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수학은 AIME 수준까지만
Written on April 26, 2012
By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처
이공계를 지망하는 학생은 물론 정보경제시대에서 주도적인 역할을 희망하는 학생은 추리력, 창조력, 논리적 사고력, 분석력을 갖추어야 한다. 초중고생 나이에도 이 길게 열거한 모든 조건을 다 갖추어야 제대로 해 낼 수 있는 일이 있으니 그것이 바로 수학경시대회에 출제되는 문제를 푸는 것이다.
물론 예술이나 과학연구같은 다른 분야에서도 같는 능력을 요구하지만 객관적이고 정확한 측정이 어렵기 때문에 철저한 훈련이 되었는지 확인할 수가 없다. 따라서 경시대회에 출전하고 말고와 무관하게, 수학을 전공하고 말고와 무관하게, 정보시대의 경쟁력을 갖추기 위해 수학경시대회에 출제되는 문제를 풀 수 있는 능력을 갖추어야한다. (영문학에 관심이 있거나 말거나 영어를 유창하게 구사해야 하는 것과 마찬가지이다.) 다른 활동과는 달리 이 훈련은 앞으로 당면할 SAT, AP등의 많은 시험의 과잉준비가 저절로 되는 부수적인 장점도 있다.
수학경시대회는 종류도 수준도 다양한데 대체 어디까지 얼마나 준비를 해야 하는가? 나는 학생이 수학이 아닌 다른 과학이나 엔지니어링을 전공할 계획이라면 AIME에 초대 받는 정도까지 배우라고 권한다. AIME는 AMC 10이나 12에서 고득점을 받아 초대를 받는다.
AIME에 초대를 받는 다는 것은 얼마나 높은 수준인가? 2012년에는 전 세계에서 2703명이 응시를 했고 (초대받은 수는 더 많다. ) 2011년에는 6528명이 응시를 했다. (그 전해에는 10,000명 선이었다) 미국에만 고등학교가 35,000이상 있는 것을 감안할 때 매년 약 3~5개교에서 한명이 AIME에 초대 받는 정도의 수준이다.
Harvard 나 MIT를 목표로 하는 학생은 학교수학, SAT, AP에서 만점 받았다고 내 세워봐야 당연한 소리 하고 있는 것 밖에 되지 않으니 이 AIME 초대받은 경험을 내세워야 한다. MIT지원서에는 아예 AIME 점수를 기입하는 칸이 있다. 물론 option으로 기록하는 칸이지만 경쟁자들이 다 AIME경력을 기록하고 있는데 나 혼자 비워두면 그를 만회하기 위한 다른 굵직한 기록을 제시해야 하는데 이공계를 지망하는 학생에게 AIME에 필적할 기록은 과학경시대회 수상 기록밖에 없다.
AIME에서 높은 성적을 받으면 (AMC 10/12의 성적을 합해 계산해서) 그 다음 단계인 USAJMO와 (9, 10학년) USAMO에 (11, 12학년) 초대를 받는다. USAJMO+USAMO는 미 전국에서 매년 약 500명만 초대하니 가히 그 실력을 짐작할 수 있다. 나는 모든 학생에게 AIME까지는 꼭 가라고 조언 하지만 USAMO까지 가는 것은 정말 수학에 소질을 타고 나거나 수학을 전공할 학생에게만 추천한다. 수학에 타고난 소질이 없어도 AIME까지 가는 것은 가능할 뿐 아니라 이공계에서 성공적인 커리어를 영위 하려면 그정도는 감당할 줄 알아야 한다. 그리고 AIME까지 가기 위해 배우는 수학은 과학, 물리, 엔지니어링에 직결이 되는 유용한 응용 수학이다.
하지만 USAMO에 초대를 받기 위해 AIME의 점수를 올리려 노력하는 것은 타고난 소질이 있지 않으면 너무 시간을 투자해야 하기 때문에 노력에 비해 얻는 것이 적다. AIME에 초대 받기까지의 노력에 비해 AIME에서 10점 이상 받는 노력은 몇 배가 더 들거나 (학생에 따라) 불가능하다. 그리고 그 수준에서 배우는 수학은 수학을 위한 수학이 되어 엔지니어링이나 물리에 적용할 범위도 현저히 줄거나 아예 없게된다.
물리와 엔지니어링을 공부하고 연구원으로 일을 해 온 나는 순수수학의 문제를 보면 마치 신문에 나온 체스 문제 (앞으로 3수 내로 King을 잡아라) 내지는 바둑 사활 문제를 보는 느낌이다. 이는 수학을 도구로만 보는 나의 전형적인 공돌이의 자세에서 나오는 반응이다. 선천적으로 그런 문제에 매력을 느낀다면 더 깊이 배워야 하겠지만 물리나 엔지니어링에 관심이 있다면 차라리 그 시간에 과학경시대회 준비를 하는 것이 배우는 것도 많고 내세울 경력도 화려해지기 때문에 “AIME까지만 가고 그 다음에는 과학연구를 해라”라고 내 학생들에게 조언을 하는 것이다. “수학을 더 배우고 싶으면 시험준비를 하지 말고 자발적인 연구를 하라”고 조언한다.
