사비오 칼럼

지난 4월에는 Illinois Region 6의 Science Fair 에서 심사를 맡아 보았다. Region 6지역에는 시카고 북쪽의 고등학교는 거의 다 – Glenbrook South, Glenbrook North, Stevenson, Niles East, Niles West, Main East, Main West, New Trier, Fremd, Conant, Palatine, Barrington, Wheeling, Buffalo Grove – 포함되어 있다. 지난 몇 해 동안 이 대회에 참가해 오면서 나는 여러 각도에서 이 행사를 분석할 수 있게 되었다.

지난주 기사에 언급했듯이 이 Science Fair에서 Top 4~5 명 의 선발된 고등학생은, 주(State) 국가(national) 단위의 대회 단계를 생략하고 바로 국제과학경진대회에 출전하게 된다. 국제 대회로 가기 위해 여러 절차가 있는 수학경시대회에 비하면 속전속결이다. 이 ISEF에 출전한 기록은 대입에 대단한 영향력이 있어서 해마다 500명 정도가 진출하는 USAMO 이상의 기록이 될 수 있다. 즉, USAMO경력자가 떨어지는 대학에 ISEF 경력자가 합격하는 경우를 자주 본다.

이렇게 대단한 기회를 제공하는 ISEF로 진출하는 처음이자 마지막 관문인 일리노이 Region 6의 Science Fair에 가 보면 북적거리고 대단한 성황으로 보이는데 의뢰로 참가자의 대부분은 중학생이고 고등학생은 몇 되지 않는다. 그리고 수준도 약해서 “그 중 낫다는 이유 하나로 이 수준의 학생에게 1등 상을 주어야 하는가?”가 이번 대회 심사위원의 열띤 토론의 주제였다. 이렇게 전반적으로 수준이 약하고 어떻게 보면 “만만한” 지역대회에 조금이라도 제대로 된 연구 결과를 들고 오면 졸지에 “국제과학경진대회 출전자”로 재 탄생하여 대입에 막강한 영향력을 발휘할 기회가 될 텐데 왜 출전조차 저조할까?

가장 큰 이유는 대부분의 학생에게 출전 자격이 주어지지 않기 때문이다. 위에 열거한 명문이라는 공립 고등학교 중 유일하게 Stevenson 고등학교가 참여하고, 소위 명문 고등학교로 인식되어 있지는 않지만 그 학교에 몸담은 과학선생님들로 인해 Niles North and Niles West공립고등학교가 참가한다. 나머지 공립 고등학교에 재학하는 학생은 아무리 과학의 천재라도 Science Fair에 나갈 수 없고 따라서 ISEF 출전도 불가능하다.

이제는 나도 현실에 익숙해져 이 사실을 덤덤하게 쓰고 있지만 내 딸이 Fremd 고등학교 재학 시절 학교에 직접 찾아가 지역 과학 경시대회에 참가하여 ISEF로 진출하는 기회를 만들어 주자고 제의 하여 그곳의 과학담당 책임자와 몇 번의 회의까지 했었다. 그럼에도 불구하고 이 학교는 참가하지 않기로 결정하고 말았다. 그리하여 일리노이의 주최기관과 논의하여 따로 출전하는 길을 만들었지만 가까스로 성사가 되었을 때는 딸이 이미 졸업을 앞둔 때가 되고 만 후였다. 다행히 딸은 나름 만족스러운 대학에 합격 하였고 이 “개척”해 놓은 길은 차세대 과학도에게 ISEF출전 길을 열어주게 되었다.

나는 직업상 미국 전역의 학부모와 대화를 하고 여러 지역의 다양한 경시대회를 참관하게 되는데 전국적인 안목으로 보면 이 지역의 목가적인 자세는 과학경시의 불참뿐이 아니다. 예를 들어 동부의 명문 공립고등학교 학생들은 일년에 몇 번 학교에서 버스 대절하여 MIT, Harvard, Princeton, Johns Hopkins 대학에서 개최하는 수학경시대회와 ARML에 학교 단위, 지역 단위로 대거 참가시키는데 시카고 북 쪽의 지역에서는 여러 학교에서 선발된 학생들로 구성된 1~2 팀만이ARML에 참가한다.

물론 다 각자의 가치관에 따라 살고 그에 따른 교육을 선택하는 것이라 옳고 그른 것은 없다. 하지만 동부에서 단체로 버스 타고 다니며 과학 수학 경시대회 경험과 경력을 쌓아가고 있는 학생들과 정면충돌을 하는 것을 목표로 하고 있다면, 즉 명문대를 목표로 하고 있다면, 시야를 돌려 나의 경쟁자는 지금 무엇을 하고 있는가 하고 살펴야 한다.

