택에 대해

By James H. Choi
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학생들의 email 주소를 보면 다양하면서도 공통점이 보인다.  한국계 여학생들의 경우는 천사와 발음이 같은 1004를 즐겨 사용한다.  남학생이나 여학생이나 동양인이라는 뜻의 azn을 email주소에 포함시킨다.  azn 처럼 많지는 않지만 korea라는 단어를 어디엔가 넣는 학생도 간혹 있다.  주소 외에도 발신인의 이름이 들어가게 되는데 거기에 한글로만 표기를 하는 학생들이 상당 수가 있다.

우선 발신인의 이름을 한글로만 표기하는 것은 한글을 읽을 수 없는 사람들은 자신의 email을 읽지 않아도 개의치 않는다는 뜻이다.  수신자가 한국인어도 한글이 설치되지 않은 컴퓨터에서는 발신인의 이름이 다 깨져 나와 읽을 수가 없게 된다.  email 이 많이 쌓이는 사람에게는 “내가 보낸 mail을 나중에 찾아야 하면 검색하지 마시고 포기하시오”라는 뜻이다.  내가 운영하는 학원에서도 선생님들이 학생의 이름을 읽을 수 없어 어느 학생이 보낸 email인지 구별을 못하는 번거로움을 초래한다.  나 자신도 청구서를 보내야 하거나 내가 필요한 일이면 깨진 글씨의 이름이라도 주소를 찾아내지만 내게 호의를 베푸는 일이라면 깨진 글씨 읽는 것을 포기한다.

그리고 이런 순 한글로만 되어 있는 이름을 사용한다는 것은 거의 모든 email교류가 한국인으로 국한되어 있는 즉 사회 생활도 한국사회로 국한이 되어 있는 생활 문화 범위를 널리 알리는 신호이기도 하다.  즉 한글로만 자신의 이름을 표기하는 것은 상대방의 불편이나 항의를 무시할 수 있는 우월한 위치에 있을 때나 사용할 정체성의 표현이지 남에게 잘 보여야 할 때, 즉 미국 대학에 대입 원서를 보낼 때, 미국회사에 구직 resume를 보낼 때 사용 해서는 조금도 도움이 안 되는 자세이다.

그리고 주소에 azn, korea 등을 사용하는 것도 입장을 바꾸어 보고 생각할 점이다.  인간이 자신을 보는 것은 어렵기 때문에 다른 사람을 보고 미루어 짐작하는 것이 가장 정확하다.  다른 인종이 보낸 자신의 자부심을 나타내는 email주소를 받아 볼 때 어떻게 느낄 것인가를 생각해 보자.  예를 들어 백인이라는 자부심을 나타내는 주소, 흑인의 긍지를 표현하는 주소에서 온 email 이 무엇인가를 부탁할 때 그들의 확고한 정체성을 높이 평가하여 호의를 더 쉽게 베풀 것인가?  아니면 거부감을 느낄 것인가?  학생들은 그 대답에 따라 자신의 email을 정할 일이다.
물론 자신의 이름을 사용하는 james.choi@whatever.com  같은 email 주소는 평범하기 짝이 없어 그런 스타일을 거부하고 자신의 특징과 긍지를 나타내는 asian_power@whatever.com 같은 email을 사용하고 싶은 것은 당연한 일이다.  단 그에 따른 댓가를 치러야 하는 것을 깨닫고 그 정도의 비용을 지불할 능력/의향이 있는지를 숙고한 후에 사용을 결정해야 한다.

1004 라는 번호가 들어가면 어떤 수호가 있고 혜택이 있는지는 모르겠다.  하지만 한국어를 할 줄 모르는 인류의 대부분에게는 이 수치가 6124와 다를 바 없는 네자리 수이고 email이 길어져 기억하는데 장애밖에 되지 않고 손으로 입력을 할 경우 오타의 확률만 올라가게 만든다.  그러니 이런 불필요한 수치의 사용 역시 천사의 수호에서 오는 혜택과 수신자의 불편에서 오는 불이익을 꼼꼼히 비교해 보고 정할 일이다.

천사의 수호, 정체성 표현, 인종의 긍지 같은 것을 잠깐 접어두고 미국에서 사회생활을 하면서 가장 유용한 email주소는 모든 사람이 한번 들으면 기억할 수 있는 주소이다.  어떤 학생의 주소는 외우기는 고사하고 받아 써도 오타를 피하기가 어려운 문자와 수자의 조합인데 email을 받는 것을 회피하는데는 적격이지만 상대방에게 연락을 받고 싶다면 현명치 못한 email이다.  그리고 전문인이 되면 또는 전문인으로 보이고 싶으면 email이 그에 맞아야 한다.  미국의 신문 기자의 주소를 보면 알겠지만 그 주소는 바로 자신의 이름을 사용해 만든 주소이다.