과학경시대회마다 수학분야가 있다. 수학경시대회의 훈련을 받은 학생은 비록 아직 고등학생이더라도 Mathematica를 사용하여 새로운 분야를 탐험하는 훈련을 받으면 새로운 패턴을 찾아내고 새로운 의문점을 찾아내어 독창적인 연구를 한다. (Computational Mathematics 컴퓨터 수학) 내 학생 두 명이 벌써 Mathematica로 자신의 연구를 하여 경시대회에 출전하여 한명은 미시간주에서 1등을 했고, 다른 한 학생은 주에서 1등은 물론 ISEF에까지 출전하게 되었다.
참고로 한국에서 흔히 “학생들이 수학은 잘 하는데 위대한 수학자가 없다”고 한탄하는데 그 “위대한 수학자”는 경시대회를 휩쓰는 사람이 아니라 새로운 분야를 개척하는 수학 연구자이다. 즉, USAMO, IMO 에서 수상하는 준비가 아니라 Intel STS에서 수학연구로 상을 받는 (올해 Intel STS 의 1등은 Computational Mathematics) 방향으로 나가야 그런 “수학의 대가”로 탄생할 수 있는 것이다.
누가 수학경시대회 준비를 포기해도 되는가?
By James H. Choi
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미국에서 자라나는 교포 2세 학생들은 자신이 수학을 잘 한다고 생각하고 자신감을 가지고 있다. 학생에게 “자신감”을 주는데 중점을 둔 미국 교육 방법의 대 성공이다. “자신감이 있으면 더 열심히 하게 되고 더 열심히 하게 되면 실력이 올라간다”라는 인과관계의 가정에서 나온 교육지침일텐데 현실은 다르다. (수학에 자신감을 가지면 더 잘하나?) 간단히 말해서 OECD 국가중 미국의 학생은 자신감만 높고 실력은 낮다. 그 반대로 수학에 자신감이 없는 나라 (중국, 한국, 싱가포르) 학생들이 실력은 top 이다.
그래서 이 근거 없는 자신감으로 가슴이 부풀은 학생들이 수학 경시대회에 응시해 보면 불편한 사실을 접하게 된다. 특히 처음 접할 때는 이 소식이 충격에 가까워서 학생이나 학부모나 감당을 못하게 되는 경우가 많다. (자제분이 경시대회 등수에 들지 못했을 경우)
이 때 학생/학부모님의 대처법은 두가지로 나누어 지는데
- 한 유형은 “우물속에 살았구나!”라는 깨달음과 함께 우물 밖 세상을 보고 큰 세상의 기준으로 학업을 계획한다.
- 다른 유형은 “무슨 이런 따위 시험이 있어 똑똑한 우리 아이 기분을 상하게 하는가?라고 분개하며 이 bad news를 원천적으로 차단한다. 즉, 다시는 수학경시대회 따위에 참가하여 기분 잡치는 일이 없도록 하고 학교수학에서 A를 받아 자신감으로 충만한 학창생활을 영위한다.
둘 다 reasonable한 대처법이다. 특히 두번째의 대처법은 첫번째보다 쉽고 저렴하면서도 가족의 행복지수는 더 높아지는 경이로운 방법이라 많은 가족이 선택한다. 그리고 첫 대처법을 선택했던 가족도 얼마동안 수학 경시대회 준비 코스를 수강한 결과가 만족치 않으면 두번째 유형으로 전환하여 지출은 줄이면서 삶의 질은 향상되는 만족스러운 변화를 경험하시게 된다.
한데 내게 신기한 것은 바로 이 같은 분들이 자제분의 SAT 수학 점수는 쉽게 포기를 못하신다는 것이다. 온갖 방법을 동원하고, 온갖 지출을 불사하고라도 끝까지 점수를 올리는데 집착하신다는 것이다. 왜 똑 같은 내용을 배우는 것인데 비교적 기회가 많을 때는 포기하더니 의욕도, 효과도 없는 지금은 집착하는가?
어리고 말 잘 듣는 시절에 “힘든 공부는 포기하면 된다”는 산 교육을 가르치고 나서 몇 년 후 덩치커지고, 여드름나고, 말마다 반항하는 학생에게 말을 바꾸면 통할 것인가?
5학년 때는 잘하는 학생과 못하는 학생의 차이가 그렇게까지 크지 않다. 하지만 11학년이 되면 우열의 차이는 10년이 걸려도 메꿀 수가 없게 된다. 왜냐하면 잘 하는 학생들이 절대로 서서 기다리고 있지 않기 때문이다. 아니 잘 하는 학생들은 점점 더 빨라지고 있다. 초등학교 때 뒤 처진 것을 발견하고 방치를 선택하여 6년간 격차를 더 벌려 놓고 나서 제일 바쁘고 제일 말 안듣는 고등학교 11학년이 되어 몇 달 만에 역전을 한다는 것은 불가능하다. (물론 학원은 가능하다고 강조하며 대목을 본다.)