AP Physics와 Precalculus/Trigonometry

By James H. Choi
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질문:

제 아이는 지금 하이스쿨 10학년인데, 엔지니어쪽으로 관심을 갖고 Physics를 전공하고 싶어합니다. 그런데 11학년 스케쥴을 계획하다 보니 11학년엔 수학은 Honors pre-calculus, 과학은 AP physics를 하고 싶어 합니다. 그런데 주위분들 말씀으론 pre-calculus를 끝내지 않고 AP Physics는무리일거라 하고, 또한 Physics를 하지 않고 AP physics를 하는 것도 무리일거라 하는데 확실치 않아서 박사님께 도움을 청하게 되었습니다. 참고로 9학년엔 Honors Geometry, Honors Biology를 하였습니다.

11학년에 Honors Pre-calculus와 AP physics를 같이 하는것은 그릇된 계획인지요?

답:

제가 ice hockey 게임을 보면 제일 신기한 것이 선수들이 스케이트를 앞으로 뒤로 똑같이 자유자재로 신속히 움직일 수 있다는 것입니다.  아마도 선수들은 자신이 앞으로 간다 뒤로 간다를 생각하지도 않고 본능적으로 움직일 것입니다.

AP Physics B 에 나오는 수학은 대부분 Algebra 2에서 나오는 수학입니다.  (AP Physics C 는 Calculus가 필요 합니다.)  한데 등장하는 도구가 조금 기울어지기만 하면 (예: 경사를 타고 내려오는 공) 당장 삼각함수 (Trigonometry) 가 동원 되어야 합니다.  그리고 무슨 일이고 주기적으로 반복되기만 하면 (예: 좌우로 움직이는 추) 또는 회전하게 되어도 (예: 바퀴의 움직임) 당장  Trigonometry를 사용해야 합니다.  인간의 본능에는 직진이거나 회전이거나 다 비슷한데 수학에서는 일단 기울거나 회전을 시작하면 전혀 다른 수학 Trigonometry가 동원이 됩니다.  이는 hockey 선수가 뒤로 스케이트를 타는 것과 마찬가지로 두번 생각하지 않고 자유자재로 사용할 수 있어야 합니다.

그래서 Trigonometry에 약한 학생은 물리에서 고전을 할 수밖에 없게 됩니다.

참고로 미국에서는 Trigonometry가 다양한 모습으로 등장합니다.  Algebra 2 에 포함시켜 가르치는 학교가 있고 Trigonometry라고 하여 Precalculus까지 합해서 가르치는 학교가 있고 Precalculus라고 하여 Trigonometry를 합하여 가르치는 학교가 있습니다.

자제분의 경우는 다른 준비 없이 지금 계획 대로 진행하면 고전을 하게 되어 있습니다.

한데 학생의 학년과 희망 진로를 생각하면 더 늦출 여유도 없습니다.  제 조언은 11학년 수업 계획을 그대로 밀고 나가되 여름방학 동안 독학으로 Trigonometry/Precalculus를 끝내는 것입니다.  비장한 각오로 하면 끝내는 정도가 아니라 show off 까지 해서 11학년에 AP Calculus 를 시작할 수도 있습니다.  그렇게 목표를 정하면 사춘기 남학생의 전형적인 영웅심, 과시욕에까지 발동이 걸려 뜨뜻미지근한 목표를 향해 나가는 것 보다 더 효과가 있을 것입니다.

그래서 혹 떼러 오셨다가 혹 붙이신 기분이 되시겠지만 제 추천대로 하면 무리스러운 11학션 시간표가 한 단계 더 어렵게 되겠습니다.  하지만 독학으로 Trigonometry/Precalculus를 배우고 11학년에 AP Calculus에 도전한 학구열은 우선 물리를 쉽게 만들 것이고 더 나아가 입학하는 대학의 수준을 한 단계 올릴 것이고 Calculus를 알면 앞으로 과학 연구를 하더라도 다룰 수 있는 주제가 두 배로 넓어지고 깊어지게 됩니다.  그리고 이 모든 공부는 나중에 Engineering/Science 분야에서 경쟁하게 될 학생들이 이미 배우고 있는 수준이라 무모한 일이 절대로 아닙니다.  오히려 시도를 하지 않는 것이 무모한 일이지요.

학교에서 11학년에 Calculus로 배정 시켜 주지 않아도 역시 혼자 공부해서 5월에 시험 보면 게임 끝납니다.  Precalculus수업 교실에서 다 배운 내용 다시 듣고 있을 것이 아니라 자신의 상황을 선생님께 말씀 드리고 수업 시간에 한 구석에서 조용히 Calculus 책 열어 놓고 열심히 공부하고 있으면 누가 나무라겠습니까?

