사비오 칼럼

SAT 2 Math 의 TI89/Nspire 계산기 허용제도의 모순

By James H. Choi
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원문출처

주1: 다음 글은 제가 다년간의 AMC의 기출 문제 해설 강의를 만들고 SAT 2 (Subject Test)를 20번 직접 응시하면 직접 체험한 점에 근거한 의견입니다. 20번을 응시하면 문제 은행에서 같은 문제가 재출제 되는 것까지 보게 되어 시험의 경향을 완전히 알게 되었습니다..

주2: 아래 글의 TI89를 TI-Nspire로 간주하셔도 됩니다

시험에 계산기 사용을 허락해도 계산기를 무용지물로 만드는 문제를 출제하여 학생의 수학 능력을 측정할 수 있는 방법은 얼마든지 있었다.  한데 계산기 테크놀로지의 눈부신 발전으로 계산기가 풀 수 없는 문제를 출제하는 것이 점점 어려워져 몇년전 부터 AMC(미국수학경시대회)는 백기를 들고 계산기 사용을 금지해 버렸다.  주 이유는 계산기로 프로그램 할 수 있게 되었기 때문이다.  연산을 위해 계산을 하는 학생에게는 계산기로 풀 수 없는 문제를 출제하는 것이 쉬운데 프로그램을 할 줄 아는 학생은 여차하면 brute force로 문제를 풀어버리기 때문에 그들을 당해내는 것이 거의 불가능하다.  예를 들어

1에서 1,000,000까지의 수 중에 제곱수는 몇 개가 있습니까?

라는 문제를 출제하면 수학을 이해하는 학생은 단번에 1,000 이라고 답을 내다.  하지만 계산기 프로그램할 줄 아는학생들은 원리를 이해 못해도 1,000,000개의 수의 제곱근을 일일이 계산하여 몇 경우에 정수가 나오는지를 센다.  이런 식으로 계산기가 답을 알아서 찾아내도록 시키는 학생에게는 계산기가 고생하는 문제가 있을 뿐 어려운 문제란 존재할 수 없다.  물론 이런 긴 계산은 계산기로도 몇 분이 걸리는데 계산기가 답을 찾고 있는 동안 학생은 다음 문제를 풀고 있으니 이런 학생의 정답은 수학능력이었는지 프로그래밍 능력이었는지 구별이 불가능하다.  AMC가 계산기 사용을 금지 시키면서 발표한 공식 설명도 계산기의 프로그램 능력이고 이를 사용할 줄 아는 일부 학생을이 누리는 특혜의 불공평이었다.

한데 SAT, ACT 그리고 SAT 2 수학 시험은 지금도 계산기를 허용한다.  수학의 도사를 대상으로 하는 시험도 아니고 일반 학생들을 대상으로 하는데 워낙 저학년부터 수학=계산기 라는 방정식 속에 수학을 배워온 학생들에게 대입의 문턱에서 갑자기 계산기 사용을 금지 시키면 이는 잔혹하게 뒤통수 치는 교육이 될 수 있고 또 학교의 수학 교수방법만 믿고 배워온 학생들을 탈락시키는 부조리한 제도로 낙인이 찍힐 수 있다.  따라서 현재의 교육 제도상 대중이 응시하는 수학 시험에서는 계산기를 허용하는 수 밖에 없다고 생각된다.

