사비오 칼럼

수학 경시대회의 문제 유형, SAT, 대입 준비 관계

Written on June 5, 2007

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
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수학 경시대회의 문제의 유형들은 학교의 수학 문제들과 전혀 달라 보입니다.  하지만 이것이 기호나 스타일의 차이가 아니라 깊이의 차이 입니다.  전문가들이 출제하는 Math Kangaroo 나 AMC같은 수학 경시대회에 나오는 문제를 풀지 못한다는 것은 암기 공부방식의 한계에 다달했다는 것입니다.  수학 경시대회의 다른 점은 두가지로 구분 될 수 있습니다.

1. 한가지 다른 유형은 관점을 다르게 묻는 문제입니다.

아주 극심한 비교를 하자면 위의 그림에 나오는 두 스푼입니다.  왼쪽의 스푼은 익숙해 있어서 누구나 노련하게 사용할 줄 알지만 수학적으로 오른쪽에 해당되는 스푼을 주면 “이것으로 어떻게 먹을 수 있지?” 하고 막히는 학생이 있는 것입니다.  수학 경시대회에 나오는 문제들은 학생들이 이렇게 익숙해 있는 개념도 다른 방법으로 물어보고 생각없이 기계적으로 손을 놀려 식사하던 학생들을 막히게 만듭니다.

수학적으로 제가 로그 문제를 간단하게 꼬아 보면 이렇게 됩니다.  자녀님중에 Algebra 2 를 끝낸 학생은 이 문제를 할 수 있어야 합니다.  못하더라도 실망하지 마세요.  학교 문제는 절대로 이렇게 안 나옵니다.  로그를 제대로 못 배운 학생은 이 문제 계산기를 사용하라고 해도 막힙니다.

x 명이 10kg의 아이스 크림을 균일한 크기로 나누어 먹으면 한명당 y kg 씩 돌아간다.      log (x) 가 0.477 이라면 log (y) 는 무엇인가?  log 는 base 10을 사용할 것.  계산기 사용 못함.  (If x people shared 10 pounds of ice cream equally, each one would get y pounds.  if log (x) equals 0.477, then what is log (y)?  Assume base 10 and you may not use a calculator.)

간단한 곱셈 문제도 경시대회 식으로 하지면 다음 문제와 같이 꼬아 집니다.  곱셈을 이해한다면 한눈에 답이 나오지만 기계적으로 배운 학생은 곱셈을 시작 합니다.

계산기 없이 다음 중의 어떤 수가 1,000,000 보다 작은가 찾으시오. 정답은 하나 뿐입니다.  (Without using a calculator, find which of the following numbers is less than a million?  There is only one correct answer.)

A 99 x 98 x 110   B 105 x 23 x 420   C 501 x 25 x 98    D 207 x 101 x 49   E 98 x 75 x 96

곱셈 문제 한가지 더 설명 하자면 Algebra 1 배운 학생이라면 ( x + y ) ( x – y ) = x² – y² 정도는 다 알아야 하고 이 문제를 한눈에 풀어야 합니다.  하지만 막히는 경우가 대부분입니다.

217×217 = 47089 이다.  계산기를 사용하지 말고 216×218을 구하라.

Knowing that 217×217 = 47089, find 216×218 without a calculator

수학에 소질이 있는 학생은 이 유형을 따로 배우지 않아도 혼자 터득해서 풀 수 있습니다.  아무준비 없이 경시대회에 나가 좋은 성적을 거두는 학생들은 이 유형을 풀어낸 것입니다.  이런 능력을 타고 나지 않았더라도 이런 유형의 문제를 보는 방법은 배울 수 있습니다.  제가 위에 즉흥 출제한 문제들 푸는 방법을 설명해 주면 모든 학생들이 다 한결같이 “아하!” 합니다.  (예를 들어 100x100x100=1,000,000 이니 세 숫자가 다 100보다 작으면 답은 자연히 1,000,000 보다 작습니다.  그래서 답은 E 입니다.  답은 하나뿐이라고 했기 때문에 나머지는 해 볼 필요도 없습니다.)  그리고 그 다음부터는 같은 유형은 척척 해낼 뿐 아니라 이런 스푼을 뒤집는 방법을 찾기 시작합니다.  그래서 훈련을 받으면 성적이 올라갑니다.

