사비오 칼럼

증명기하의 중요성과 공부하는 법

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처

기하의 종류

기하는 크게 분류하면 계산기하와 증명기하로 나누어지는데 대입에 필요한 모든 시험 (ACT, SAT, PSAT)등은 계산기하만 테스트한다.

증명기하는 계산을 할 줄 알면서도 왜 그렇게 계산을 해도 되는지까지 증명을 해야 함으로 계산기하보다 배우는 것이 훨씬 더 깊다.  따라서 대부분의 학생에게는 더 어려운 과목이다.

대입준비

대입 시험에 나오지 않는다면 대입을 인생의 목적으로 사는 학생에게는 계산기하만 배우고 나머지 시간을 더 건설적인데 보내는 것이 현명할 듯 하지만 그렇게 간단하지 않다.

대입이라는 것이 어떤 절대 조건을 충족시켰느냐로 결정되는 것이 아니라 지원자간의 “그중 나은 학생”을 선발하는 상대조건이라는 것이다.  그래서 시험에 출제가 되건 말건 다른 모든 조건이 같은 두명 중에 한명만 합격 시켜야 한다면 증명기하를 배운 학생을 선택하게 되는 것이다.  이는 그 과목을 이수했다는 사실 외에도 잔머리 굴리지 않았다는 것, 그리고 논리적인 사고방식을 성공적으로 증명했다는 부수적인 의미도 크게 작용한다.

증명기하를 배워야 하는 학생

미국의 독립선언문은 그 후 수십개국의 독립 선언문의 모델이 된 논리적이기로 유명한 문서이다.   이 독립 선언문의 논리 전개는 바로 기하 증명의 논리를 그대로 따라갔다.  기하증명을 배우지 않은 사람은 이런 글을 쓸 수가 없다.  그러니 앞으로 인생을 살아가며 비젼을 가지고 남을 리드하며 군중을 이끄는 위치에서 설 계획인 학생은 반드시 증명기하를 배워야 한다.  앞으로 현란하명서도 헛점없는 논리로 법정을 압도하고 싶은 변호사 지망생도 반드시 기하를 배워야 한다.  기하가 필요해서가 아니라 그 논리를 익혀야 하기 때문이다.  이런 논리적 사고방식은 일단 배우고 나면 우리의 일 부분이 되기 때문에 사용을 하면서도 “기하에서 배운 것을 이렇게 쓰는구나”하고 번번히 새삼스럽게 느껴지지 않는다.  따라서 이런 훈련을 통해 논리를 익힌 사람도 증명기하가 중요하다는 것을 깨닫지 못하고 “재미있게 배웠던 기억”이 있어서 추천을 하는 경우가 대부분이니 이 과정을 배우고 간 사람의 의견을 전적으로 믿을 수도 없는 어려움 있다.

선천 후천

증명기하는 물리화 함께 유난히 선천적인 소질이 배움의 수준을 크게 좌우하는 과목이다.   원래 선천적으로 논리적인 학생이 증명이라는 형식을 갖추게 되는 것인지 아니면 백지의 상태의 학생마음에 증명기하라는 학문이 기록되는 것인지 모르겠다.  즉, 이미 논리적인 학생이 더 논리적이 되고 비논리적인 학생은 낙제를 하는, 가르치는 것은 없고 선천적인 성향을 확인만 하고 마는 과목일 수도 있다.  이런 관점은 학생에게는 부담이 가는 소리이지만 논리적인 학생을 원하는 대학, 직장에서는 이 증명기하가 장래 성공을 예측하는 지표가 되어 더 관심깊게 볼 수 있다.  증명에 소질이 없더라도 이수준은 포기하고 넘어가기에는 너무 쉽고 너무 이르니  미리 준비하여 잘 하는 학생처럼 보여야 한다.  증명에 소질이 있다면 소질없는 학생으로 오인되는 불상사가 없도록 반드시 과시하고 넘어가야 할 과목이다.
배우는 방법

물론 학교에서 정규 과목으로 배우는 것이 가장 정상적이며 저렴한 방법이다.  시중에 나와 있는 증명기하의 교과서는 출판한지 10년이 된 Rhode의 Geometry for Enjoyment and Challenge가 이제는 유일하게 아직 출판되고 있는 교과서이다.  즉 증명기하를 배우려면 이 책을 사용해야 한다.