그래서 11학년 말에 난리를 치는 학생의 경우를 보면 항상 “높은 목표”를 가지고 있었지만 평범한 길을 가다가 뒤늦게 “이상”과 “현실”의 차이가 얼마나 벌어졌는지를 깨닫는 경우다. 즉 4~6학년 때부터 기회를 포기한 (또는 기회에 무관심했던) 결과가 꼬리를 물고 물어 도달한 상황이다.
지적경제속에 국제적으로 경쟁할 학생은 반드시 수학경시대회 준비를 해야 한다. 수학을 배우기 위해서도 아니고 경시에서 입상하기 위해서도 아니다.
어려서 수학 경시대회 준비를 하는 것은 수학을 배우는 외에도 분석적인 사고능력도 배우고 더 중요한 지능의 발달을 가져오기 때문에 추후 중학교 고등학교를 다니면서 모든 과목이 다 쉬워지는 효과가 있다. 두뇌로 경쟁을 하는 전문직 커리어를 목표로 하는 학생은 의과가 되었건 경영학이 되었건 두뇌 성장 과정에 지능을 최대한으로 발달 시켜야 한다. 이는 장래에 어떤 운동을 선택할지 모르지만 성장과정에 기계체조와 마라톤 훈련하여 운동으로 단련된 튼튼한 몸으로 자라나도록 만들어 놓는 것과 마찬가지이다. 학교에서 배우는 수학은 앵무새에게 대화를 가르치는 것에 가까워 쉽게 A를 받을 수 있고 자신감이 넘치도록 해 주지만 지능을 높일 정도의 수준이 되지 않는다. 그리고 설사 학교에서 경시대회 수준의 숙제를 내 주었어도 학생은 10초 들여다 보고 나서 “I don’t get it” 하면 넘어가게 되기 때문에 수학경시대회 문제를 배우는 효과가 나지 않는다.
그렇기 때문에 학교에서 수학 잘한다고 날리던 학생이 경시대회문제를 보면 시작도 못하는 것이 아닌가?
자제분이 11학년이 되어 “대입 준비가 힘들어요”라고 하면 “그러면 그만 두고 쉬어라”라고 하실 것인가? 그런 분만 저학년 때 수학경시대회 준비를 포기하셔야 나중에 후회를 하지 않으신다. 무슨 이유로건 “내 아이는 Harvard/MIT에 꼭 들어가야 한다!”라고 굳은 신념을 가지신 분은 무슨 방법으로건 자제분이 어려서부터 경시대회 수준의 수학을 굳은 신념으로 가르치셔야 한다.
CTY에서 온 교사 초청 편지
Written on April 24, 2012
By James H. Choi
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작년 이맘 때 CTY에서 편지가 왔다. 나보고 CTY에 와서 가르치지 않겠냐는 초청이었다. 내가 CTY와 아무런 관계가 없으니 아마도 미국 수학자 협회나 물리학자 협회의 멤버 리스트에서 내 이름을 받아 보낸 것으로 짐작된다.
그래서 이번 기회에 그 유명한 CTY에서 직접 가르치며 어떤 곳인지 경험해 볼까 하고 근무 조건과 보수 등을 문의했다.
그들의 답변을 간단하게 요약하면 다음과 같다.
수업 시간, 준비 시간, 채점 시간 합해 하루에 8시간까지 일을 하게 되고 (A day in life of a site instructor 교사의 전형적인 하루는 아침 8시부터 오후 4시까지 일을 하는 것으로 나왔다.) 나 같이 교수 경험이 있는 박사학위 소지자는 최고 보수 금액인 주 $1,000불을 받게 된다. 즉, 일주일 40시간 근무를 가정하면 시간당 $25불을 받는 것이다. 학위가 낮거나 경험이 모자라면 시간당 $18불 정도를 받을 수 있다. 교사에게 수익의 8%정도만 지불하고 운영이 되는 환상적인 교육 비즈니스 모델이다.
게다가 캠퍼스까지 가는 항공비는 내가 자비로 부담해야 한다.
대학생 여름 아르바이트로는 좋은 조건이지만 프로들이 나설만큼 좋은 조건은 아니다. 대체 어떤 수준의 교사를 고용하려는 의도인가 하고 자격을 보니 다음과 같이 나왔다.
Desired Qualifications:(CTY에서 희망하는 교사 자격)
- Teaching experience, preferably with children or adolescents
- 교사경험. 어린이와 청소년을 가르친 경험 선호
- Graduate course work in the appropriate field with a GPA of 3.2 or better
- 적절한 분야의 대학원 코스에서 3.2나 그 이상의 GPA
- Demonstrated leadership and organizational skills
- 리더쉽과 조직력을 보임
- Maturity, responsibility, and creativity
- 성숙, 책임, 창조력
나는 가지 않았다.
사비오 칼럼 