2. 또 한가지 다른 유형은 학교에서 가르치지 않는 수의 성질에 대한 지식을 사용하는 문제입니다.  예를 들어 다음의 문제는 power 2 의 성질을 알고 있으면 단번에 답이 나오고 모르면 일일이 다 더하는 수 밖에 없습니다.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 =

이는 관찰력이 있는 학생이면 보았을 수도 있는데 대개의 경우 무심코 넘어가고 맙니다.  어느 차를 사려고 관심을 가지면 그 때부터 길이 그 차로 가득찬 것 같이 보이듯 일단 이런 수의 성질을 배우고 나면 갑자기 그에 관한 문제가 많이 나타나기 시작 합니다.   그리고 그 때 부터는 같은 수의 성질에 관한 문제는 쉽게 풀수 있게 됩니다.  이런 수의 성질은 많지만 무한대는 아닙니다.  높은 수준의 수학 경시대회 준비를 배우게 되면 이런 수의 성질과 이론을 많이 배우게 되고 그 다음에는 그 이론을 어떻게 사용하게 되는가를 배우게 됩니다.  하지만 이론이 한 없이 있는 것이 아니기 때문에 어려운 문제는 여러 이론을 동시에 적용하여 난이도를 높인 문제가 됩니다.  이런 이론은 학교에서 가르치지 않습니다.  엔지니어링 쪽으로 수학을 공부하는 사람은 대학에 가도 이런 수의 성질을 배우지 않습니다.  그래서 이런 경시대회 훈련을 받아야지 대학교, 대학원 수학을 했다고 경시대회의 성적이 올라가지 않습니다.

경시대회에서 이런 유형의 문제를 출제 하는 것은 학생들의 문제를 푸는 능력을 보는 것이 아니라 문제의 주제를 파악하는 능력을 보기 때문입니다.  경시 대회 문제는 일단 패턴을 파악하고 나면 허무하게 무너집니다.  과장해서 비교하자면 대학원 수학 시험은 한시간동안 세 페이지 가득 풀어서 답을 내게 되지만 경시대회 문제는 한 시간 노려보다 세줄에 풀게 됩니다.

SAT 의 유형

SAT 시험은 희석된 수학 경시대회 문제라고 볼 수 있습니다.  위의 두가지 유형이 다 나오는데 수학 경시대회처럼 만점을 받지 못하도록 만든 시험이 아니기 때문에 훨씬 쉽습니다.  AMC 시험은 문제가 뒤로가며 점점 어려워 지는데 SAT 의 수준은 AMC의 전반에 나오는 쉬운 문제에 해당됩니다.  AMC 같은 시험에서 고득점 하는 학생들은 물론 SAT 수학 만점을 받습니다.   11학년에 되어서야 그 동안 A 만 받아온 학교 수학이 모자랐다는 것을 깨닫고 효과가 있는지 없는지도 모르는 강행군 반에 들어가 고생해서 수학을 싫어하게 만드느니 어려서부터 이 경시대회에 참여하여 경쟁해가며 SAT ACT 만점 보장 받고 동시에 참된 수학적 두뇌를 개발 시키는 것이 전략적으로나 교육적으로나 최선의 방법입니다.
ACT 는 수학 경시대회 문제 보다는 학교의 수학 문제에 가깝게 출제가 됩니다.  따라서 SAT 와 같은 “사용할 수없는 스푼을 주었다!” 라는 악명이 없는 것입니다.수학 경시대회로 두각을 나타내는 법

특히 수학을 잘 하는 학생, 수학을 즐기는 학생, 과학이나 엔지니어링 쪽으로 나가려는 학생은 학교에서 수학 A 받는 것만으로는 무의미 하고 AMC10이나 12를 잘 보아 최소한  AIME 에 초청을 받은 기록을 만들어야 사정관들의 눈에 띄게 됩니다.  AIME를 잘 보아 USAMO 까지 들어가면 지나가던 지원서를 훑어보던 사정관들의 눈이 다시 돌아와 확인을 할 것입니다.  USAMO에 참여했다는 것은 미 전국의 top 500 의 학생에 속했다는 뜻이니까 “나는 수학을 잘 한다”고 언급할 필요도 없습니다.  MIT 나 Caltech 같이 지원생의 대부분이 SAT 수학 만점을 들고 오는 공대는 AMC, AIME 성적을 기록 하도록 해 영재사이에서 수재를 가려 냅니다.

AMC 8은 2007년 11월 13일에  AMC 10과 12는 2008년 2월 12일에 개최 됩니다.  2007년 ~ 2008 년 AMC 정보  학 교의 수학 팀에 들어가 훈련을 받고 그 지역의 Math League에 참여 해서 많은 문제를 풀어보며 6학년 때부터 매년 응시해 점점 좋은 결과를 내시기 바랍니다.  학교 수학 팀에서 활약하며 경시대회에 참여하는 것이 무료로 SAT (1과 2 둘다) 수학 만점 보장하는 것입니다.