증명기하 지식의 중요함에 불구하고 교과서는 절판되고 있는 현상은 미국의 수학교육의 하향화의 한 현상으로 보인다.  이제는 수 많은 학생들이 고전하는 증명을 굳이 가르칠 필요가 있는가 하는 반문까지 공공연히 나오고 있고 어쩌면 증명기하는 극 소수의 엘리트 고등학교에서만 가르치는 과목이 될지 모른다.  준비안된 학생을 가르치다 두손 든 교사들이 도저히 못가르치겠다고 항복을 하건 말건 자제분이 장래에 지적 세계에서 리더가 되기를 원하시는 분은 유행에 휩쓸리지 마시고 반드시 이 과목을 배우도록 하셔야 한다.

증명은 혼자 배울 수 없는 과목

학교의 수업 스케줄 또는 트랙을 바꾸기 위해 학교 외에서 따로 증명기하를 배우게 되는 경우도 있는데 수학 중에 증명기하는 혼자배우기가 가장 어려운 과목이다.  여러 강으로 흐른 물이 한 바다에서 만나듯이 여러방향으로 전개된 증명이 한 정답으로 모일 수 있기 때문이다.  단, 물리의 법칙을 절대로 어길 수 없는 강물과는 달리 증명의 과정에서는 논리의 오류가 조용히 스며 들어갈 수 있기 때문에 누군가가 채점을 해 주어야 한다.  이는 에세이 채점과 마찬가지로 학생 자신이 할 수 없고 이 과목을 완전히 이해하는 누군가가 학생의 창의적인 독특한 전개 방법을 오직 엉뚱하다는 이유로 오답으로 간주하지 않고 정확히 칭찬할 것은 칭찬하고 틀린 것은 어째서 틀린 것인지 정확한 이유로 설명을 해 줄 수 있는 채점자가 필요하다.

YouTube등에 수 없이 나와 있는 강의, 그리고 수많은 온라인 강의 중에 증명 기하를 처음부터 끝까지 체계적으로 설명한 강의는 내가 알기로는 사비오 아카데미의 증명기하 강의 하나 뿐이다.   그 외에도 증명기하 코스가 있다면 아래 comment box에 알려 주시기 바란다.   사비오 아카데미의 강의는 내가 만든 것이기 때문에 내용을 잘 알고 있고 자신있게 권하지만 (제 자화자찬 믿지 마시고 의심으로 무장하시고 확인하시기 바람) 역시 이 강의도 학생의 증명을 채점해 주지 않기 때문에 강의로만 다 배웠다는 것을 확인할 수가 없다.   단 이해하지 않기로 굳게 마음을 먹은 학생이 아니라면 증명이 무엇인지 어떻게 접근해야 하는지를 쉽게 이해할 수 있도록 제대로 설명했다고 자신한다.  어떻게 하면 증명채점 서비스를 제공할 수 있을까 하고 항상 고심하는데 뾰족한 수가 떠오르지 않아 몇 년째 미루어지고 있는데 현실적이면서도 좋은 아이디어가 있으신 분은 아래 comment box에 생각을 공유해 주시기 부탁 드린다.