제가 어린 시절 보던 만화는 한결같은 이야기의 흐름이 “주인공이 세상을 등지고 혼자 인적 드문 곳으로 가, 장기간 초 인간적인 훈련을 하고 돌아와서 초 인간적인 능력을 보이는 영웅이 되다” 였는데 제가 하도 그런 만화만 봐서 그런지 그 것이 제 가치관이 되었습니다.  자제분에게도 그런 가치관이 있으면 이번 여름에 비장한 각오를 하고 친구들에게 “가을에 학교에서 보자”라고 작별 인사하고 친구들 입 떡 벌어지게 하는 업적을 이루는 여름 방학이 되도록 권해 보세요.  원하시면 이 글을 영어로도 쓰겠습니다.

AP Physics B에서 고전을 하는 학생을 위한 조언

By James H. Choi
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해마다 멀쩡하게 잘 나가던 학생이 예상외로 벽돌 벽에 부딛혀 고생하는 모습을 보게 되는데 그 과목은 거의 다 물리와 기하이다.  (기하와 물리: 반복이 되더라도 미리 배워야 하는 과목  참고)

특히 미국의 AP Physcis는 5월에 있을 시험 준비를 시켜야 하기 때문에 “학생 모두가 다 완전히 이해할 때까지” 가르칠 여유가 없다.  정신없이 몰아쳐서 가르치기 때문에 웬만한 학생이면 고전을 하게 되는데 그렇다고 해서 학생 모두가 이해할 때까지 가르칠 수있는 Honors Physics 로 가게 되면 SAT 시험 출제 범위의 반 정도 밖에 배우지 못하기 때문에 그 나름대로의 문제가 있다.  진퇴양난이 된다.  (Honors Physics의 현실  참고)

게다가 AP Physics B는 조금 익숙할만하면 배우는 내용이 완전히 바뀌어 버리는 문제까지 있다.  이 다양하고 무관한 주제가 한 과목에 속해 있다는 것이 믿어지지 않을 정도이다. 물리를 배우고 나면 “세상이 모두 다 물리다”라는 말이 실감난다.

고등학생이 배우는 과목중에 물리가 가장 원리의 파악을 요구한다.  이해 못하더라도 열심히 외우고 유형을 익혀 넘어가려는 공부 방법의 소유자가 임자를 만나는 외나무 다리가 바로 Physics 물리이다.  특히 물리의 저변에 깔려있는 철학인 “세상은 간단하며 뻔한 규칙으로 움직이는 곳이다”에 동의를 못하고 “세상은 우리의 희망과 감정에 따라 매번 다른 결과가 나오는 복잡한 곳이다” 라고 생각하는 학생들은 고전을 한다.

AP Physics B나  C 수준의 물리란 “세상은 겉으로는 복잡해 보이지만 실은 간단한 원리로 모두 설명이 되며 앞으로 진행될 과정까지 예측까지 할 수 있다”를 배우는 학문이다.  이 간단한 원리를 파악하지 못하고 열가지 현상을 보면 열가지를 배우려는 학생은 물리에서 좌절하게된다.  즉, 다리를 만져도 꼬리를 만져도, 귀를 만져도 “또 코끼리구나” 하고 결론을 내려야 하는데 만지는 곳마다 새로운 동물을 발견하는 학생은 “다리라는 동물은 꼬리라는 동물 수의 4배이고 귀라는 동물의 2배이다.” 같은 식의 공식을 만들어 외우지만 코라는 동물에 대한 문제가 출제되면 공식을 몰라 답을 할 수 없게 된다.

일단 이런 난관에 처하면 어떻게 헤쳐 나가야 할까?

우선 눈을 뜨고 코끼리 한마리뿐이라는 것을 알아야 한다.  이는 문제를 더 많이 푼다고 되는 것도 아니고 직감적으로 깨닫지 못한는 학생을 위해서는 누군가가 지적을 해 주어야 한다.  눈을 뜨고 나면 안 만져 보아도 각 부분의 촉감을 정확히 추측할 수 있게 된다.  몇 주에 한번씩 주제가 바뀌며 온갖 요상한 내용을 배우는 물리가 실은 한 코끼리의 여러 부분일 돌아가며 보고 있을 뿐이라는 것을 깨닫기 위해서는 그 깨달음에 초점을 맞추고 가르치는 선생님에게 배워야 한다.  한데 이 것이 간단하지 않은 것이 이미 직감적으로 물리를 이해하는 선생님은 “당연한 소리”를 강조할 필요를 못 느껴서 소홀히 할 수 있고, 공식만 가르치는 선생님은 전체 그림을 보여줄 능력이 없다.  인터넷에 수 없는 물리 강의가 산재하지만 기분 내키는 대로 산발적으로 만든 강의가 대부분이어서 mechanics 부터 modern physics 까지 한 코끼리를 가지고 일관성있게 가르치는 강의는 본 적이 없다.  이런 부분적 강의는 모든 것을 다 이해하고 있고 한 부분만 필요한 학생, 또는 물리의 신기함을 알고 싶어하는 학생, 일반인에게는 유용하지만 지금 당장 전체 그림을 보고 각 부분을 파악해서 시험을 봐야 하는 학생에게는 도움이 되지 않는다.  YouTube를 보면 각 개념마다 강의가 1000개 정도 되어 한번씩 보는데 가장 좋은 강의를 선택하는데 몇 달의 시간이 필요하다.  홍수의 범람으로 식수가 고갈되는 현상이다.