시카고 지역에서는 학교에서 이 경시대회를 볼 수 없는 학생들을 위해 제 학원이 AMC 8, AMC 10, AMC 12를 개최할 것입니다.  저희 학원에서 주최하는 AMC 는 모의 고사가 아닌 공식 시험으로 성적도 공식으로 인정 받습니다.

SAT 점수 유효기간

Written on August 28, 2005

By James H. Choi
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가장 중요한 것은 대학이 얼마나 오래된 점수를 인정하느냐 인데 정상적인 코스로 가는 학생이라면 아무리 일러도 8학년 때 SAT 를 보았을 것이고 11학년에 지원서를 보내니 결국 4년 이상 된 좋은 성적은 무리입니다.  혹시 7학년 때 잘 보았다면 11학년 때는 더 잘하겠죠.  대학 사이트 몇 군데 보았지만 시험의 유효기간을 정한 곳은 못 보았습니다.

성적을 보내는 SAT의 규정은 아래와 같습니다.  이 모든 규정은 SAT Reasoning Test 와 SAT Subject Test 에 해당 됩니다.

SAT 회사 사이트에는 이렇게 나와있습니다.
5년 이상 된 성적이 공식적으로 보내질 시에는 이 성적이 최근 성적보다 대학 학업성과를 예측하는데 정확성이 떨어질지 모른다는 주의가 첨부되어 보내 집니다.

Official score reports that are sent to colleges five or more years after a test date are accompanied by a message explaining that they may be less valid predictors of college academic performance than more recent scores.

다른 페이지에는 이렇게 설명이 되어 있습니다.

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10 학년에 SAT 학원 다녀야 하나

Written on September 25, 2005

By James H. Choi
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10학년생 학부형님이 학생을 지금 SAT 학원에 보내는데 카운셀러가 너무 이르다고 펄쩍 뛰었다는 질문을 보내 주셨다.  과연 어떤 식으로 공부를 시켜야 할지에 대해 문의를 하셨다.

참 대답하기 여러운 질문이다.  첫째 내가 가르친 학생이 아니니 맞는 대답을 할 수 있을지가 우선 의문이고 둘째 이 SAT 학원이라는 것이 무엇을 가르치는지를 내가 모르니까 그 과정을 평할 수가 없다.  그래도 전체 상황을 설명드려 결정을 수월하게 해 드리려 한다.

우선 SAT 학원이라는 곳에 대한 이해를 해야 한다.  너나 할 것 없이 다 SAT 학원이다.  방학 때 교회에서 가르치는 프로그램 다 SAT 이다.  이유는 SAT 를 가르쳐서가 아니라 SAT 라고 하면 학부형들이 돈을 지출하기 때문이다.  따라서 무엇을 가르치던 우선 간판은 SAT 라고 해야 한다.  나도 같은 통속이다.  내 이 칼럼도 처음에 SAT 로 시작을 했다.  이 칼럼의 독자님들도 마찬가지이다.  제목에 SAT 가 들어가면 조회수가 껑충 뛴다.  아마 이 글도 조회수 며칠 내에 400 초과할 것이다.  SAT 는 학부형님들의 관심을 끄는 자동 스위치가 되었고 사교육비 지출을 유도하는 “열려라 지갑”이 되었다.

따라서 무엇을 가르치던지 이름은 SAT로 내 건다.  그래서 간판이 다 SAT이니까 그 교실에서 무엇을 실지로 가르치는지 내가 알 수가 없는 것이다.  준비에 몇 주에서 몇 년이 걸리는 어떤 정해진 코스가 없는 시험이다.  SAT란  자격증도 없고 그냥 몇 년 가르쳤다고 내세우는 숫자를 믿고 학생을 보내야 한다.  시원치 않게 20년 가르쳐도 결국 20년 가르친 선생님이 된다.  몇 년 뻥 해도 확인할 도리도 없다.  그래서 나는 자격증은 없더라도 최소한 자신이 가르치는 시험을 직접 봐야 한다고 주장하는 것이다.  학부형님들이 교사의 SAT 성적표를 요구해야 한다.
SAT 는 고교 전과정의 수학 내용을 이리저리 꼬아서 낸 것인데 우선은 고교수학을 다 배워야 하고 그 다음에 꼬아낸 문제들을 푸는 방법을 배워야 한다.  따라서 제대로 된 완전한 SAT 준비 과정은 고교 전과정과 문제 푸는 법을 배워야 한다.