SAT, ACT, SAT2 시험 중 특히 SAT 2 수학 시험은 (SAT Subject Test) 수학 시험이 아닌 무슨 엔지니어링 시험처럼 모든 답을 소수로 답하게 하고 있다.  즉 x²=17라는 문제가 있으면 답은  가 아니라 ±4.12로 나온다.  그 뿐이 아니라 다른 답들은 ±4.24,  ±4.05 처럼 아주 근소한 차이를 보이는 수들을 열거하여 계산기로 두째자리 수 까지 계산해내지 않으면 안전하게 답을 구할 수가 없게 출제된다.  아무리 보아도 학생의 수학 능력을 측정하는 시험이 아니라 계산기 사용 능력을 측정하는 시험이다. 그리고 문제의 깊이도 얕아 거의 다 단번에 풀리는 문제만 출제된다.
그런 시험이 TI89 계산기의 사용을 허용하는 것이 터무니 없고 말도 되지 않는다.  Absurd 이다.  내가 이 시험의 경향을 완전히 파악하기 위해 20번 정도 직접 응시했는데 시험을 볼 때마다 “이 문제를 왜 머리를 사용해서 풀어 시간을 낭비해야 하나?  계산기가 더 빨리 푸는데?  어차피 머리를 사용해서 풀어도 또다시 계산기에 입력하여 소숫점 수치를 계산해내도록 만드는데 아예 처음부터 다 계산기로 해 버리는 것이 빠르지?”하는 의문이 점점 강해져 점점 더 계산기로 풀기 시작하다 결국에는 50문제중 25문제 정도는 아무런 생각없이 계산기에 문제를 입력하여 답을 내게 되었다.  SAT 2 Math에서 25문제를 맞추면 그것만으로 이미 800점 만점에 640점 정도가 된다.

이렇게 계산기로 무너지는 문제들을 우선 싹 쓸어 버리고 나머지 시간에 생각을 요하는 문제를 풀면 덜 지치고 성적도 올라가는 것이 당연한 일이다.  또한 계산기로 풀어버리는 문제가 다 머리로 풀 수 있었던 쉬운 문제들이 아니다.  학생이 풀 줄 모르는 어려운 문제였어도, 배운 적이 없는 개념이어도 방정식만 성립되면 계산기가 알아서 해 주니까 방정식만 성립하면 되는 것이고 대부분의 문제는 아예 방정식 자체를 문제에서 주니 그 방정식을 입력하는 노고만 감수하면 정답을 얻는 보람찬 시험 응시가 되는 것이다.  그 방정식이 로그였는지 코사인었는지 2차 방정식이었는지 개의치 않아도 되는 것이 absurdity이다.  수학 시험이 아니라 계산기 문제 입력 능력 시험이다.

이렇게 말도 안되는 absurd한 시험제도보다 한층 더 absurd 한 것이 있는데 그것은 학생들이 TI89을 수험장에 들고 와서도 제대로 사용할 줄 모른다는 것이다.  TI89을 23×24를 계산하는 도구, sin(35°)를 계산하는 도구 정도로 사용하고 있지

같은 문제를 단번에 풀어버리는 컴퓨터로는 사용할 줄 모른다는 것이다.   또 하나의 기가막히면서도 당연한 현실은 수학을 못하는 학생은 계산기 사용도 제대로 못하는 것이다.  그래서 이 TI89 사용 허용은 결국 수학 점수를 뒤집어 놓거나 평준화 시키는 것이 아니라 점수의 양극화를 초래하고 만다.  어차피 잘 하는 학생은 모르는/어려운 문제까지도 계산기로 풀어버려 800점에 몰려있고 잘 못하는 학생은 이런 방법도 사용할 줄 몰라 저조한 점수에서 빠져나오지 못하고 있는 것이다.

누가 이 TI89 계산기 사용법 강의를 만들면 어떻게 될까?  TI89으로 SAT 2 Math문제를 푸는 방법을 설명한 책은 나와 있지만 그 책은 내가 읽어도 따라하기가 힘들어 도움이 되지 않는 공부 방법이다.  만약 누구나 보고 따라하며 배울 수 있는 강의가 나타난다면 그 때는 이 SAT 2 Math라는 시험이 변별력을 잃어버릴 것이라 생각된다.  그 때는 SAT 2 Math의 문제의 출제 방법을 바꾸거나 AMC 처럼 계산기를 사용하지 못하게 하거나 아니면 최소한 이 TI89이라는 막강한 기능의 계산기 사용을 금지시키게 될 것이라 생각된다.  어쩌면 이 TI89의 사용을 금지시키는 가장 신속한 방법은 이렇게 앉아서 불평하고 있는 것이 아니라 많은 학생들에게 사용 방법을 가르쳐 대부분의 응시자가 고득점하여 하루빨리 SAT 2 Math가 변별력을 잃도록 하는 것라고 생각한다.