한국 신문을 읽어보면 기자들도 email에 온갖 단어들을 사용하는데 미국의 주류사회에서는 그런 식의 귀여운 email은 그 사람을 전문인으로 보게 하지 않고 귀엽게 보여 점수 따려는 사람으로 보도록 만든다.  간단명료하게 자신의 이름을 기억하는 사람은 누구나 기억할 수 있는 중립적으로 만든 email을 사용하는 것이 가장 합리적이고 무난하다.  모든 개성의 표현이 그렇듯, email 주소 선택을 통한 개성의 표현은 댓가를 치르게 될 가능성이 높다.  특히 전문인들의 세계에 (대학 입시 사정관, 직장 인사과) 자신을 보여야 할 때는 기회를 포기할 정신적, 재정적 여유가 있는 학생만 독특한 email을 사용해야 한다.

과학경시대회와 수학경시대회의 차이

By James H. Choi
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수학경시대회는 대부분 정해진 시간에 문제를 풀어야 하는 시험으로 실력을 가늠한다.  다른 정보를 찾을 수도 없이 맨손으로 맨 머리로 답을 찾아내야 하는 스트레스가 심한 시험의 연속이 된다.

연구원이 하는 일은 그런식이 아니다.  해결해야 할 문제를 위해 이런 저런 자료를 찾고, 이사람 저사람에게 묻고 며칠, 몇달에 걸쳐 이렇게 저렇게 해 보면서 점차적으로 해답에 가까워져간다.

인 텔이나 시멘스 같은 유명한 과학경시대회는 자신이 한 연구 결과를 제출하여 평가를 받게 되어있다.  연구자체는 1년이 걸렸건 10년이 걸렸건 관계가 없다.  어떤 결과를 내었는가가 중요하지 얼마나 빨리 진행했는가는 중요하지 않다.  오히려 장시간에 걸쳐 한 연구가 학생의 인내와 집중력 그리고 열정을 더 돋보이게 하기도 한다.

그 리고 또 한가지 큰 차이는 모순으로 들리지만 결과가 중요하지 않다.  수학경시대회에 참가하여 저조한 성적을 받으면 내세울 것이 없지만 연구 결과로 경쟁하는 과학경시대회는 “독창적인 연구는 대부분 실패한다”는 진리 때문에 3년 연구한 결과가 아무것도 나오지 않아도 3년 연구한 과정 자체를 자신의 기록으로 내 세울 수가 있는 것이다.  이 과학 경시대회에서 “결과” 보다 “과정”이 더 중요하다는 이론은 나의 발상이 아니라 내가 지난 주 Harvard-MIT 수학 경시대회를 직접 보기 위해서 MIT를 방문했을 때 입학 사정관과 개인적으로 대화를 하며 들은 이야기이다.  “독창적인 연구는 대부분 실패하기 때문에 과학경시대회에서 우승했다는 것 보다 과학 경시대회에 출전한 수준의 연구를 한 것이 내게는 더 중요하다” 라고 내게 알려 주었다.
그 의 조언은 그동안 내가 궁금해 했던 의문점을 하나 해결 해 주었다.  인텔의 우승자 발표가 2월인데 지원 원서 마감일은 물론  대학 입학 발표조차도 그 전에 다 끝나는 경우가 많다는 점이다.  어떻게 우승을 할 줄 알고 학생들을 MIT 에 합격 시키는가가 나의 궁금점이었는데 결국 우승 학생을 합격시킨 것이 아니라 출전 학생을 합격시킨 것이다.

학 생들이 목표로 삼고 정진할만한 미국의 가장 유명하고 대표적인 과학경시대회는 다음과 같이 세가지가 있다.  그 준비 과정에서 나오는 중간 결과로 각 지역의 Science Fair나 과학경시대회에 참가할 수도 있다.  특히 학생의 지망 분야가 과학쪽이면 이런 경험은 최고의 활동 기록이 되는 동시에 학생의 실력도 길러주게 된다.

올해 첫 ISEF로 진출한 학생

By James H. Choi
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이제 2012년 Regional Science Fair의 시즌이 되었습니다.  지역마다 다른 시일에 개최하는데 제가 직접 mentoring 한 학생이 오늘 ISEF로 진출확정이 되었다고 연락해왔습니다.

그리하여 저는 졸지에 작년부터 매년 학생을 ISEF로 출전 시키는 경력을 가지게 되었습니다.  학생을 훈련 시킨 것이 작년부터이니 so far so good 입니다.
작년에는 고등학생 한명, 중학생 한명을 가르쳐서 고등학생을 ISEF로 보냈고 중학생은 일리노이주의 최고상을 받았습니다.  올해는 여러명을 ISEF로 보내기 위해 mentoring하고 있어서 이제부터 Regional Science Fair를 개최하여 심판이 시작되면 제 100% 성공률을 유지하기 어려울 것입니다.