8주 SAT 코스에서 고교 전 과정을 가르칠 수 없다.  아주 빠른 학생도 고교과정 다 배우는데 2년 걸린다.  따라서 Kaplan 같은 곳에서는 학생들이 고교과정을 이미 아는 것으로 간주하고 SAT 의 출제법에 익숙하도록 마지막 정리를 가르친다.  그 방법만 배우는 것은 8주에 가능하다.  Kaplan이 간주하고 있는 수준을 갖추고 있는 학생은 잘 배워서 시험에 효과를 낸다.  하지만 기초가 모자라는 학생은 가서 완전히 시간과 돈의 낭비를 하고 온다.  Kaplan이나 Princeton Review나 점수가 안 나오면 무료로 다시 강의를 들을 수 있도록 제공한다.  뭐 대단한 것 같지만 결국 시간 낭비 제공이다.  마이동풍(馬耳東風) 두세 번 분다고 해서 말(言)의 의미가 전달되는 것이 아니기 때문이다.

나는 ACT 와 SAT 를 다섯 수준으로 나누어서 가르친다.  따라서 코스를 다섯 번 반복을 해도 점점 차례대로 수준이 올라가도록 만드는데 내가 알기로는 이런 식으로 세분해서 가르치는 곳이 없다.  따라서 이런 세분된 수준 순서대로 가르치는 곳이 아니면 SAT 코스를 오래 한다고 해 봐야 같은 소리 여러 번 듣고 앉아있는 것이다.

위에 언급했듯이 학원에서 코스 이름을 “고교수학과정” 이라고 하면 안 보낼 학부형님도 “SAT 장기 준비”라고 하면 보내기 때문에 코스 이름에 SAT 가 들어가 있을 가능성이 있다.  그러니 SAT 라는 이름을 내 걸었지만 고교수학 과정을 차례대로 가르쳐 가고 있다면 이는 학생에게 도움이 되는 것이다.  즉, 한마디로 해서 학생이 무엇을 배우고 있는지 알아야 결정이 가능한 것이다.

긴 이야기 요약을 하면

10학년이면 PSAT를 봐서 실력을 점검해 보면서 수학을 제대로 배우고 있어야 할 시기이다.  SAT 를 공부한다고 해도 테스트 보는 테크닉이 아닌 기본 실력을 배워야 하는 단계이다.  어느 수준의 학생이 오건 똑 같은 8주 코스를 제공하는 곳에서는 제대로 배우고 있을 것 같지 않고 학생의 수준에 따라 맞는 수학을 배정하는 곳이면 도움이 될 수 있다.  하지만 그 때는 SAT 학원에 다니는 것이 아니고 수학 학원에 다니는 것이다.

내게 권하는 것은 우선 정보를 알아야 결정을 할 수 있으니 학생에게

1. 학원에서 무엇을 배우고 있는지 묻고
2. 학교 과정에 도움이 되는지 묻고
3. 학원에서 같은 내용을 반복해서 배우고 있지는 않은지 묻고
4. 이번에 PSAT 를 보도록 해서 어느 수준인지 측정을 하고

그 결과를 가지고 다시 고려하는 것이 가장 적합하다고 생각된다.

SAT 학원 선택법

Written on June 5, 2005

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
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사방에서 다들 SAT가르친다고 하는데 선생님들이 얼마나 잘 가르치는지 내가 알 도리가 없다.  또한 그 곳에 오는 학생들 얼마나 열심히 배울 마음인지 물론 내가 알 수 없다.  그래서 모든 SAT를 가르치는 곳에서 가장 의욕에 넘치는 유능한 선생님들이 가장 학구열에 불타는 학생들만 가르친다고 가정을 하겠다.  이 가정이 사실이라면 내가 이런 글 쓰고 있을 필요도 없어 보이지만 이런 이상적인 선생님과 이상적인 학생들을 모아 놓아도 배운 것 없는 헛 수업이 될 수가 있다.

한 선생님은 한 입으로 한번에 한가지를 가르칠 수밖에 없다.  모여진 학생 수준이 다르면 선생님은 그 흩어진 수준중 하나만 잡을 수 밖에 없다.  경험있는 교사는 중간을 노리게 되는데 그렇게 되면 학생중 반은 지루해 해고 반은 이해를 못하고 재수 좋은 몇 학생만 수준이 맞아 배우게 된다.