e-Learning의 병형

증명기하는 물리와 함께 선생님의 설명 능력에 따라 학생의 이해 수준이 극과 극의 차이를 보이는 과목이다.  증명기하를 학교에서 배우면서 내용이 이해가 가지 않을 때는 학생에게 소질이 없을 수도 있고 선생님의 설명에 안개가 가득차 있을 수도 있다.  증명기하는 단계적으로 올라가는 과목이라 한 챕터가 어려우면 그 다음 부터는 더 난해하도록 되어 있다.   코스가 어렵게 느껴지면 주저말고 사비오 아카데미의 e-Learning 강의를 병행해서 들어보시도록 권한다.   이런 trial을 단기 라이센스로 저렴하게 해 보시고 강의를 쉽게 이해할 수 있으면 장기 라이센스를 구입하셔서 병행하여 이 과목을 성공적으로 이수하실 수 있다.  사비오 아카데미의 강의로 도움이 되지 않을 경우는 학생이 어려워 하는 점이 무엇인지 정확히 판단하여 지도할 수 있는 개인 교사를 찾아야 한다.  증명기하에서 고전하는 학생을 다른 그룹 수업에 넣는 것은 무모하다.  10명이면 10가지 다른 부분에서 막히고 있기 때문에 그룹으로 배우면 학교에서 이해 못한 내용을 과외수업에서 똑 같은 소리 듣고 똑같이 이해 못하기를 반복하는 것 외에는 이득이 없기 때문이다.

여름방학에 기하 복습해야 하나?

By James H. Choi
http://Korean.SabioAcademy.com
원문출처

일단 학교에서 기하 과목이 끝나면 기하의 증명은 다시 나오지 않습니다.  대학 입시 시험을 물론이고 대학을 졸업할 때까지 기하 증명은 다시 등장하지 않습니다.  증명에 서툴렀어도 일단 기하가 끝났으면 다시 복습할 필요는 없습니다.  그리고 다시 배워도 이번에는 잘 할 것이라는 확률도 높지 않습니다. 

하지만 각도와 길이를 계산하는 기하는 지속해서 나옵니다.  ACT 에 나오고 SAT 나오게 SAT 2 에는 공간 기하가 나옵니다.  모든 도형의 성질을 잘 알고 있어서 질문하는 각도를 추리해 내는 기술은 반드시 가지고 있어야 합니다.  이것이 약했다면 복습을 해야 합니다.

한데 학교에서 잘 배우고 성적도 좋게 받은 것을 다시 복습시키는 것은 해롭다고 생각합니다.  “하나라도 더 배우는 것인데 해롭다니 무슨 말이냐?” 라고 이의를 제기 하시겠지만 이는 복습만 생각한 것이고 그 복습 시간에 다른 것을 배울 기회를 놓치는 것은 고려하지 않은 국한적인 생각이기 때문에 그런 “하나라도 더 배우는” 것을 긍정적으로 볼 수 있는 것입니다.  그리고 이제 나이가 들어갈 수록 부모의 말을 점점 안 듣게 되는데 부모말 대로 기하 복습 했다가 나중에 쓸모가 하나도 없다는 것을 알게되면 그 다음에 시키는 공부는 덜 적극적으로 따르게 됩니다.  “무엇이라도 배우겠지”라는 막연한 학습지도는 결국 얻는 것 보다 잃는 것이 커집니다.  그리고 시간 들여 돈 들여 하는 공부 “하나라도 더 배우겠지”식의 지푸라기 건지는 자세의 공부가 되면 너무 소극적이죠.  큼직한 목적을 달성하기 위해 엄청나게 배우는 수업이 되어야 하고 학부형님을 위해서도 학생의 사기를 위해서도 결과가 뚜렷이 나타나야 합니다.

학생이 복습이 필요한 경우라도 덮어놓고 복습하는 반에 넣지 마시고 시험을 보아 지식이 얼마나 모자라는지를 알고 시작해야 목적이 확실합니다.  가등하면 똑 같은 책으로 똑 같은 소리를 다시 듣게 하는 복습 보다 (두 번째 더 효과가 있으리라는 보장도 없고) 같은 내용을 다르게 사용하는 복습이 더 효과적이 됩니다.  즉, 똑같은 기하를 다시 반복하는 것 보다 수학 경시대회에 나오는 기하를 배우는 것이 수준이 높고 재미있고 ACT, SAT 시험 준비가 철저히 됩니다.
그래서 기하 복습도 ACT SAT 시험 준비도 수학 경시대회 준비로 하는 것을 권해 드립니다.