ISEF의 심사는 기준이 일정하기 때문에, 또 제가 여러번 경험해 보았기 때문에 각 지역 예선의 심사보다 결과를 예측하기가 쉽습니다.  작년에 제가 지도하여 출전한 학생은 ISEF에서도 4등을 했고 오늘 연락한 학생도 틀림없이 ISEF에서 입상할 것으로 예상됩니다.

앞으로 남은 몇 주 동안 제 성공률 100%의 짧았지만 즐거웠던 시절을 오래 기억하도록 잘 음미하고 있겠습니다.

Summer Camp를 선택하기 전에 아셔야 할 사실

By James H. Choi
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영어버젼: How to Choose Your Summer Programs

미국에서는 summer camp, 여름 프로그램이 하도 많아 어느 것을 선택해야 하는지가 상당히 어려운 결정이다.  그 결정을 돕기 위해 몇 가지 사실을 알려 드리겠다.

여름 프로그램은 크게 두 분류로 나뉘어 진다.  편의상 하나는 상업적, 또 다른 하나는 학구적이라고 내 멋대로 이름을 붙이겠다.

첫 번째로 구별해야 할 것은 이 프로그램이 학구적이냐 아니면 상업적인 프로그램인가 하는 것이다.  가장 쉽게 프로그램을 분류하는 방법은 이 프로그램에 대해서 어떻게 알게 되었는가이다.  광고, 예를 들어서 화려한 전단지를 받았다면 이것은 상업적인 프로그램이다.  상업적이 아니고서는 그렇게 많은 광고비를 감당할 수가 없다.  학구적인 프로그램은 일단 수업료가 비싸지 않고, 수입을 학생들의 장학금을 주는데나 프로그램의 내용을 위해 주로 사용하기에 비싼 광고를 할 여유가 없다.  그래서 학구적인 프로그램들은 광고를 통해서 발견할 수가 없고 상업적인 프로그램의 광고만 우리에게 오게 되어 있다.

상업적인 프로그램들은 이름들이 대개 global이나 leadership, 혹은 확실히 하기 위해서인지 global leadership 두 단어가 다 들어가 있는 경우도 있다.  주로 학생이 경쟁을 뚫고 선발된 것같은 인상이나 학생의 숨어진 자질을 그들만이 발견한 것 같은 식의 광고지를 보내온다.  현실은 “이런 프로그램에 돈을 쓸 경제적 여유와 이런 광고에 넘어갈 정도의 수준을 겸비하신 것으로 판단 되었다”이다.

물론 상업적이라고 해서 다 나쁜 것은 아니다.  여름 방학동안 학생이 즐기고, 새로운 친구를 사귀고, 환경 좋은 곳에 가서 경험을 쌓는 것이라면 그런 프로그램들도 괜찮다.  한데 그런 식으로 기대치를 바꾸면 어떤 프로그램이든 다 괜찮고, 선택하는데 그리 고심을 할 이유도 없다.  하지만 학생이 경쟁이 심한 대학에 들어가기 위해서 필요한 경험과 기록을 쌓는 것이라면 이런 상업적인 프로그램들은 전혀 도움이 되지 않는다.  왜냐하면 상업적인 프로그램들에 참가 했다는 기록은 이 학생이 돈과 시간이 있었다는 뜻외에는 아무런 의의가 없기 때문이고 경쟁이 심한 대학이 원하는 학생의 상은 돈과 시간이 있는 학생이 아니기 때문이다.
이번에는 학구적인 프로그램을 분석해 보도록 하자.  학구적인 프로그램은 두 가지로 나뉘어 진다.  하나는 학생이 수동적으로 앉아서 수업을 듣는 프로그램으로 CTY나 EPGY같은 곳이 해당이 된다.  이들은 환경만 바뀌었다 뿐이지 내용이나 수업 방식이 학교와 다를 바 없다.  다른 한 가지는 능동적으로 자신이 주제를 정해서 연구를 하는 프로그램이다.  경쟁이 심한 대학에 들어가는게 목적이라면 바로 이 능동적인 연구를 하는 프로그램을 해야 된다.  이 능동적인 연구를 하는 대표적인 프로그램은 RSI (Research Summer Institute), WTP (Women’ Technology Program) 등이 있는데 이런 프로그램들은 가격이 저렴한 것도 특징이다.  예를 들어, RSI는 수업료 전액과 숙박, 비행기 값까지 장학금으로 지원하게 되어 있다.   그리고 RSI나 WTP의 인지도는 그 프로그램 출신들이, 최소한 내가 아는 바로는, 그 누구도 MIT를 지원하여 불합격한 경우를 보지 못했다.  물론 학생이 하도 특별하여 예외적으로 첫 경우가 될 수도 있겠지만 내가 이제까지 과학 경시 심사를 하며 물어 본 모든 학생들과 그들의 친구들도 RSI나 WTP 출신은 모두 MIT에 합격 하였다.