경험이 모자란 교사는 제일 많이 묻는 학생을 중점으로 가르치게 되는데 그러면 한명만 배우고 나머지는 한 학생 배우는 장면 구경하다 수업 끝날 수도 있다.  착한 선생님은 한 학생도 버릴 수 없다고 결국 가장 낮은 수준의 학생 이해시키는데 매달려 결국 나머지는 몽땅 시간 낭비하게된다.

이러나 저러나 대부분은 시간 낭비하는 것이 다를 점이 없다.  한 반의 학생 준비 수준이 다르면 아무리 뛰어난 교사도 어떻게 할 도리가 없다.
학생을 학년별로 모은다고 절대로 같은 수준이 되지 않는다.  한 학년에 수준이 차이가 워낙 크기 때문이다.  같은 나이로 모아도 소용 없고 오직 수학 실력으로 모여야한다.  같은 교회 교인이라고 같은 수준 되지 않고 같이 자라났다고 같은 수준이 되지 않고 같은 시험 준비를 한다고 해서 같은 공부를 하는 것이 아니다.  SAT공부할 곳을 고를 때 반드시 반 배정 시험을 보아 맞는 수준에 넣어주는 곳이어야한다.  11학년이 7학년과 같이 배울 수도 있고 다 한학년일 수도 있다.  하지만 반드시 같은 수준으로 배정되어야 한다.  자녀님이 “너무 쉽다” 또는 “너무 어렵다”라고 하면 시간낭비하고 있는 것이다.

이에 대처하는 가장 간단한 방법은 학생 숫자를 줄이는 것이다.  학생 숫자가 줄면 자연히 수준 차이가 줄 것이고 그러면 효과가 올라가지 않을까 하는 논리다.  그래서 다들 소수정예를 강조한다.  하지만 단 두명이라도 수준이 다르면 둘중 하나 시간낭비 하는 것은 다를 것이 없다.  숫자가 중요한 것이 아니라 수준이 중요하다.  많은 부모님들이 한 반에 몇 명이 수업 받냐고 물어보시는데 그것은 가장 측정이 쉬운 input이기 때문이지만 실은 얼마나 같은 수준의 학생만 모이느냐가 정말 중요한 문제다.

학생 숫자를 줄이는데는 경제적인 문제가 있다.  수업이라는 자체가 economy of scale로 학생당 교육비를 즐이는데 목적이 있다.  반 학생수를 줄이고 줄이면 결국 싼 교사를 찾아야 하게된다.  이런 시험 준비를 실력있고 잘 가르치는 선생님이면 그만큼 보수도 따른다.  선생님 보수를 깎을 수 없는 것이 다른 곳에서 제값 주고 모셔가기 때문이다.  (모셔가지 않는 사람은 좀 수상하다.)  결국 비싸지 않은 선생님을 찾아내면 자신의 본 가격을 아직 모르거나 낮은 가격이 적정한 선생님 둘 중에 하나인데 전자는 오래가기 기대하기 어렵고 후자는 오래하고 싶지 않게 되기 쉽다.

선생님들 거의 다 학위와 경력이 있는데 그 두가지로 반드시 좋은 선생님이 되지는 않는다.  그 선생님께 배워본 학생에게 물어봐야 한다.  (하지만 그 학생이 맞지 않는 수준에서 배웠다면 선생님에 대한 의견이 정확하지 않을지도 모른다.)  새로운 선생이라면 미지수다.  두 세번이면 수업 받아보면 잘 가르는지 알 수 있다.  학생이 싫어하면 항의를 해야아고 개선이 없으면 학원을 바꾸어야 한다.

결국 잘 가르치는 선생님에게 잘 배우려면 같은 수준의 학생만 여러명 모아놓고 실력있는 선생님이 의욕을 가질 좋은 보수를 제공하는 경영방식의 학원이어야 한다.

한가지 더.  대입준비 시절은 에너지가 남아나는 나이이다.  이 나이 학생들 여러명 모아놓으면 수업시간에 시끄럽고 방해하는 학생이 나타난다.  이 학생을 내보내지 않는 학교는 보내지 말아야한다.  모든 학생들에게 끝까지 배울 기회를 준다 등등으로 아무도 퇴학시키지 않는 곳은 한푼이라도 더 벌기 위해 열심히 하려는 학생들 끝까지 방해받도록 방치하겠다는 곳이다.  자녀님이 가해자라면 에너지 발산하라고 이런 학원으로 보내야 하겠지만 공부하려는 학생이라면 이런 환경 철저히 피해야한다.