그러면 누구에게 어떻게 배워야 하는가?  우선 내가 만든 강의를 들어 보시는 것을 권한다.  내가 이 물리 강의를 만들 때는 위에 강조한 전체 그림을 먼저 보여주고 각 부분을 설명했다.  강의의 수준과 범위는 SAT Physics인데 여기에 내가 다루는 개념은 AP Physics와 같은 내용이다.

일단 내 강의거나 다른 선생님의 도움으로 전체 그림을 볼 수 있게 되면 그 다음은 제대로 보고 있는지를 확인해야 한다.  그러기 위해서는 각 부분의 공식에 수치를 대입하는 문제를 풀 것이 아니라 그림 자체에 대해 묻는 문제를 접해야 한다.  그 문제는 이 두 권의 책을 구입하여

Giancoli Physics 5th Edition (중고 $2 미만)

Serway Physics 6th Edition (중고 $2 미만)

각 chapter 끝에 나오는 Questions를 풀어 보아야 한다.  Questions는 Problems와 달리 원리를 이해 했는지 확인하는 정곡을 찌르는 질문이고 SAT Physics문제가 대부분 바로 이런 식으로 출제된다.

학교 물리 수업에 고전하는 학생은 반드시 시간을 내어 내 강의 무료 trial을 신청하고 위의 책 두 권을 주문하여 위에 설명한 방법으로 물리 공부에 접근해 보기를 권한다.  물리에 소질이 없다고 자포자기 했던 학생도 일단 눈을 뜨고 나면 물리가 가장 쉬운 과목이라는 것을 알게될 것이다.

위의 책 두권은 가격도 저렴함으로 구입하여 비치해 놓는 것이 현명하다.  한 책의 설명으로 이해를 못 한 개념도 다른 설명을 들으면 이해할 수가 있게 된다.  물리에서 고전하는 학생은 풀어놓은 문제를 보고 그 문제의 풀이 요령을 익히며 그것이 공부라고 생각하는데 그런 방법으로 준비하면 다른 식으로 출제된 문제에서 다시 막히게 된다.

AMC 8의 사전 사용 규정

By James H. Choi
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2012년  AMC 8 시험 규칙의 Statement 7에 다음과 같은 규정이 있습니다.

English Language Learners

영어를 배우는 학생

English Language Learners may use a book or dual-language nontechnical dictionary between their native language and English.

영어를 배우고 있는 학생은 수학/과학용이 아닌 사전에 한해 모국어로 영어를 설명하는 사전을 사용할 수 있습니다.

A student may use the dictionary only the first time that he/she takes the AMC 8.

AMC 8에 처음 응시하는 학생에 한해 사전을 사용할 수 있습니다.

The dictionary must be given to the school contest manager to examine and retain for the 24-hour period preceding the test.

사전은 감독관에게 전달하여 감독관이 시험 시작 전 24시간 보관/검사 할 수 있어야 합니다.

The proctor must announce to other students that the student(s) has/have been given special permission to use the dictionary during the contest.

시험 감독관은 시험이 시작되기 전 모든 수험생에게 이 학생은 사전을 사용할 허가를 받았음을 공지해야 합니다.

Inform the students that the contest and solutions may not be discussed with anyone outside of their contest administration either orally, via email, internet, copier or media of any type until after November 20.

또 한가지 중요한 규칙은 AMC 8 의 시험지는 응시일 다음 주 화요일까지 공개할 수 없다는 것입니다.  이는 AMC 8 규정상 학교의 재량에 따라 시험을 그 다음 주 화요일까지 볼 수 있도록 규정하고 있기 때문에 시험은 안보/공정을 위해서 입니다.  개최자도 시험지를 유출하지 말아야 하지만 혹시 개최자의 무지로 유출이 되었어도 학생이 공정을 위해 문제를 공유해서는 안 됩니다.

2012 AMC 8 해설 강의

By James H. Choi
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2011 AMC 8 해설 동영상 강의: 2012 AMC 8 Solutions & Answer Key

2012 AMC 8 해설 동영상 강의: 2011 AMC 8 Solutions & Answer Key