이렇게 MIT에 합격을 보장하는 수준 높고 참가비가 무료이거나 저렴한 Summer Program은 어떻게 하면 들어 갈 수가 있을까?  여기에 마태의 효과가 나타난다.  마태 효과란 성경의 마태복음에 나오는 있는 사람에게는 더 주어지고, 없는 사람에게는 가지고 있는 것마저도 빼앗긴다는 내용에서 발생한 표현이다.  이 여름에 학생들이 연구를 하는 프로그램들은 이미 연구를 할 학생들을 주로 받는다.  즉, 학생이 과학에 대해서, 연구에 대해서 배워야 할 목적으로 신청을 하는 경우는 되기가 어렵다.  왜냐하면 적은 자리수에 많은 학생들이 지원을 하는데 이 중에서 심사를 하는 심사위원들이 바라는 것은 프로그램 출신 학생들이 과학 분야에서 성공을 하는 것이다.  사실 RSI 출신은 Intel STS 에서도 Finalist 40명 중에 SRI 출신이 10명이라는 무서운 장악을 하고 있다.  학생이 프로그램을 통해 나가서 과학 연구에 성공을 할 것이라고 예측을 하는 가장 유용한 척도는 그동안 얼마나 과학 연구를 성공적으로 해 왔나이다.  그러니 지망생 모두에게 전에 연구 해 온 것을 구체적으로 요구하지는 않지만 학생들을 비교해서 상대평가로 선발하는 것이기 때문에 이미 연구한 경력이 있는 학생이 더 기회가 주어지는 것이다.  그러니 이것이 마태의 효과인 것이다.  이미 연구의 경험이 있는 학생은 더 연구를 할 수 있는 기회가 주어지고 할 기회조차 없었던 학생은 새로운 연구를 할 기회가 없어지고 계속 문이 막히게 된다.

이런 RSI나 WTP같은 프로그램은 주로 11학년이 끝나고 12학년이 되기 전의 여름에만 받는다.  그렇다고 그 전의 여름에 다른 프로그램을 하면서 지난다고 해서 그 때를 막연히 기다리고만 있어서는 안된다.  그런 프로그램에 선택되어 지는 학생들은 이미 5, 6, 7학년 때부터 과학 연구, 과학 경시대회에 참가해 왔던 학생들이다.  그래서 RSI나 WTP같은 프로그램에 대해서 들으면서도 많은 학부형님들이 11학년 말에 참가하는 것이니 아직 시간이 있구나 하면서 다른 여름에는 CTY나 EPGY 같은 프로그램에 보내고 계신데 그것은 11학년말에 RSI의 치열한 경쟁 준비에 전혀 도움이 되지 않는다.  SRI가 여름 캠프이지만 다른 여름 캠프를 한다고 해서 준비가 되는 것이 전혀 아니다.

RSI 에 뽑히기 위해서는 완성된 연구가 아니더라도 여태까지 무언가 해 온것을 보여야 되는데 그것을 시작하는게 가장 어렵다.  그래서 이런 무료 프로그램에 들어가기 위해서 시간과 돈을 투자해서 준비를 해야 하는 모순이 생기게 된다.  모든 마태의 현상의 일이 그렇듯이 처음 시작이 가장 어렵고 가장 중요하다.  일단 조금이라도 있으면 그 위에 더 많은 것을 얻게 되는데 그 첫 단계가 없으면 영영 시작을 못하게 된다.  그래서 이 부분은 부모님이 개입을 해서 학생에게 mentor를 찾아 주시고 어디서 시작해야 될지 모르는 막막한 과학 연구를 도움을 받아 시작할 수 있도록 해 주어야 한다.  그래서 학생이 무엇을 원하는지를 찾고, 무엇이 재미있는지를 깨닫고, 그렇게 해서 결과가 나오기 시작하면 그 다음부터는 문이 계속 열리게 된다.  이런 공정한 기회가 주어지지 않고, 이미 기회가 있던 학생에게 더 기회가 주어지는 것은 불공평하게 느껴지지만 사실 사회가 이미 그렇게 돌고 있고, 우리는 그것을 알기 때문에 학생들이 명문대를 가기를 원하는 것이다.  즉, 우리는 이미 마태 효과를 알고 있고, 그것을 누리려고 하는 것이다.

그러니 MIT를 목표로 하는 학생은 “이번 여름에는 어떤 프로그램이 있나?”를 살필 것이 아니라 아무 캠프를 가지 않더라도 11학년 말에 RSI에 합격할 수 있는 준비를 지금 어떻게 시작해야 하나?”를 고심해야 한다.